广东省2021高考物理一轮复习专题四曲线运动课件 60页

考点一　曲线运动　运动的合成与分解 一、曲线运动 1.速度的方向:质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的① 　切线     方向。 2.运动性质:曲线运动一定是变速运动。 3.曲线运动的条件 两个 角度 运动学角度 物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上(加速度可以是恒定的,也可以是变化的) 动力学角度 合外力的方向跟物体速度方向不在同一条直线上(合外力可以是恒力,也可以是变力) 考点清单 1.概念 (1)运动的合成:已知分运动求合运动的过程。 (2)运动的分解:已知合运动求分运动的过程。 2.运算法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循 ② 　平行四边形定则     。 3.合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动经历的时间相等,即同时开始、 同时进行、同时停止 独立性 各分运动相互独立,不受其他分运动的影响。各 分运动共同决定合运动的性质和轨迹 等效性 各分运动叠加起来与合运动的规律有完全相同 的效果 二、运动的合成与分解 考点二　抛体运动 一、平抛运动 1.定义(条件):以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在③ 　重力     作 用下的运动。 2.运动性质:平抛运动是加速度为 g 的匀变速曲线运动,其运动轨迹是抛物 线。 3.研究方法:平抛运动可以分解为水平方向的④ 　匀速直线     运动和竖直 方向的⑤ 　自由落体     运动。 4.基本规律(如图所示) (1)速度关系 (2)位移关系 (3)轨迹方程: y =   x 2 。 二、斜抛运动 1.定义:将物体以初速度 v 0 斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用下 的运动。 2.性质:斜抛运动是加速度为 g 的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线。 3.研究方法:运动的合成与分解 (1)水平方向:匀速直线运动; (2)竖直方向:竖直上抛运动。 4.基本规律(以斜上抛运动为例,如图所示)   (1)水平方向: v 0 x = v 0 cos θ , F 合 x =0; (2)竖直方向: v 0 y = v 0 sin θ , F 合 y = mg 。 考点三　圆周运动 一、描述圆周运动的物理量 定义、意义 公式、单位 线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量( v ) (1) v =   =⑥ 　   　 角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量( ω ) (1) ω =   =⑦ 　   　 周期 物体沿圆周运动一圈的时间( T ) (1) T =   =   ,单位:s (2) f =   ,单位:Hz 向心加速度 (1)描述速度方向变化快慢的物理量( a n ) (2)方向指向圆心 (1) a n =   = rω 2 (2)单位:m/s 2 向心力 (1)作用效果:向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小。 (2)方向:始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力 F = m   = mrω 2 = m   r = mωv =4π 2 mf 2 r 二、离心运动和近心运动 1.离心运动:做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供圆周 运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动。 2.受力特点(如图)   (1)当 F =0时,物体沿切线方向飞出; (2)当 F < mrω 2 时,物体逐渐远离圆心; (3)当 F > mrω 2 时,物体逐渐向圆心靠近,做近心运动。 3.本质:离心运动的本质并不是受到离心力的作用,而是提供的力小于做匀 速圆周运动需要的向心力。 拓展一　合力、速度、轨迹之间的关系 做曲线运动的物体,其速度方向与运动轨迹相切,所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上,合力改变物体的运动状态,据此可以判断。 (1)已知运动轨迹,可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧),如图 所示。   (2)运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间,根据受力方向和速度方向 可以判断轨迹的大致弯曲方向。 知能拓展 (3) 根据合力方向与速度方向的夹角 , 判断物体的速率变化情况 : 夹角为锐 角时 , 速率变大 ; 夹角为钝角时 , 速率变小 ; 合力方向与速度方向垂直时 , 速率 不变,这是匀速圆周运动的受力条件。 例1　自行车在水平路面上运动的轨迹如图所示,则   (　　) A.①可能是合外力的方向 B.②可能是速度的方向 C.③可能是加速度的方向 D.