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  • 2021-06-08 发布

2019年河南省许昌市禹州市高二数学模拟试卷(理科)

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‎2019年河南省许昌市禹州市高二数学模拟试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则(∁UA)∩B=(  )‎ A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.(1,2] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)‎ ‎2.设复数z=1+i(i是虚数单位),则|+z|=(  )‎ A.2 B. C.3 D.2‎ ‎3.不等式|2x﹣1|>x+2的解集是(  )‎ A.(﹣,3) B.(﹣∞,﹣)∪(3,+∞) C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞) D.(﹣3,+∞)‎ ‎4.若函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),则f()=(  )‎ A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或0‎ ‎5.一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.5‎ ‎6.已知双曲线,它的一个顶点到较近焦点的距离为1,焦点到渐近线的距离是,则双曲线C的方程为(  )‎ A.x2﹣=1 B.﹣y2=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=1‎ ‎7.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:‎ ‎①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;‎ ‎②若a∥b,a∥c,则b∥c;‎ ‎③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;‎ ‎④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.‎ ‎ 21 / 21‎ 其中真命题的序号是(  )‎ A.①② B.②③ C.①④ D.②④‎ ‎8.设点M(x,y)是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点,O为坐标原点,则|OM|≤2的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=170,则a7+a9+a11的值为(  )‎ A.10 B.20 C.25 D.30‎ ‎10.已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值范围为(  )‎ A.<α≤ B.<α<π C.≤α<π D.<α≤‎ ‎11.已知f(x)=在x=0处取得最小值,则a的最大值是(  )‎ A.4 B.1 C.3 D.2‎ ‎12.若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是(  )‎ A. B.1 C.2 D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上 ‎13.命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为_______.‎ ‎14.若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则ab的值为_______.‎ ‎15.设函数f(x)=lnx的定义域为(M,+∞),且M>0,对于任意a,b,c∈(M,+∞),若a,b,c是直角三角形的三条边长,且f(a),f(b),f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为_______.‎ ‎16.已知||=1,||=, =0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于_______.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),则数列{bn}中,b1=1,点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.‎ ‎(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;‎ ‎ 21 / 21‎ ‎(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设=,求λ的值.‎ ‎19.甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这8次成绩的平均分都是85分.‎ ‎(1)求x;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定?‎ ‎(2)若将频率视为概率,对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ x ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎20.已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点 (,)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.‎ ‎21.已知函数(其中常数a,b∈R),.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,若函数f(x)是奇函数,求f(x)的极值点;‎ ‎(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(Ⅲ)当时,求函数g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在满足条件的实数a,使得对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)‎ ‎22.如图,P为圆外一点,PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,过点P作AB的垂线交圆于C、E两点(C、D两点在AB的同侧),垂足为F,连接AD交PE于点G.‎ ‎(1)证明:PC=PD;‎ ‎(2)若AC=BD,求证:线段AB与DE互相平分.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合,x轴非负半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为,(φ为参数).