陕西省非凡吉创联盟2021届高三上学期联合模拟调研考试 数学（理） 2页

书书书 　　　　　　　　　　　　　　　【数学试卷　（第 １页　共 ４页）】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【数学试卷　（第 ２页　共 ４页）】 非凡吉创 ２０２０－２０２１学年高三年级模拟调研考试 理　科　数　学　卷 注意事项： １．本试卷共 ４页，考试时间 １２０分钟，卷面总分 １５０分。 ２．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。 ３．全部答案写在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 ４．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求． １．若 ｚ＝－１＋ｉ，则 ｚ＋１ ｚ ＝（　　） Ａ．０ Ｂ．槡２ ２ Ｃ．１ Ｄ．槡２ ２．已知集合 Ａ＝ ｘｘ－ａ≤{ }４，Ｂ＝ ｘｘ（ｘ－３）≤{ }０，且 Ａ∩Ｂ＝ ｘ０≤ｘ≤{ }２则 ａ＝（　　） Ａ．－２ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ．４ ３．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式。宋代称为撮尖，清代称攒尖。依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角 攒尖、八角攒尖。也有单檐和重檐之分。多见于亭阁式建筑，园林建筑。以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可 近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为 α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（　　） Ａ．ｃｏｓα ｃｏｓ３π ８ Ｂ．ｓｉｎα ｓｉｎ３π ８ Ｃ． ｃｏｓ３π ８ ｃｏｓα Ｄ． ｓｉｎ３π ８ ｓｉｎα ４．已知 Ｆ为抛物线 Ｃ：ｙ２＝８ｘ的焦点，Ｍ为 Ｃ上一点，且 ＭＦ ＝４，则 Ｍ到 ｘ轴的距离为（　　） Ａ．４ Ｂ．槡４２ Ｃ．８ Ｄ．１６ ５．已知变量 ｘ，ｙ，ｚ都是正数，ｙ与 ｘ的回归方程：＾ｙ＝ｂｘ＋３，且 ｘ每增加 １个单位，ｙ减少 ２个单位，ｙ与 ｚ的回归方 程：＾ｙ＝２ｚ２，则（　　） Ａ．ｙ与 ｘ正相关，ｚ与 ｘ正相关 Ｂ．ｙ与 ｘ正相关，ｚ与 ｘ负相关 Ｃ．ｙ与 ｘ负相关，ｚ与 ｘ正相关 Ｄ．ｙ与 ｘ负相关，ｚ与 ｘ负相关 ６．函数 ｆ（ｘ）＝ 槡ａ ｘ＋１ ｘ（ｘ＞０），在（１，ｆ（１））处的切线方程为 ｙ＝ｘ＋ｎ，则 ａ、ｎ的值分别为（　　） Ａ．２和 ３ Ｂ．４和 ３ Ｃ．４和 ４ Ｄ．４和 ５ ７．设函数 ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓ（２ｘ＋φ）＋ａ（ φ ＜π ２）在［－５π １２，７π １２］上的图像大致如图， 则 ａ与 φ分别为（　　） Ａ．－１和 －π ６ Ｂ．１和 －π ３ Ｃ．１和 π ３ Ｄ．１和 π ６ ８． ｘ２ ｙ＋( )ａｙ（ｘ－ｙ）４的展开式中 ｘ３ｙ２项的系数为 ４，则 ａ＝（　　） Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．５ ２ Ｄ．－２ ９．已知 α∈ －π ２，π( )２ ，ｃｏｓ２α＋３ｓｉｎα＋１＝０，则 ｔａｎα＝（　　） Ａ． 槡－ ３ Ｂ．－槡３ ３ Ｃ．槡３ Ｄ．槡３ ３ １０．边长为 ４的正方形 ＡＢＣＤ的四个顶点都在球 Ｏ上，ＯＡ与平面 ＡＢＣＤ所成角为 π ４，则球 Ｏ的表面积为（　　） Ａ．６４π Ｂ．３２π Ｃ．１６π Ｄ．１２８π １１．直线槡３ｘ－ｙ－３＝０与 ｘ轴交于 Ａ，与圆 Ｍ：（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝４交于 Ｂ、Ｃ两点，过 Ａ的直线与过 Ｂ、Ｃ两点的 动圆 Ｎ切于 Ｐ，当△ＰＢＣ的面积最大时，切线 ＡＰ的方程为（　　） Ａ．ｘ 槡＋ ３ｙ 槡＋ ３＝０ Ｂ．槡３ｘ＋ｙ 槡＋ ３＝０ Ｃ．槡３ｘ＋ｙ 槡－ ３＝０ Ｄ．ｘ 槡＋ ３ｙ 槡－ ３＝０ １２．若 ２ａ＋ｌｎ２ ２ ＝３ｂ＋ｌｎ３ ３ ＝５ｃ＋ｌｎ５ ５，则（　　） Ａ．ｃｌｎ５＞ａｌｎ２＞ｂｌｎ３ Ｂ．ａｌｎ２＞ｃｌｎ５＞ｂｌｎ３ Ｃ．