④可能是向心加速度的方向 解析　物体做曲线运动时,合外力的方向指向曲线的凹侧,则加速度的方向 也指向曲线凹侧,故①不可能是合外力的方向,③可能是加速度的方向,故A 错误,C正确;曲线运动的速度方向是曲线上该点的切线方向,故②处速度方 向应沿曲线切线方向,故B错误;向心加速度的方向一定指向圆心,故④不可 能为向心加速度的方向,故D错误。 答案    C 拓展二　运动的合成及运动性质分析 1.合运动的性质判断   2.两个直线运动的合运动性质的判断 标准:看合初速度方向与合加速度方向是否共线。 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度均为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果 v 合 与 a 合 共线,为匀变速直线运动 如果 v 合 与 a 合 不共线,为匀变速曲线运动 例2　质量为0.2 kg的物体在水平面上运动,它的两个正交分速度图线分别 如图甲、乙所示,由图可知   (　　)   A.最初4 s内物体的位移为8   m B.从开始至6 s末物体都做曲线运动 C.最初4 s内物体做曲线运动,接下来的2 s内物体做直线运动 D.最初4 s内物体做直线运动,接下来的2 s内物体做曲线运动 解析　由运动的独立性并结合 v - t 图像可得,在最初4 s内 y 轴方向的位移 y =8 m, x 轴方向的位移 x =8 m,由运动的合成得物体的位移 s =   =8   m,A 正确。在0~4 s内,物体的加速度 a = a y =1 m/s 2 ,初速度 v 0 = v x 0 =2 m/s,即物体的 加速度与速度不共线,物体做曲线运动,4 s末物体的速度方向与 x 轴正方向 夹角的正切tan α =   =   =2,在4~6 s内,加速度与 x 轴正方向夹角的正切tan β =   =   =2,速度方向与加速度方向共线,物体做直线运动,C正确,B、D错 误。 答案    AC 拓展三　对平抛运动规律的理解 平抛运动是一种匀变速曲线运动,根据其运动的基本规律,可得: 1.飞行时间:由 t =   知,时间取决于下落高度 h ,与初速度 v 0 无关。 2.水平射程: x = v 0 t = v 0   ,即水平射程由初速度 v 0 和下落高度 h 共同决定,与 其他因素无关。 3.落地速度: v =   =   ,以 θ 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角, 有tan θ =   =   ,所以落地速度只与初速度 v 0 和下落高度 h 有关。 4.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量Δ v = g Δ t 相同,方向恒为 竖直向下,如图所示。 5.两个重要推论 ①做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时 速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点, 如图中 A 点和 B 点所示。   ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处,设其速度方向与 水平方向的夹角为 α ,位移方向与水平方向的夹角为 θ ,则tan α =2 tan θ 。 例3    (2019潮州二模,17,6分)两位同学在不同位置沿水平方向各射出一支 箭,箭落地时,插入泥土中的形状如图所示,已知两支箭的质量、水平射程 均相等,若不计空气阻力及箭长对问题的影响,则甲、乙两支箭   (　　) A.空中运动时间之比为1∶   B.射出的初速度大小之比为1∶   C.下降高度之比为1∶3 D.落地时动能之比为3∶1 解析　根据竖直方向的自由落体运动可得 h =   gt 2 ,水平射程: x = v 0 t ,可得: x = v 0 ·   ,由于水平射程相等,则: v 甲 ·   = v 乙 ·   ①,末速度的方向与水平方 向之间的夹角的正切值:tan θ =   =   ,可得:2 gh 甲 =3   ,2 gh 乙 =     ②,联立 ①②可得: h 甲 =3 h 乙 ,即下落的高度之比为3∶1;根据竖直方向的自由落体运 动可得 h =   gt 2 ,可知运动时间之比为   ∶1,故A错误,C错误;运动时间之比 为   ∶1,代入①可知,射出的初速度大小之比为1∶   ,故B正确;甲、乙下 落的高度之比为3∶1;射出的初速度大小之比为1∶   ,所以落地时动能之 比不等于3∶1,故D错误。 答案    B 知识拓展　分解思想在平抛运动中的应用 1.解答平抛运动问题时,一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向 分解,这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。 2.画出速度(或位移)分解图,通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度 (或分位移)及其方向间的关系,通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知 量。 