‎ ‎(1)在极坐标系下,若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A,B两点,求△AOB的面积;‎ ‎(2)给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知:函数f(x)=|1﹣3x|+3+ax.‎ ‎(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≤5;‎ ‎(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎ 21 / 21‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则(∁UA)∩B=(  )‎ A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.(1,2] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】化简集合B,求出A的补集,再计算(∁UA)∩B.‎ ‎【解答】解:全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},‎ B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2},‎ ‎∴∁UA={x|x<﹣1或x>1},‎ ‎∴(∁UA)∩B={x|1<x≤2}=(1,2].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.设复数z=1+i(i是虚数单位),则|+z|=(  )‎ A.2 B. C.3 D.2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】先求出+z,再求出其模即可.‎ ‎【解答】解:∵z=1+i,‎ ‎∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2,‎ 故|+z|=2,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.不等式|2x﹣1|>x+2的解集是(  )‎ A.(﹣,3) B.(﹣∞,﹣)∪(3,+∞) C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞) D.(﹣3,+∞)‎ ‎【考点】绝对值三角不等式.‎ ‎【分析】选择题,对x+2进行分类讨论,可直接利用绝对值不等式公式解决:|x|>a等价于x>a或x<﹣a,最后求并集即可.‎ ‎【解答】解:当x+2>0时,‎ 不等式可化为2x﹣1>x+2或2x﹣1<﹣(x+2),‎ ‎∴x>3或2x﹣1<﹣x﹣2,‎ ‎∴x>3或﹣2<x<﹣,‎ 当x+2≤0时,即x≤﹣2,显然成立,‎ ‎ 21 / 21‎ 故x的范围为x>3或x<﹣‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.若函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),则f()=(  )‎ A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或0‎ ‎【考点】正弦函数的图象.‎ ‎【分析】由f(+x)=f(﹣x),可得x=是函数f(x)的对称轴,利用三角函数的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),‎ ‎∴x=是函数f(x)的对称轴,‎ 即此时函数f(x)取得最值,即f()=±2,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.5‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值,根据已知即可求解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值,‎ ‎ 21 / 21‎ ‎∵y=,‎ ‎∴sin()=‎ ‎∴=2kπ+,k∈Z,即可解得x=12k+1,k∈Z.‎ ‎∴当k=0时,有x=1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.已知双曲线,它的一个顶点到较近焦点的距离为1,焦点到渐近线的距离是,则双曲线C的方程为(  )‎ A.x2﹣=1 B.﹣y2=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意可得c﹣a=1,求出渐近线方程和焦点的坐标,运用点到直线的距离公式,可得b=,由a,b,c的关系,可得a,进而得到所求双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:双曲线的一个顶点(a,0)到较近焦点(c,0)的距离为1,‎ 可得c﹣a=1,‎ 由双曲线的渐近线方程为y=x,‎ 则焦点(c,0)到渐近线的距离为d==b=,‎ 又c2﹣a2=b2=3,‎ 解得a=1,c=2,‎ 即有双曲线的方程为x2﹣=1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:‎ ‎①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;‎ ‎②若a∥b,a∥c,则b∥c;‎ ‎③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;‎ ‎④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.‎ 其中真命题的序号是(  )‎ A.①② B.②③ C.①④ D.②④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】与立体几何有关的命题真假判断,要多结合空间图形,充分利用相关的公里、定理解答.判断线与线、线与面、面与面之间的关系,可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析.‎ ‎【解答】解:因为空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,‎ ‎①中正方体从同一点出发的三条线,满足已知但是a⊥c,所以①错误;‎ ‎②若a∥b,b∥c,则a∥c,满足平行线公理,所以②正确;‎ ‎③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以③错误;‎ ‎④垂直于同一平面的两直线平行,由线面垂直的性质定理判断④正确;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.设点M(x,y)是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点,O为坐标原点,则|OM|≤2的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】若x,y∈R,则区域W的面积是2×2=4.满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x2+y2≤4},求出面积,即可求出概率.‎ ‎【解答】解:这是一个几何概率模型.‎ 若x,y∈R,则区域W的面积是2×2=4.