2012年浙江省高考数学试卷（理科） 25页

‎2012年浙江省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）‎ ‎2．（5分）已知i是虚数单位，则=（　　）‎ A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i ‎3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若|+|=||﹣||，则⊥‎ B．若⊥，则|+|=||﹣||‎ C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||‎ ‎6．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎7．（5分）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（　　）‎ A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0‎ C．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0‎ ‎8．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜b C．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b ‎10．（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　　）‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．（4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于　　cm3．‎ ‎12．（4分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　．‎ ‎13．（4分）设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=　　．‎ ‎14．（4分）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=　　．‎ ‎15．（4分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　　．‎ ‎16．（4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2‎ ‎=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．‎ ‎17．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若a=，求△ABC的面积．‎ ‎19．（14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望E（X）．‎ ‎20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．‎ ‎21．（15分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为 ‎，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．‎ ‎22．（14分）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．‎ ‎（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，‎ ‎（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；‎ ‎（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；‎ ‎（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2012年浙江省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•浙江）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）‎ ‎【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁RB）即可得出正确选项 ‎【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁RB={x|x＜﹣1或x＞3}，‎ 又集合A={x|1＜x＜4}，‎ ‎∴A∩（∁RB）=（3，4）‎ 故选B ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•浙江）已知i是虚数单位，则=（　　）‎ A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i ‎【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+i，再由进行计算即可得到答案．‎ ‎【解答】解：‎ 故选D ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•浙江）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．‎ ‎【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，‎ 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，‎ 故前者是后者的充分条件，‎ ‎∵当两条直线平行时，得到，‎ 解得a=﹣2，a=1，‎ ‎∴后者不能推出前者，‎ ‎∴前者是后者的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．‎ ‎【解答】解：将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，‎ 再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，‎ 得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），‎ ‎∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，‎ ‎∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0‎ 由此可得，A选项符合题意．‎ 故选A ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若|+|=||﹣||，则⊥‎ B．若⊥，则|+|=||﹣||‎ C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ D．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||‎ ‎【分析】通过向量和向量的模相关性质进行判断即可．‎ ‎【解答】解：对于A，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||≠0，与不垂直，所以A不正确；‎ 对于B，由A解析可知，|+|≠||﹣||，所以B不正确；‎ 对于C，若|+|=||﹣||，则||2+||2+2•=||2+||2﹣2||||，得•=﹣||||，则cosθ=﹣1，则与反向，因此存在实数λ，使得=λ，所以C正确．‎ 对于D，若存在实数λ，则•=λ||2，﹣||||=λ||2，由于λ不能等于0，因此•≠﹣||||，则|+|≠||﹣||，所以D不正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（　　）‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，‎ 当取得4个偶数时，有=1种结果，‎ 当取得4个奇数时，有=5种结果，‎ 当取得2奇2偶时有=6×10=60‎ ‎∴共有1+5+60=66种结果，‎ 故选D ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•浙江）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（　　）‎ A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0‎ C．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 D．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0‎ ‎【分析】由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+（a1+）n，可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+（a1﹣）n，‎ 选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项，故正确；‎ 选项B，若数列{Sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；‎ 选项C，若对任意n∈N*，均有Sn＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，‎ 可得数列{Sn}是递增数列，故正确；‎ 选项D，若数列{Sn}是递增数列，则对应抛物线开口向上，‎ 但不一定有任意n∈N*，均有Sn＞0，故错误．‎ 故选D ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF2|=|F1F2|，即可求得C的离心率．‎ ‎【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|=b，|O F1|=c．∴kPQ=，kMN=﹣．‎ 直线PQ为：y= （x+c），两条渐近线为：y=x．‎ 由，得Q（ ）；由得P．‎ ‎∴直线MN为，‎ 令y=0得：xM=．‎ 又∵|MF2|=|F1F2|=2c，‎ ‎∴3c=xM=，‎ ‎∴3a2=2c2‎ 解之得：，即e=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•浙江）设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若2a+2a=2b+3b，则a＞b B．若2a+2a=2b+3b，则a＜b C．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＞b D．若2a﹣2a=2b﹣3b，则a＜b ‎【分析】对于2a+2a=2b+3b，若a≤b成立，经分析可排除B；对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，经分析可排除C，D，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b＜2b+3b，‎ ‎∴若2a+2a=2b+3b，则a＞b，故A正确，B错误；‎ 对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥b，而不是a＞b排除C，也不是a＜b，排除D．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　　）‎ A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误 ‎【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，‎ A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；‎ B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD 取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；‎ C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除C D，由上所述，可排除D 故选 B ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．‎ ‎11．（4分）（2012•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于　1　cm3．‎ ‎【分析】‎ 由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和3的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和3cm的直角三角形，面积是cm2，‎ 三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2cm，这是三棱锥的高，‎ ‎∴三棱锥的体积是cm3，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2012•浙江）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是　　．‎ ‎【分析】通过循环框图，计算循环变量的值，当i=6时结束循环，输出结果即可．‎ ‎【解答】解：循环前，T=1，i=2，不满足判断框的条件，第1次循环，T=，i=3，‎ 不满足判断框的条件，第2次循环，T=，i=4，‎ 不满足判断框的条件，第3次循环，T=，i=5，‎ 不满足判断框的条件，第4次循环，T=，i=6，‎ 满足判断框的条件，退出循环，输出结果．