拓展四　平抛运动与斜面结合问题 图示 方法 基本规律 运动时间   分解速度,构建速度的矢量三角形 水平 v x = v 0 竖直 v y = gt 合速度 v =   由tan θ =   =   得 t =     分解位移,构建位移的矢量三角形 水平 x = v 0 t 竖直 y =   gt 2 合位移 x 合 =   由tan θ =   =   得 t =     在运动起点同时分解 v 0 、 g 由0= v 1 - a 1 t ,0-   =-2 a 1 d 得 t =   , d =   分解平行于斜面的速 度 v 由 v y = gt 得 t =   例4    (2019惠州惠港中学模拟,20,6分)如图,倾角分别为30 ° 和45 ° 的两斜面 下端紧靠在一起,固定在水平面上;纸面所在竖直平面内,将两个小球 a 和 b , 从左侧斜面上的 A 点以不同的初速度向右平抛,下落相同高度, a 落到左侧 的斜面上, b 恰好垂直击中右侧斜面,忽略空气阻力,则   (　　)   A. a 、 b 运动的水平位移之比为   ∶2 B. a 、 b 运动的水平位移之比为1∶   C. a 、 b 击中斜面时的速率之比为   ∶4 D.若减小初速度, a 球落到斜面时速度方向不变 解析　两球均做平抛运动,下落相同的高度时运动时间相同,由 v y = gt 知落在 斜面上时竖直分速度大小相等。对于 a 球:由tan 30 ° =   =   =   ,设 a 球 落在斜面上时速度与水平方向的夹角为 α ,则tan α =   ,可得tan α =2 tan 30 ° , 与初速度无关,故若减小初速度, a 球落到斜面时速度方向不变。对于 b 球: 由tan 45 ° =   ,结合tan 30 ° =   ,可得 a 、 b 两球初速度之比 v a 0 ∶ v b 0 =   ∶2, 由 x = v 0 t , t 相等,得 a 、 b 运动的水平位移之比为 x a ∶ x b = v a 0 ∶ v b 0 =   ∶2,故A、 D正确,B错误。 a 击中斜面时的速率为 v a =   =   =   gt , b 击中斜面时的速率为 v b =   v b 0 =   gt ,所以 v a ∶ v b =   ∶4,故C正确。 答案    ACD 拓展五　圆周运动中的动力学分析 1.向心力的来源 向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也 可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添 加一个向心力。 2.运动模型 运动模型 向心力的来源图示 飞机水平转弯   火车转弯   圆锥摆   飞车走壁   汽车在水平路面转弯   水平转台(光滑)   3.分析思路 例5    (2019四川遂宁模拟,17,6分)两根长度不同的细线下面分别悬挂两个 小球,细线上端固定在同一点。若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直 轴在水平面内做匀速圆周运动,则两个摆球在运动过程中,相对位置关系示 意图可能正确的是(　　) 解析　小球做匀速圆周运动,如图, mg tan θ = mω 2 L sin θ ,整理得: L cos θ =   是常量,即两球处于同一高度,故C正确。 答案    C 应用一　小船渡河问题 实践探究 1.小船渡河的两类模型 时间最短 位移最短 渡河情景       渡河条件 船头垂直于河岸 船头斜向上游且 v 船 > v 水 船头斜向上游,与合速 度方向垂直,且 v 水 > v 船 渡河结果 最短时间 t min =   最短位移为河宽 d 最短位移为   d 2.小船渡河模型的分析思路   例1　小船在200 m宽的河中横渡,水流速度为2 m/s,船在静水中的航速是4 m/s,那么: (1)若小船的船头始终正对对岸行驶,它将在何时、何处到达对岸? (2)要使小船到达河的正对岸,应如何航行?历时多长? (3)小船渡河的最短时间为多长? (4)若水流速度是5 m/s,船在静水中的速度是3 m/s,则怎样渡河才能使船漂 向下游的距离最短?最短距离是多少? 解析　(1)小船参与了两个分运动,即船随水漂流的运动和船在静水中的运 动。分运动之间具有独立性和等时性,故小船渡河的时间等于垂直于河岸 方向的分运动的时间,即 t =   =   s=50 s 小船沿水流方向的位移 x 水 = v 水 t =2 × 50 m=100 m 即船将在正对岸下游100 m处靠岸。 甲 (2)要使小船到达正对岸,合速度 v 应垂直于河岸,如图甲所示,则 cos θ =   =   =   ,故 θ =60 ° 即船的航向与上游河岸成60 ° 角,渡河时间 t =   =   s=   s。 乙 (3)考虑一般情况,设船头与上游河岸成任意角 β ,如图乙所示。船渡河的时 间取决于垂直于河岸方向的分速度 v ⊥ = v 船 sin β ,故小船渡河的时间为 t =   。当 β =90 ° ,即船头与河岸垂直时,渡河时间最短,最短时间 t min =50 s。 丙 (4)因为 v 船 =3 m/s< v 水 =5 m/s,所以船不可能垂直河岸横渡,不论航向如何,总 被水流冲向下游。如图丙所示,设船头( v 船 )与上游河岸成 θ 角,合速度 v 与下 游河岸成 α 角,可以看出: α 角越大,船漂向下游的距离 x '越短。以 v 水 的末端为 圆心,以 v 船 的大小为半径画圆,当合速度 v 与圆相切时, α 角最大。 则cos θ =   =   ,故船头与上游河岸的夹角 θ =53 ° 又   =   =   ,代入数据解得 x ' ≈ 267 m。 