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- 2021-06-08 发布
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2019年河南省许昌市禹州市高二数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则(∁UA)∩B=( )
A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.(1,2] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)
2.设复数z=1+i(i是虚数单位),则|+z|=( )
A.2 B. C.3 D.2
3.不等式|2x﹣1|>x+2的解集是( )
A.(﹣,3) B.(﹣∞,﹣)∪(3,+∞) C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞) D.(﹣3,+∞)
4.若函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),则f()=( )
A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或0
5.一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.5
6.已知双曲线,它的一个顶点到较近焦点的距离为1,焦点到渐近线的距离是,则双曲线C的方程为( )
A.x2﹣=1 B.﹣y2=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=1
7.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a∥b,a∥c,则b∥c;
③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;
④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.
21 / 21
其中真命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
8.设点M(x,y)是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点,O为坐标原点,则|OM|≤2的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=170,则a7+a9+a11的值为( )
A.10 B.20 C.25 D.30
10.已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值范围为( )
A.<α≤ B.<α<π C.≤α<π D.<α≤
11.已知f(x)=在x=0处取得最小值,则a的最大值是( )
A.4 B.1 C.3 D.2
12.若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是( )
A. B.1 C.2 D.
二、填空题:本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为_______.
14.若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则ab的值为_______.
15.设函数f(x)=lnx的定义域为(M,+∞),且M>0,对于任意a,b,c∈(M,+∞),若a,b,c是直角三角形的三条边长,且f(a),f(b),f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为_______.
16.已知||=1,||=, =0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于_______.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),则数列{bn}中,b1=1,点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.
(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;
21 / 21
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设=,求λ的值.
19.甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这8次成绩的平均分都是85分.
(1)求x;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定?
(2)若将频率视为概率,对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
甲
乙
9
8
7
5
8
x
2
1
8
0
0
3
5
5
3
9
0
2
5
20.已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;
(1)求曲线E的方程;
(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点 (,)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.
21.已知函数(其中常数a,b∈R),.
(Ⅰ)当a=1时,若函数f(x)是奇函数,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)当时,求函数g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在满足条件的实数a,使得对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)
22.如图,P为圆外一点,PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,过点P作AB的垂线交圆于C、E两点(C、D两点在AB的同侧),垂足为F,连接AD交PE于点G.
(1)证明:PC=PD;
(2)若AC=BD,求证:线段AB与DE互相平分.
21 / 21
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合,x轴非负半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为,(φ为参数).
(1)在极坐标系下,若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A,B两点,求△AOB的面积;
(2)给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知:函数f(x)=|1﹣3x|+3+ax.
(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≤5;
(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.
21 / 21
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则(∁UA)∩B=( )
A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.(1,2] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】化简集合B,求出A的补集,再计算(∁UA)∩B.
【解答】解:全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},
B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2},
∴∁UA={x|x<﹣1或x>1},
∴(∁UA)∩B={x|1<x≤2}=(1,2].
故选:C.
2.设复数z=1+i(i是虚数单位),则|+z|=( )
A.2 B. C.3 D.2
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】先求出+z,再求出其模即可.
【解答】解:∵z=1+i,
∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2,
故|+z|=2,
故选:A.
3.不等式|2x﹣1|>x+2的解集是( )
A.(﹣,3) B.(﹣∞,﹣)∪(3,+∞) C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞) D.(﹣3,+∞)
【考点】绝对值三角不等式.
【分析】选择题,对x+2进行分类讨论,可直接利用绝对值不等式公式解决:|x|>a等价于x>a或x<﹣a,最后求并集即可.
【解答】解:当x+2>0时,
不等式可化为2x﹣1>x+2或2x﹣1<﹣(x+2),
∴x>3或2x﹣1<﹣x﹣2,
∴x>3或﹣2<x<﹣,
当x+2≤0时,即x≤﹣2,显然成立,
21 / 21
故x的范围为x>3或x<﹣
故选:B.