ｂｌｎ３＞ｃｌｎ５＞ａｌｎ２ Ｄ．ａｌｎ２＞ｂｌｎ３＞ｃｌｎ５ 二、填空题：本大题共 ４小题，每题 ５分，共 ２０分． １３．ｘ、ｙ满足约束条件 ｘ＋２ｙ－２≤０ ｘ－ｙ－２≤０ ｘ≥{ ０ ，则 ｚ＝ｙ－２ｘ的最大值为　　　　　 ． １４．设向量 ａ，ｂ满足 ａ ＝２ ｂ ＝２，ａ·ｂ＝－１ ４，则 ２ａ＋ｂ ＝　　　　 ． １５．过双曲线ｘ２ ａ２ －ｙ２ ｂ２ ＝１（ａ，ｂ＞０）的右焦点 Ｆ２且与 ｘ轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点 Ｐ，Ｆ１为左焦点， 直线 Ｆ１Ｐ的倾斜角为 π ４，则双曲线的离心率 ｅ为　　　　 ． １６．长方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的展开图如图所示，侧面展开图是正方形 ＡＭＮＡ１，下底面为矩形 ＡＢＦＥ，且 ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２，对角线 Ａ１Ｍ上一动点 Ｑ，当 ＡＱ＋ＦＱ最小时，∠ＡＱＦ的余弦值为　　　　　　． 　　　　　　　　　　　　　　　【数学试卷　（第 ３页　共 ４页）】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【数学试卷　（第 ４页　共 ４页）】 三、解答题：共 ７０分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．第 １７－２１题为必考题．第 ２２、２３题为选考题． （一）、必考题：共 ６０分． １７．（１２分） 公差 ｄ≠０的等差数列 ａ{ }ｎ 中，数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和为 Ｓｎ且 Ｓ５＝２０，ａ３是 ａ１与 ａ７的等比中项． （１）求 ａ{ }ｎ 的通项公式； （２）设 ｂｎ＝２ａｎ·ａｎ，求 ｂ{ }ｎ 的前 ｎ项和 Ｔｎ． １８．（１２分） 乒乓球单打决赛，采用 ７局 ４胜，每一局都是一方胜、一方负，没有平局，先胜 ４局者获胜，若没有一方赢够 ４ 局，比赛继续，直到有一方赢够 ４局为止，比赛结束，现甲、乙两人决赛，每局甲胜乙的概率为 ２ ３． （１）求打了 ６局甲取胜的概率； （２）求打了 ７局比赛结束的概率． １９．（１２分） 如图，圆柱 ＯＯ１的轴截面 ＡＢＢ１Ａ１是正方形，Ｏ１、Ｏ分别是上、下底面的圆心，Ｃ是弧 ＡＢ的中点，Ｄ、Ｅ分别是 ＡＡ１与 ＢＣ中点． （１）求证：ＤＥ∥平面 Ａ１ＣＢ１； （２）求二面角 Ｂ－Ａ１Ｃ－Ｂ１的余弦值． ２０．（１２分） 椭圆 Ｃ：ｘ２ ３ｂ２＋ｙ２ ｂ２ ＝１（ｂ＞０）的左、右顶点分别为 Ａ１，Ａ２，上顶点为 Ｂ，点 Ｄ（１，０），直线 ＢＤ的倾斜角为１３５°． （１）求椭圆 Ｃ的方程； （２）过 Ｄ且斜率存在的动直线与椭圆 Ｃ交于 Ｍ、Ｎ两点，直线 Ａ１Ｍ与 Ａ２Ｎ交于 Ｐ，求证：Ｐ在定直线上． ２１．（１２分） 已知 ａ＞０，函数 ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ－１）ｅｘ＋ａ－１ ２ｘ２＋ａｘ． （１）讨论 ｆ（ｘ）的单调性； （２）若任意 ｘ１，ｘ２∈［０，２ａ］，ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２） ＋ａ２ ２≤（１＋ｅ－２）ｅ３ａ恒成立，求 ａ的取值范围． （二）、选考题：共 １０分．请考生从 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． ２２．［选修 ４－４：坐标系与参数方程］（１０分） 在平面直角坐标系 ｘｏｙ中，已知直线 ｌ的参数方程为 ｘ＝－槡３ ２ｔ ｙ＝ｔ ２{ ＋４ （ｔ为参数），以直角坐标原点 Ｏ为极点，ｘ轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 Ｃ的极坐标方程为 ρｋ＝ ４ ｋ－１＋３ｃｏｓｋ（ｋπ ４ ＋θ） ． （１）当 ｋ＝１时，求直线 ｌ和 Ｃ的普通方程； （２）当 ｋ＝２时，试判断直线 ｌ和 Ｃ有无交点，若有，求出交点的坐标；若无，说明理由． ２３．［选修 ４－５：不等式选讲］（１０分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝１ ２ ｘ－１ － ｘ＋１． （１）在如图所示的网格纸中作出函数 ｆ（ｘ）的图象； （２）求 ｆ（ｘ）≤ｘ－４的解集．