‎ 满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,‎ x2+y2≤4},‎ 面积为2[﹣(﹣)]= +,‎ 故|OM|≤2的概率为.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=170,则a7+a9+a11的值为(  )‎ A.10 B.20 C.25 D.30‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9,而s17=17a9,故本题可解.‎ ‎【解答】解:∵a1+a17=2a9,‎ ‎∴s17==17a9=170,‎ ‎∴a9=10,‎ ‎∴a7+a9+a11=3a9=30;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值范围为(  )‎ A.<α≤ B.<α<π C.≤α<π D.<α≤‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α>π,从而解得α>,妨设三角形三边为a﹣d,a,a+d,(a>0,d>0),利用余弦定理可得cosα=2﹣>﹣1,结合三角形内角的范围即可得解.‎ ‎【解答】解:∵α为△ABC最大内角,‎ ‎∴3α>π,‎ 即α>,‎ 由题意,不妨设三角形三边为a﹣d,a,a+d,(a>0,d>0),‎ 则由余弦定理可得,cosα===2﹣=2﹣,‎ 又∵三角形两边之和大于第三边,可得a﹣d+a>a+d,可得a>2d,即,‎ ‎∴cosα=2﹣>﹣1,‎ 又α为三角形内角,α∈(0,π),‎ 可得:α∈(,π).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知f(x)=在x=0处取得最小值,则a的最大值是(  )‎ A.4 B.1 C.3 D.2‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】根据分段函数,分别讨论x的范围,求出函数的最小值,根据题意得出不等式a2<a+2,求解即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=,‎ 当x≤0时,‎ f(x)的最小值为a2,‎ 当x>0时,‎ f(x)的最小值为2+a,‎ ‎∵在x=0处取得最小值,‎ ‎∴a2<a+2,‎ ‎∴﹣1≤a≤2,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎12.若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是(  )‎ A. B.1 C.2 D.‎ ‎【考点】函数恒成立问题.‎ ‎【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x>0时恒成立,构造函数g(x)=,通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值.‎ ‎【解答】解:当x=0时,不等式即为0≤ey﹣2+e﹣y﹣2+2,显然成立;‎ 当x>0时,设f(x)=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2,‎ 不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立,‎ 即为不等式4ax≤f(x)恒成立.‎ 即有f(x)=ex﹣2(ey+e﹣y)+2≥ex﹣2•2+2=2+2ex﹣2(当且仅当y=0时,取等号),‎ 由题意可得4ax≤2+2ex﹣2,‎ 即有a≤在x>0时恒成立,‎ 令g(x)=,g′(x)=,‎ 令g′(x)=0,即有(x﹣1)ex﹣2=1,‎ 令h(x)=(x﹣1)ex﹣2,h′(x)=xex﹣2,‎ 当x>0时h(x)递增,‎ 由于h(2)=1,即有(x﹣1)ex﹣2=1的根为2,‎ 当x>2时,g(x)递增,0<x<2时,g(x)递减,‎ 即有x=2时,g(x)取得最小值,为,‎ ‎ 21 / 21‎ 则有a≤.‎ 当x=2,y=0时,a取得最大值.‎ 故选:D ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上 ‎13.命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为 存在x0≤0,都有 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,‎ 所以,命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为:存在x0≤0,都有;‎ 故答案为:存在x0≤0,都有;‎ ‎ ‎ ‎14.若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则ab的值为 1 .‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】直接利用二项式定理的通项公式,求出x3项的系数为20,得到ab的值.‎ ‎【解答】解:(ax2+)6的展开式的通项公式为Tr+1=•a6﹣r•br•x12﹣3r,‎ 令12﹣3r=3,求得r=3,‎ 故(ax2+)6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20,‎ ‎∴ab=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎15.设函数f(x)=lnx的定义域为(M,+∞),且M>0,对于任意a,b,c∈(M,+∞),若a,b,c是直角三角形的三条边长,且f(a),f(b),f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为  .‎ ‎【考点】三角形的形状判断;函数的值.‎ ‎【分析】不妨设c为斜边,则M<a<c,M<b<c,则可得ab>M2,结合题意可得,结合a2+b2≥2ab可求c的范围,进而可求M的范围,即可求解 ‎【解答】解:不妨设c为斜边,则M<a<c,M<b<c ‎∴ab>M2‎ 由题意可得,‎ ‎ 21 / 21‎ ‎∴‎ ‎∵a2+b2≥2ab>2c ‎∴c2>2c即c>2‎ ‎∴ab>2‎ ‎∴M2≥2‎ ‎∴‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.已知||=1,||=, =0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于 3 .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;线段的定比分点.‎ ‎【分析】先根据=0,可得⊥,又因为==‎ ‎=|OC|×1×cos30°==1×,所以可得:在x轴方向上的分量为 在y轴方向上的分量为,又根据=m+n=n+m,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵||=1,||=, =0,⊥‎ ‎==‎ ‎=|OC|×1×cos30°==1×‎ ‎∴在x轴方向上的分量为 在y轴方向上的分量为 ‎∵=m+n=n+m ‎∴,‎ 两式相比可得: =3.