4.若函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),则f()=( )
A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或0
【考点】正弦函数的图象.
【分析】由f(+x)=f(﹣x),可得x=是函数f(x)的对称轴,利用三角函数的性质即可得到结论.
【解答】解:∵函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),
∴x=是函数f(x)的对称轴,
即此时函数f(x)取得最值,即f()=±2,
故选:B
5.一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.5
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值,根据已知即可求解.
【解答】解:模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值,
21 / 21
∵y=,
∴sin()=
∴=2kπ+,k∈Z,即可解得x=12k+1,k∈Z.
∴当k=0时,有x=1.
故选:C.
6.已知双曲线,它的一个顶点到较近焦点的距离为1,焦点到渐近线的距离是,则双曲线C的方程为( )
A.x2﹣=1 B.﹣y2=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意可得c﹣a=1,求出渐近线方程和焦点的坐标,运用点到直线的距离公式,可得b=,由a,b,c的关系,可得a,进而得到所求双曲线的方程.
【解答】解:双曲线的一个顶点(a,0)到较近焦点(c,0)的距离为1,
可得c﹣a=1,
由双曲线的渐近线方程为y=x,
则焦点(c,0)到渐近线的距离为d==b=,
又c2﹣a2=b2=3,
解得a=1,c=2,
即有双曲线的方程为x2﹣=1.
故选:A.
7.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a∥b,a∥c,则b∥c;
③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;
④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
21 / 21
【分析】与立体几何有关的命题真假判断,要多结合空间图形,充分利用相关的公里、定理解答.判断线与线、线与面、面与面之间的关系,可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析.
【解答】解:因为空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,
①中正方体从同一点出发的三条线,满足已知但是a⊥c,所以①错误;
②若a∥b,b∥c,则a∥c,满足平行线公理,所以②正确;
③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以③错误;
④垂直于同一平面的两直线平行,由线面垂直的性质定理判断④正确;
故选:D.
8.设点M(x,y)是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点,O为坐标原点,则|OM|≤2的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】若x,y∈R,则区域W的面积是2×2=4.满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x2+y2≤4},求出面积,即可求出概率.
【解答】解:这是一个几何概率模型.
若x,y∈R,则区域W的面积是2×2=4.
满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,
x2+y2≤4},
面积为2[﹣(﹣)]= +,
故|OM|≤2的概率为.
故选:D.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=170,则a7+a9+a11的值为( )
A.10 B.20 C.25 D.30
【考点】等差数列的前n项和.
21 / 21
【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9,而s17=17a9,故本题可解.
【解答】解:∵a1+a17=2a9,
∴s17==17a9=170,
∴a9=10,
∴a7+a9+a11=3a9=30;
故选D.
10.已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值范围为( )
A.<α≤ B.<α<π C.≤α<π D.<α≤
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α>π,从而解得α>,妨设三角形三边为a﹣d,a,a+d,(a>0,d>0),利用余弦定理可得cosα=2﹣>﹣1,结合三角形内角的范围即可得解.
【解答】解:∵α为△ABC最大内角,
∴3α>π,
即α>,
由题意,不妨设三角形三边为a﹣d,a,a+d,(a>0,d>0),
则由余弦定理可得,cosα===2﹣=2﹣,
又∵三角形两边之和大于第三边,可得a﹣d+a>a+d,可得a>2d,即,
∴cosα=2﹣>﹣1,
又α为三角形内角,α∈(0,π),
可得:α∈(,π).
故选:B.
11.已知f(x)=在x=0处取得最小值,则a的最大值是( )
A.4 B.1 C.3 D.2
【考点】函数的最值及其几何意义.
21 / 21
【分析】根据分段函数,分别讨论x的范围,求出函数的最小值,根据题意得出不等式a2<a+2,求解即可.
【解答】解:∵f(x)=,
当x≤0时,
f(x)的最小值为a2,
当x>0时,
f(x)的最小值为2+a,
∵在x=0处取得最小值,
∴a2<a+2,
∴﹣1≤a≤2,
故选D.
