测试卷 数学试题（理科）参考答案 5页

测试卷 数学试题(理科)参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。‎ ‎1．C 2．B 3．B 4．D ‎ ‎5．A 6．D 7．D 8．D ‎ 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。‎ ‎9．， 10．2， ‎ ‎11．2， 12．4， ‎ ‎13．2 14．[，]‎ ‎15．2‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。‎ ‎16．本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ) 由及正弦定理得 ‎， .........1分 所以 ‎，‎ 故 ‎， .........3分 所以，由余弦定理得 ‎，‎ 解得 ‎． .........6分 ‎(Ⅱ) 由知，及，解得 ‎． .........8分 ‎ ‎ 所以的面积 ‎． .........10分 ‎ 由基本不等式得 ‎，.........13分 当且仅当时，等号成立．‎ 所以面积的最大值为． .........14分 ‎17．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ A B D C O P ‎(第17题图)‎ H E ‎(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得 CE＝＝1， DE＝＝3，.........3分 所以BE＝DE，从而得 ‎∠DBC＝∠BCA＝45°，.........5分 所以∠BOC＝90°，即 AC⊥BD． .........6分 由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC． .........7分 ‎ 方法一：‎ ‎ (Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．‎ 由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．‎ 所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．‎ 故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°． .........11分 在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝． .........12分 在Rt△PAC中，＝．设PA＝x，可得＝．.........14分 解得x＝，即 AP＝． .........15分 ‎ 方法二：‎ A B D C O P ‎(第17题图)‎ x z y ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．.........8分 由题意知各点坐标如下：‎ A(0，－，1)， B(，0， 0)，‎ ‎ C(0，，0)， D(－，0， 0)．.........9分 由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－，t) (t＞0)．‎ ‎ 设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，‎ 由＝(－，－，0)，＝(－，，－t) 知 取y＝1，得 m＝(－2，1， )． .........12分 又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，于是 .........13分 ‎|cos< m，n>|＝＝＝．‎ 解得t＝，即 AP＝． .........15分 ‎18．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ) 由题意得 ‎．.........2分 所以，当时，即当时，函数的单调递增区间为；.........5分 当时，函数的单调递增区间为． .........7分 ‎ (Ⅱ)由的单调性得 ‎ .........10分 ‎ 由与得 ‎， .........12分 由与得 ‎． .........14分 综上，的取值范围为． .........15分 ‎19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎ (Ⅰ)由直线斜率，得直线的方程为 ‎， .........2分 代入椭圆方程得 ‎，‎ 所以 ‎． .........5分 ‎(Ⅱ) 设点，，直线的方程为．‎ ‎ 由 消去得 ‎． .........7分 故，且 ‎ 　① .........9分 ‎　 ‎ ‎ 由得 ‎， ‎ 将，代入得 ‎ ， ②‎ 将①代入②得 ‎． .........12分 联立与得 ‎ .........13分 解得的取值范围为 ‎．.........15分 ‎20．本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ)由题意知，故 ‎， .........6分 所以数列为单调递减数列． ‎ ‎(Ⅱ) 因为，，所以，当时 ‎，‎ 得 ‎， ‎ 故 ‎． .........8分 ‎ 因为 ‎， .........11分 故 ‎．.........13分 所以 ‎． .........15分