‎ 故答案为:3‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),则数列{bn}中,b1=1,点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】(I)等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),可得a1=5,a2=3,a3=1.利用等差数列的通项公式即可得出.由点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上,可得bn=a•2n.利用b1=1,解得a,即可得出.‎ ‎(II)cn=an•bn=(7﹣2n)•2n﹣1.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(I)等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),‎ ‎∴a1=5,a2=3,a3=1.∴d=3﹣5=﹣2,∴an=5﹣2(n﹣1)=7﹣2n.‎ ‎∵点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上,∴bn=a•2n.‎ ‎∵b1=1,∴1=a×21,解得a=.‎ ‎∴bn=2n﹣1.‎ ‎(II)cn=an•bn=(7﹣2n)•2n﹣1.‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Sn=5×1+3×2+1×22+…+(7﹣2n)•2n﹣1.‎ ‎∴2Sn=5×2+3×22+…+(9﹣2n)•2n﹣1+(7﹣2n)•2n,‎ ‎∴﹣Sn=5﹣2(2+22+…+2n﹣1)﹣(7﹣2n)•2n=5﹣﹣(7﹣2n)•2n=9﹣(9﹣2n)•2n,‎ ‎∴Sn=(9﹣2n)•2n﹣9.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.‎ ‎(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;‎ ‎(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设=,求λ的值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;棱柱的结构特征.‎ ‎【分析】(1)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.‎ ‎(2)利用四点共面, =x+y,建立方程关系进行求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎∴建立以A为坐标原点,AB,AC,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:‎ 则A(0,0,0),A1(0,0,6),B(2,0,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,2,4),‎ 则=(2,0,2),=(0,2,4),‎ 设平面AEF的法向量为=(x,y,z)‎ 则 令z=1.则x=﹣1,y=﹣2,‎ 即=(﹣1,﹣2,1),‎ 平面ABC的法向量为=(0,0,1),‎ 则cos<,>===‎ 即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是;‎ ‎(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,‎ 则G(1,1,0),‎ ‎∵=,‎ ‎∴==λ(1,1,﹣6)=(λ,λ,﹣6λ),‎ ‎=+=(λ,λ,6﹣6λ)‎ ‎∵A,E,F,H四点共面,‎ ‎∴设=x+y,‎ 即(λ,λ,6﹣6λ)=x(2,0,2)+y(0,2,4),‎ 则,得λ=,x=y=,‎ 故λ的值为.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎ ‎ ‎19.甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这8次成绩的平均分都是85分.‎ ‎(1)求x;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定?‎ ‎(2)若将频率视为概率,对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎8‎ x ‎2‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;极差、方差与标准差;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得;‎ ‎(2)由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A,则,而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3,‎ ‎ 由题意可以分析出该随机变量ξ~B(3,),再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得.‎ ‎【解答】解:(1)依题意,解x=4,‎ ‎ 由图中数据直观判断,甲同学的成绩比较稳定.‎ ‎(2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A,则,‎ 随机变ξ的可能取值为0、1、2、3,ξ~B(3,),‎ ‎,其k=0、1、2、3.‎ 所以变ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎20.已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;‎ ‎(1)求曲线E的方程;‎ ‎(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点 (,)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【分析】(1)设P(x,y),由题意可得,整理可得切线E的方程 ‎(2)过点Q任作的直线方程可设为:为直线的倾斜角),代入曲线E的方程y2=3x,得(n+tsinα)2=3(m+tcosα),sin2αt2+(2nsinα﹣3cosα)t+n2﹣3m=0,由韦达定理得,,若使得点 (,)在以原点为圆心,定值r为半径的圆上,则有=为定值 ‎【解答】解:(1)设P(x,y),圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式:‎ 则有 ‎∴(x﹣2)2=x2﹣7x+y2+4,整理可得y2=3x ‎∴曲线E的方程为y2=3x.‎ ‎(2)过点Q任作的直线方程可设为:为直线的倾斜角)‎ 代入曲线E的方程y2=3x,得(n+tsinα)2=3(m+tcosα),sin2αt2+(2nsinα﹣3cosα)t+n2﹣3m=0‎ 由韦达定理得,, =‎ ‎ 21 / 21‎ ‎=═‎ 令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0‎ 得n=0,,此时为定值故存在.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数(其中常数a,b∈R),.