12.若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是( )
A. B.1 C.2 D.
【考点】函数恒成立问题.
【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x>0时恒成立,构造函数g(x)=,通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值.
【解答】解:当x=0时,不等式即为0≤ey﹣2+e﹣y﹣2+2,显然成立;
当x>0时,设f(x)=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2,
不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立,
即为不等式4ax≤f(x)恒成立.
即有f(x)=ex﹣2(ey+e﹣y)+2≥ex﹣2•2+2=2+2ex﹣2(当且仅当y=0时,取等号),
由题意可得4ax≤2+2ex﹣2,
即有a≤在x>0时恒成立,
令g(x)=,g′(x)=,
令g′(x)=0,即有(x﹣1)ex﹣2=1,
令h(x)=(x﹣1)ex﹣2,h′(x)=xex﹣2,
当x>0时h(x)递增,
由于h(2)=1,即有(x﹣1)ex﹣2=1的根为2,
当x>2时,g(x)递增,0<x<2时,g(x)递减,
即有x=2时,g(x)取得最小值,为,
21 / 21
则有a≤.
当x=2,y=0时,a取得最大值.
故选:D
二、填空题:本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为 存在x0≤0,都有 .
【考点】命题的否定.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,
所以,命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为:存在x0≤0,都有;
故答案为:存在x0≤0,都有;
14.若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则ab的值为 1 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】直接利用二项式定理的通项公式,求出x3项的系数为20,得到ab的值.
【解答】解:(ax2+)6的展开式的通项公式为Tr+1=•a6﹣r•br•x12﹣3r,
令12﹣3r=3,求得r=3,
故(ax2+)6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20,
∴ab=1.
故答案为:1.
15.设函数f(x)=lnx的定义域为(M,+∞),且M>0,对于任意a,b,c∈(M,+∞),若a,b,c是直角三角形的三条边长,且f(a),f(b),f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为 .
【考点】三角形的形状判断;函数的值.
【分析】不妨设c为斜边,则M<a<c,M<b<c,则可得ab>M2,结合题意可得,结合a2+b2≥2ab可求c的范围,进而可求M的范围,即可求解
【解答】解:不妨设c为斜边,则M<a<c,M<b<c
∴ab>M2
由题意可得,
21 / 21
∴
∵a2+b2≥2ab>2c
∴c2>2c即c>2
∴ab>2
∴M2≥2
∴
故答案为:
16.已知||=1,||=, =0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则等于 3 .
【考点】平面向量数量积的运算;线段的定比分点.
【分析】先根据=0,可得⊥,又因为==
=|OC|×1×cos30°==1×,所以可得:在x轴方向上的分量为
在y轴方向上的分量为,又根据=m+n=n+m,可得答案.
【解答】解:∵||=1,||=, =0,⊥
==
=|OC|×1×cos30°==1×
∴在x轴方向上的分量为
在y轴方向上的分量为
∵=m+n=n+m
∴,
两式相比可得: =3.
故答案为:3
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),则数列{bn}中,b1=1,点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上.
21 / 21
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Sn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(I)等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),可得a1=5,a2=3,a3=1.利用等差数列的通项公式即可得出.由点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上,可得bn=a•2n.利用b1=1,解得a,即可得出.
(II)cn=an•bn=(7﹣2n)•2n﹣1.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(I)等差数列{an}的公差为d(d<0),ai∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),
∴a1=5,a2=3,a3=1.∴d=3﹣5=﹣2,∴an=5﹣2(n﹣1)=7﹣2n.
∵点Bn(n,bn)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上,∴bn=a•2n.
∵b1=1,∴1=a×21,解得a=.
∴bn=2n﹣1.
(II)cn=an•bn=(7﹣2n)•2n﹣1.
∴数列{cn}的前n项和Sn=5×1+3×2+1×22+…+(7﹣2n)•2n﹣1.