答案　见解析 应用二　绳(杆)端速度分解模型 实践探究 　　绳、杆等连接的两个物体在运动过程中,其速度通常是不一样的,但两 者的速度是有联系的(一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等),我们 称之为“关联”速度。 1.绳(杆)端速度的分解思路 2.解题的原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度,根据 沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。   　       甲　　　　　　　　　　　　　乙　　       　　       丙　　　　　　　　　　　　丁　     例2　人用绳子通过定滑轮拉物体 A , A 穿在光滑的竖直杆上,当以速度 v 0 匀 速地拉绳使物体 A 到达如图所示位置时,绳与竖直杆的夹角为 θ ,则物体 A 实 际运动的速度是   (　　)   A. v 0 sin θ 　    B.   　    C. v 0 cos θ 　    D.   解题导引       解析　由运动的合成与分解可知,物体 A 参与这样的两个分运动,一个是沿 着与它相连接的绳子的运动,另一个是垂直于绳子斜向上的运动。而物体 A 实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的,这一轨迹所对应的运动就是物体 A 的 合运动,它们之间的关系如图所示。由三角函数知识可得 v =   ,所以D选 项是正确的。   答案    D 应用三　常见传动装置问题 实践探究 1.共轴传动 A 点和 B 点在同轴的一个圆盘上,如图甲,圆盘转动时,它们的线速度、角速 度、周期存在以下定量关系: ω A = ω B ,   =   , T A = T B ,并且转动方向相同。 甲 乙     2.皮带传动 A 点和 B 点分别是两个轮子边缘上的点,两个轮子用皮带连起来,并且皮带不打滑。如图乙,轮子转动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系: v A = v B ,   =   ,   =   ,并且转动方向相同。 3.齿轮传动 A 点和 B 点分别是两个齿轮边缘上的点,两个齿轮轮齿啮合。如图,齿轮转 动时,它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系: v A = v B ,   =   =   ,   =   =   。 式中 n 1 、 n 2 分别表示两齿轮的齿数。两点转动方向相反。 注意　在处理传动装置中各物理量间的关系时,关键是确定其相同的量 (线速度或角速度),再由描述圆周运动的各物理量间的关系,确定其他各量 间的关系。 例3　如图是自行车传动装置的示意图,其中Ⅰ是半径为 r 1 的大齿轮,Ⅱ是 半径为 r 2 的小齿轮,Ⅲ是半径为 r 3 的后轮,假设脚踏板的转速为 n r/s,则自行 车前进的速度为   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　因为要计算自行车前进的速度,即后轮Ⅲ边缘上的线速度的大小,根 据题意知:轮Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等,根据 v = rω 可知: r 1 ω 1 = r 2 ω 2 ,已知 ω 1 = ω =2π n ,则轮Ⅱ的角速度 ω 2 =   ω ,因为轮Ⅱ和后轮Ⅲ共轴,所以转动 的角速度相等,即 ω 3 = ω 2 ,根据 v = rω 可知, v 3 = r 3 ω 3 =   =   ,D正确。 答案    D 应用四　水平面内的圆周运动 实践探究 1.汽车转弯问题 　　　路面种类 分析　     汽车在水平路面上转弯 汽车在内低外 高的路面转弯 受力分析     向心力来源 静摩擦力 f 重力和支持力的合力 向心力关系式 f = m   mg tan θ = m   2.火车转弯问题 (1)向心力来源:如图所示,在铁路转弯处,内、外铁轨有高度差,火车在此处 依据规定的速度行驶,转弯时,火车受力如图所示,向心力几乎完全由重力 G 和支持力 N 的合力提供,即 F 合 = mg tan α 。 (2)规定速度:若火车转弯时,火车轮缘不受轨道压力,则 mg tan α =   ,故 v 0 =   ,其中 R 为弯道半径, α 为轨道所在平面与水平面的夹角, v 0 为弯道规 定的速度。 ①当 v = v 0 时, F = F 合 ,即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力,这时 内、外轨均无侧压力,这就是设计的限速状态。 ②当 v > v 0 时, F > F 合 ,即所需向心力大于支持力和重力的合力,这时外轨对车 轮有侧压力,以弥补向心力不足的部分。 ③当 v < v 0 时, F < F 合 ,即所需向心力小于支持力和重力的合力,这时内轨对车 轮有侧压力,以抵消向心力过大的部分。 3.水平面内的圆周运动中的临界问题 在水平面内做圆周运动的物体,当转速变化时,会出现绳子张紧、绳子突然 断裂、静摩擦力达到最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等,从而出现 临界问题。主要有下面两种类型: (1)与摩擦力有关的临界问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦 力。 ①如果只是静摩擦力提供向心力,则最大静摩擦力 f max =   ,静摩擦力的方 向一定指向圆心。 ②如果除静摩擦力以外还有其他力,如绳两端连接物体随水平面转动,其中 一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界 条件,分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半 径指向圆心。 (2)与弹力有关的临界问题 ①压力、支持力为零的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 ②绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 4.解题技巧 (1)判断临界状态:若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表 明题述的过程存在临界点;若题目中有“最大”“最小”“至多”“至 少”等字眼,表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界状态。 牢记“绳子刚好伸直”的意思是“伸直但无张力”及“静摩擦力大小有 范围,方向可以改变”等。 (2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临 界状态出现的条件,并以数学形式表达出来。 (3)选择物理规律:确定了物体运动的临界状态和临界条件后,要分别对不 同的运动过程或现象,选择相对应的物理规律,然后列方程求解。 例4　表格所示是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道 高度差 h 的部分数据。 (1)根据表中的数据,试写出 h 和 r 关系的表达式,并求出当 r =440 m时, h 的设计值; (2)铁路建成后,火车通过弯道时,为保证安全,要求内、外轨道均不向车轮 施加侧向压力,已知我国铁路内、外轨的间距设计值为 L =1 435 mm, g 取9.8 m/s 2 ,结合表中数据,算出我国火车的转弯速率 v (以km/h为单位,结果取整 数,路轨倾角很小时,正切值按正弦值处理)。 弯道半径 r / m 660 330 220 165 132 110 内、外轨 高度差 h /mm 50 100 150 200 250 300 解题导引     解析　(1)分析表中数据得每组的 h 与 r 之积均相等,有 h 1 r 1 =660 × 50 × 10 -3 m 2 = 33 m 2 即 hr =33 m 2 当 r =440 m时,将数据代入上式可得 h =75 mm。 (2)转弯时,当内外轨对车轮没有侧向压力时,火车的受力如图所示: 由牛顿第二定律得 mg tan α = m   因为 α 很小,有tan α ≈ sin α =   由以上两式可得 v =   =   m/s ≈ 15 m/s=54 km/h。 答案　(1)见解析　(2)54 km/h 应用五　竖直平面内的圆周运动 实践探究 　　(1)物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动,该类 运动常有临界问题,题目中常伴有“最大”“最小”“刚好”等词语,常分 析两种模型——轻绳模型和轻杆模型,分析比较如下。 轻绳模型 轻杆模型 常见 类型   均是没有支撑的小球   均是有支撑的小球 过最高 点的临 界条件 由 mg = m   得 v 临 =   由小球能运动到即可得 v 临 =0 讨论 分析 (1)过最高点时, v ≥   , F N + mg = m   ,绳、轨道对球产生弹力 F N (2)不能过最高点, v <   ,在到达 最高点前小球已经脱离了圆轨 道 (1)当 v =0时, F N = mg , F N 为支持力, 沿半径背离圆心 (2)当0< v <   时, mg - F N = m   , F N 背离圆心,随 v 的增大而减小 (3)当 v =   时, F N =0 (4)当 v >   时, F N + mg = m   , F N 指 向圆心并随 v 的增大而增大 (2)竖直圆的有关脱轨问题 脱轨可分为外侧脱轨与内侧脱轨两种情况。 脱轨的条件为物体与轨道之间的作用力为零。 如图小球( m )从圆轨道最高点由静止滑下,小球在何处脱离轨道? 设夹角为 θ 时开始脱轨,则满足关系:   得cos θ =   例5　如图甲,小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点 O 在竖直面内做圆周 运动,小球经过最高点时的速度大小为 v ,此时绳子的拉力大小为 T ,拉力 T 与 速度的二次方 v 2 的关系如图乙所示,图像中的数据 a 和 b 、重力加速度 g 都为 已知量,以下说法正确的是   (　　)   A.数据 a 与小球的质量有关 B.数据 b 与圆周轨道半径有关 C.比值   只与小球的质量有关,与圆周轨道半径无关 D.利用数据 a 、 b 和 g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径 解题导引     解析　在最高点对小球受力分析,由牛顿第二定律有 T + mg = m   ,可得 T = m   - mg ,图乙中横轴截距为 a ,则有0= m   - mg ,得 g =   ,则 a = gR ;图线过点(2 a , b ), 则 b = m   - mg ,可得 b = mg ,则   =   ,A、B、C错。由 b = mg 得 m =   ,由 a = gR 得 R =   ,则D正确。 答案    D