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,若函数f(x)是奇函数,求f(x)的极值点;‎ ‎(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(Ⅲ)当时,求函数g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在满足条件的实数a,使得对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(I)根据所给的函数是一个奇函数,写出奇函数成立的等式,整理出b的值是0,得到函数的解析式,对函数求导,使得导函数等于0,求出极值点.‎ ‎(II)要求函数的单调增区间,首先对函数求导,使得导函数大于0,解不等式,问题转化为解一元二次不等式,注意对于a值进行讨论.‎ ‎(Ⅲ)求出函数g(x)在[0,a]上的极值、端点值,比较其中最小者即为h(a),再利用奇函数性质及基本不等式求出f(x)的最小值,对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立,‎ 等价于f(x)min>h(a),在上只要找到一a值满足该不等式即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,‎ 因为函数f(x)是奇函数,∴对x∈R,f(﹣x)=﹣f(x)成立,‎ 得,∴,‎ ‎∴,得,‎ 令f'(x)=0,得x2=1,∴x=±1,‎ 经检验x=±1是函数f(x)的极值点.‎ ‎(Ⅱ)因为,∴,‎ 令f'(x)>0⇒﹣ax2﹣2bx+a>0,得ax2+2bx﹣a<0,‎ ‎ 21 / 21‎ ‎①当a>0时,方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2>0,两根,‎ 单调递增区间为,‎ ‎②当a<0时,单调递增区间为和.‎ ‎(Ⅲ) 因为,当x∈[0,a]时,令g'(x)=0,得,其中.‎ 当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(0,x0)‎ x0‎ ‎(x0,a)‎ g'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ g(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎∴函数g(x)在[0,a]上的最小值为g(0)与g(a)中的较小者.‎ 又g(0)=0,,∴h(a)=g(a),∴,‎ b=0时,由函数是奇函数,且,‎ ‎∴x>0时,,当x=1时取得最大值;‎ 当x=0时,f(0)=0;当x<0时,,‎ ‎∴函数f(x)的最小值为,‎ 要使对任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立,则f(x)最小>h(a),‎ ‎∴,即不等式在上有解,a=π符合上述不等式,‎ ‎∴存在满足条件的实数a=π,使对任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)‎ ‎22.如图,P为圆外一点,PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,过点P作AB的垂线交圆于C、E两点(C、D两点在AB的同侧),垂足为F,连接AD交PE于点G.‎ ‎(1)证明:PC=PD;‎ ‎(2)若AC=BD,求证:线段AB与DE互相平分.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】(1)利用PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,证明:∠DGP=∠PDG,即可证明PC=PD;‎ ‎(2)若AC=BD,证明DE为圆的一条直径,即可证明线段AB与DE互相平分.‎ ‎【解答】证明:(1)∵PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,‎ ‎∴∠PDA=∠DBA,∠BDA=90°,‎ ‎∴∠DBA+∠DAB=90°,‎ ‎∵PE⊥AB ‎∴在Rt△AFG中,∠FGA+∠GAF=90°,‎ ‎∴∠FGA+∠DAB=90°,‎ ‎∴∠FGA=∠DBA.‎ ‎∵∠FGA=∠DGP,‎ ‎∴∠DGP=∠PDA,‎ ‎∴∠DGP=∠PDG,‎ ‎∴PG=PD;‎ ‎(2)连接AE,则 ‎∵CE⊥AB,AB为圆的一条直径,‎ ‎∴AE=AC=BD,‎ ‎∴∠EDA=∠DAB,‎ ‎∵∠DEA=∠DBA,‎ ‎∴△BDA≌△EAD,‎ ‎∴DE=AB,‎ ‎∴DE为圆的一条直径,‎ ‎∴线段AB与DE互相平分.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合,x轴非负半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为,(φ为参数).‎ ‎ 21 / 21‎ ‎(1)在极坐标系下,若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A,B两点,求△AOB的面积;‎ ‎(2)给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)曲线C的参数方程为,(φ为参数),利用平方关系可得:曲线 C在直角坐标系下的普通方程.将其化为极坐标方程为,分别代入和,可得|OA|,|OB|,,利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积.‎ ‎(2)将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0,与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C的参数方程为,(φ为参数),‎ 利用平方关系可得:曲线 C在直角坐标系下的普通方程为,‎ 将其化为极坐标方程为,‎ 分别代入和,得,‎ ‎∵,故△AOB的面积.‎ ‎(2)将l的极坐标方程化为直角坐标方程,得x﹣y﹣2=0,‎ 联立方程,解得x=2,y=0,或,‎ ‎∴曲线C与直线l的交点坐标为(2,0)或.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知:函数f(x)=|1﹣3x|+3+ax.‎ ‎(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≤5;‎ ‎(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.‎ ‎【分析】(1)若a=﹣1,不等式f(x)≤5,即为|3x﹣1|≤x+2,去掉绝对值解不等式f(x)≤5;‎ ‎(2)分析知函数f(x)有最小值的充要条件为,即可求实数a的取值范围.‎ ‎ 21 / 21‎ ‎【解答】解:(1)当a=﹣1时,f(x)=|3x﹣1|+3﹣x,所以不等式f(x)≤5,即为|3x﹣1|≤x+2,讨论:‎ 当时,3x﹣1﹣x+3≤5,解之得;‎ 当时,﹣3x+1﹣x+3≤5,解之得,‎ 综上,原不等式的解集为…‎ ‎(2),‎ 分析知函数f(x)有最小值的充要条件为,即﹣3≤a≤3…‎ ‎ ‎ ‎ 21 / 21‎