∴2Sn=5×2+3×22+…+(9﹣2n)•2n﹣1+(7﹣2n)•2n,
∴﹣Sn=5﹣2(2+22+…+2n﹣1)﹣(7﹣2n)•2n=5﹣﹣(7﹣2n)•2n=9﹣(9﹣2n)•2n,
∴Sn=(9﹣2n)•2n﹣9.
18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.
(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设=,求λ的值.
【考点】二面角的平面角及求法;棱柱的结构特征.
【分析】(1)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.
(2)利用四点共面, =x+y,建立方程关系进行求解即可.
【解答】解:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.
21 / 21
∴建立以A为坐标原点,AB,AC,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
则A(0,0,0),A1(0,0,6),B(2,0,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,2,4),
则=(2,0,2),=(0,2,4),
设平面AEF的法向量为=(x,y,z)
则
令z=1.则x=﹣1,y=﹣2,
即=(﹣1,﹣2,1),
平面ABC的法向量为=(0,0,1),
则cos<,>===
即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是;
(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,
则G(1,1,0),
∵=,
∴==λ(1,1,﹣6)=(λ,λ,﹣6λ),
=+=(λ,λ,6﹣6λ)
∵A,E,F,H四点共面,
∴设=x+y,
即(λ,λ,6﹣6λ)=x(2,0,2)+y(0,2,4),
则,得λ=,x=y=,
故λ的值为.
21 / 21
19.甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这8次成绩的平均分都是85分.
(1)求x;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定?
(2)若将频率视为概率,对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
甲
乙
9
8
7
5
8
x
2
1
8
0
0
3
5
5
3
9
0
2
5
【考点】离散型随机变量的期望与方差;极差、方差与标准差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得;
(2)由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A,则,而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3,
由题意可以分析出该随机变量ξ~B(3,),再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得.
【解答】解:(1)依题意,解x=4,
由图中数据直观判断,甲同学的成绩比较稳定.
(2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A,则,
随机变ξ的可能取值为0、1、2、3,ξ~B(3,),
,其k=0、1、2、3.
所以变ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
P
20.已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;
(1)求曲线E的方程;
(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点 (,)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
21 / 21
【分析】(1)设P(x,y),由题意可得,整理可得切线E的方程
(2)过点Q任作的直线方程可设为:为直线的倾斜角),代入曲线E的方程y2=3x,得(n+tsinα)2=3(m+tcosα),sin2αt2+(2nsinα﹣3cosα)t+n2﹣3m=0,由韦达定理得,,若使得点 (,)在以原点为圆心,定值r为半径的圆上,则有=为定值
【解答】解:(1)设P(x,y),圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式:
则有
∴(x﹣2)2=x2﹣7x+y2+4,整理可得y2=3x
∴曲线E的方程为y2=3x.
(2)过点Q任作的直线方程可设为:为直线的倾斜角)
代入曲线E的方程y2=3x,得(n+tsinα)2=3(m+tcosα),sin2αt2+(2nsinα﹣3cosα)t+n2﹣3m=0
由韦达定理得,, =
21 / 21
=═
令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0
得n=0,,此时为定值故存在.
21.已知函数(其中常数a,b∈R),.
(Ⅰ)当a=1时,若函数f(x)是奇函数,求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅲ)当时,求函数g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在满足条件的实数a,使得对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.
【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(I)根据所给的函数是一个奇函数,写出奇函数成立的等式,整理出b的值是0,得到函数的解析式,对函数求导,使得导函数等于0,求出极值点.
(II)要求函数的单调增区间,首先对函数求导,使得导函数大于0,解不等式,问题转化为解一元二次不等式,注意对于a值进行讨论.
(Ⅲ)求出函数g(x)在[0,a]上的极值、端点值,比较其中最小者即为h(a),再利用奇函数性质及基本不等式求出f(x)的最小值,对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立,
等价于f(x)min>h(a),在上只要找到一a值满足该不等式即可.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,
因为函数f(x)是奇函数,∴对x∈R,f(﹣x)=﹣f(x)成立,
得,∴,
∴,得,
令f'(x)=0,得x2=1,∴x=±1,
经检验x=±1是函数f(x)的极值点.