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2012•浙江）设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=　　．‎ ‎【分析】经观察，S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），从而得到q+q2=3（q2﹣1），而q＞0，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，S2=3a2+2，S4=3a4+2，‎ ‎∴S4﹣S2=a3+a4=3（a4﹣a2），‎ ‎∴a2（q+q2）=3a2（q2﹣1），又a2≠0，‎ ‎∴2q2﹣q﹣3=0，又q＞0，‎ ‎∴q=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2012•浙江）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=　10　．‎ ‎【分析】将x5转化[（x+1）﹣1]5‎ ‎，然后利用二项式定理进行展开，使之与f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5进行比较，可得所求．‎ ‎【解答】解：f（x）=x5=[（x+1）﹣1]5=（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5‎ 而f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，‎ ‎∴a3=（﹣1）2=10‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=　﹣16　．‎ ‎【分析】设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由 =（ ﹣）•（ ﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．‎ ‎【解答】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，‎ ‎∴=（ ﹣）•（ ﹣）=•﹣•﹣•+，‎ ‎=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，‎ 故答案为﹣16．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=　　．‎ ‎【分析】先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+‎ a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，‎ 圆心到直线y=x的距离为=2，‎ ‎∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．‎ 则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，‎ 令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），‎ 切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，‎ 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，‎ 即解得a=或﹣．‎ 当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2012•浙江）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=　　．‎ ‎【分析】分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．‎ ‎（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．‎ 考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），‎ ‎∴a＞1；‎ 考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，‎ ‎∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，‎ 解之得：a=，或a=0（舍去）．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（14分）（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若a=，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π﹣（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；‎ ‎（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ 又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，‎ 整理得：cosC=sinC，‎ 则tanC=；‎ ‎（2）由tanC=得：cosC====，‎ ‎∴sinC==，‎ ‎∴sinB=cosC=，‎ ‎∵a=，∴由正弦定理=得：c===，‎ 则S△ABC=acsinB=×××=．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．‎ ‎（1）求X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望E（X）．‎ ‎【分析】（1）X的可能取值有：3，4，5，6，求出相应的概率可得所求X的分布列；‎ ‎（2）利用X的数学期望公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）X的可能取值有：3，4，5，6．‎ P（X=3）=；P（X=4）=； P（X=5）=；P（X=6）=．‎ 故所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎（2）所求X的数学期望E（X）=3×+4×+5×+6×=‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2012•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．‎ ‎（1）证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值；‎ 方法二：证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角，在△AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，‎ ‎∴在△PBD中，MN∥BD．‎ 又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD ‎∴MN∥平面ABCD；‎ ‎（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°‎ ‎，得AC=AB=，BD=‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC 在直角△PAC中，，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下 A（﹣，0，0），B（0，﹣3，0），C（，0，0），D（0，3，0），P（），M（），N（）‎ Q（）‎ 设=（x，y，z）为平面AMN的法向量，则．‎ ‎∴，取z=﹣1，，‎ 同理平面QMN的法向量为 ‎∴=‎ ‎∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为．‎ 方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC 而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM=PB==AN 取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角 由，AM=AN=3，MN=3可得AE=‎ 在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2‎ 在△PBC中，cos∠BPC=，∴MQ=‎ 在等腰△MQN中，MQ=NQ=．MN=3，∴QE=‎ 在△AED中，AE=，QE=，AQ=2，∴cos∠AEQ=‎ ‎∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）（2012•浙江）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M 当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）‎ 由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①‎ ‎∴，‎ ‎∴线段AB的中点M ‎∵M在直线OP上，∴‎ ‎∴k=﹣‎ 故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，‎ ‎∴△＞0，x1+x2=m，‎ ‎∴|AB|=‎ P到直线AB的距离d=‎ ‎∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0）‎ 令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则 ‎∴m=1﹣，u（m）取到最大值 ‎∴m=1﹣时，S取到最大值 综上，所求直线的方程为：‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2012•浙江）已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax3﹣2bx﹣a+b．‎ ‎（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，‎ ‎（i）函数f（x）的最大值为|2a﹣b|+a；‎ ‎（ii）f（x）+|2a﹣b|+a≥0；‎ ‎（Ⅱ）若﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）（ⅰ）求导函数，再分类讨论：当b≤0时，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a﹣b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a，由此可得结论；（ⅱ） 利用分析法，要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即证g（x）=﹣f（x）≤|2a﹣b|﹢a．亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．根据﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，可得|2a﹣b|﹢a≤1，从而利用线性规划知识，可求a+b的取值范围．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：（ⅰ）f′（x）=12a（x2﹣）‎ 当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=|2a﹣b|﹢a；‎ 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，f'（x）在区间[0，1]先负后可能正，f（x）图象在[0，1]区间内是凹下去的，所以最大值正好取在区间的端点，此时最大值为：f（x）max=max{f（0），f（1）}=|2a﹣b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a；‎ ‎（ⅱ） 要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0，即证g（x）=﹣f（x）≤|2a﹣b|﹢a．‎ 亦即证g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a，‎ ‎∵g（x）=﹣4ax3+2bx+a﹣b，∴令g′（x）=﹣12ax2+2b=0，‎ 当b≤0时，；g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时g（x）的最大值为：g（0）=a﹣b＜3a﹣b=|2a﹣b|﹢a；‎ 当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ ‎∴g（x）max=max{g（），g（1）}={}=‎ ‎∴g（x）max≤|2a﹣b|﹢a；‎ 综上所述：函数g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a﹣b|﹢a．‎ 即f（x）+|2a﹣b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a﹣b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a﹣b|﹢a）要大．‎ ‎∵﹣1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，‎ ‎∴|2a﹣b|﹢a≤1．‎ 取b为纵轴，a为横轴，则可行域为：或，目标函数为z=a+b．‎ 作图如右：‎ 由图易得：a+b的取值范围为（﹣1，3]‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；涨停；ywg2058；qiss；lincy；刘长柏；wfy814；xize；minqi5；caoqz；sllwyn（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日