(Ⅱ)因为,∴,
令f'(x)>0⇒﹣ax2﹣2bx+a>0,得ax2+2bx﹣a<0,
21 / 21
①当a>0时,方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2>0,两根,
单调递增区间为,
②当a<0时,单调递增区间为和.
(Ⅲ) 因为,当x∈[0,a]时,令g'(x)=0,得,其中.
当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表:
x
(0,x0)
x0
(x0,a)
g'(x)
+
0
﹣
g(x)
↗
↘
∴函数g(x)在[0,a]上的最小值为g(0)与g(a)中的较小者.
又g(0)=0,,∴h(a)=g(a),∴,
b=0时,由函数是奇函数,且,
∴x>0时,,当x=1时取得最大值;
当x=0时,f(0)=0;当x<0时,,
∴函数f(x)的最小值为,
要使对任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立,则f(x)最小>h(a),
∴,即不等式在上有解,a=π符合上述不等式,
∴存在满足条件的实数a=π,使对任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)
22.如图,P为圆外一点,PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,过点P作AB的垂线交圆于C、E两点(C、D两点在AB的同侧),垂足为F,连接AD交PE于点G.
(1)证明:PC=PD;
(2)若AC=BD,求证:线段AB与DE互相平分.
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【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】(1)利用PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,证明:∠DGP=∠PDG,即可证明PC=PD;
(2)若AC=BD,证明DE为圆的一条直径,即可证明线段AB与DE互相平分.
【解答】证明:(1)∵PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,
∴∠PDA=∠DBA,∠BDA=90°,
∴∠DBA+∠DAB=90°,
∵PE⊥AB
∴在Rt△AFG中,∠FGA+∠GAF=90°,
∴∠FGA+∠DAB=90°,
∴∠FGA=∠DBA.
∵∠FGA=∠DGP,
∴∠DGP=∠PDA,
∴∠DGP=∠PDG,
∴PG=PD;
(2)连接AE,则
∵CE⊥AB,AB为圆的一条直径,
∴AE=AC=BD,
∴∠EDA=∠DAB,
∵∠DEA=∠DBA,
∴△BDA≌△EAD,
∴DE=AB,
∴DE为圆的一条直径,
∴线段AB与DE互相平分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合,x轴非负半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为,(φ为参数).
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(1)在极坐标系下,若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A,B两点,求△AOB的面积;
(2)给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标.
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C的参数方程为,(φ为参数),利用平方关系可得:曲线 C在直角坐标系下的普通方程.将其化为极坐标方程为,分别代入和,可得|OA|,|OB|,,利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积.
(2)将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0,与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标.
【解答】解:(1)曲线C的参数方程为,(φ为参数),
利用平方关系可得:曲线 C在直角坐标系下的普通方程为,
将其化为极坐标方程为,
分别代入和,得,
∵,故△AOB的面积.
(2)将l的极坐标方程化为直角坐标方程,得x﹣y﹣2=0,
联立方程,解得x=2,y=0,或,
∴曲线C与直线l的交点坐标为(2,0)或.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知:函数f(x)=|1﹣3x|+3+ax.
(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≤5;
(2)若函数f(x)有最小值,求实数a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(1)若a=﹣1,不等式f(x)≤5,即为|3x﹣1|≤x+2,去掉绝对值解不等式f(x)≤5;
(2)分析知函数f(x)有最小值的充要条件为,即可求实数a的取值范围.
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【解答】解:(1)当a=﹣1时,f(x)=|3x﹣1|+3﹣x,所以不等式f(x)≤5,即为|3x﹣1|≤x+2,讨论:
当时,3x﹣1﹣x+3≤5,解之得;
当时,﹣3x+1﹣x+3≤5,解之得,
综上,原不等式的解集为…
(2),
分析知函数f(x)有最小值的充要条件为,即﹣3≤a≤3…
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