全国统一高考数学试卷 4页

1955 年全国统一高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、解答题（共 8 小题，共 100 分） 1．以二次方程 x2﹣3x﹣1=0 的两根的平方为两根，作一个二次方程． 考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。 专题：计算题。 分析：由韦达定理可知已知方程两根的关系，再利用平方转换即可． 解答：解：设原方程的两根为α，β， 则由根与系数关系可得： α+β=3，αβ=﹣1， 又，α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=11， α2β2=1， 故所求的二次方程为 x2﹣11x+1=0． 点评：本题考查了学生对韦达定理的利用，和两根之间平方的转换． 2．等腰三角形的一腰的长是底边的 4 倍，求这三角形各角的余弦． 考点：余弦定理。 分析：根据题意可得到 AB=AC=4BC，再由余弦定理可求出各角的余弦值． 解答：解：设 AB=AC=4BC，而 AD 为底边上的高， 于是 = 点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题． 3．已知正四棱锥底边的长为 a，侧棱与底面的交角为 450，求这棱锥的高． 考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征。 分析：设 S﹣ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，从而∠SAO 为侧棱与底面的交角，在等腰直角三角形△SOA 中即可求出棱锥的高． 解答：解：设 S﹣ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高， 底边长为 a，∠SAO=450'∵AO= ∴由△SOA 为等腰直角三角形， 故棱锥 S﹣ABCD 的高 SO= 点评：本小题主要考查直线与平面所成的角，以及棱锥的结构特征等知识，考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力，属于基础题． 4．写出二面角的平面角的定义． 考点：与二面角有关的立体几何综合题。 专题：阅读型。 分析：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 二面角就是为了衡量两个相交平面的相对位置的，为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定 义，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度． 解答：解：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角． 点评：二面角的平面角作图关键：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内； 三是平面角的两边都与二面角的棱垂直． 5．多项式 x3+bx2+cx+d 适合于下列三条件： （1）被 x﹣1 整除； （2）被 x﹣3 除时余 2； （3）被 x+2 除时与被 x﹣2 除时的余数相等，求 b，c，d 的值． 考点：带余除法。 专题：计算题。 分析：由（1）多项式 x3+bx2+cx+d 能被 x﹣1 整除，故 f（1）=0，由（2）多项式 x3+bx2+cx+d 被 x﹣3 除时 余 2，故 f（3）=2，由（3）多项式 x3+bx2+cx+d 被 x+2 除时与被 x﹣2 除时的余数相等，则 f（2）=f （﹣2）由此可以构造一个关于 b，c，d 的方程组，解方程组即可得到答案． 解答：解：根据余数定理及题设条件可得 f（1）=1+b+c+d=0① f（3）=27+9b+3c+d=2② f（2）=f（﹣2）=﹣8+4b﹣2c+d=8+4b+2c+d③ 化简③式可得 c=﹣4 将其分别代入①②可得 b+d=3 9b+d=﹣13 解得 b=﹣2，d=5． 综上，b=﹣2，c=﹣4，d=5． 点评：本题考查的知识点是带余除法，其中利用已知条件构造一个关于 b，c，d 的方程组，是解答本题的关 键． 6．由直角△ABC 勾上一点 D 作弦 AB 的垂线交弦于 E，交股的延长线于 F，交外接圆于 G，求证： EG 为 EA 和 EB 的比例中项，又为 ED 和 EF 的比例中项． 考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质。 专题：证明题。 分析：要证明 EG 为 EA 和 EB 的比例中项，又为 ED 和 EF 的比例中项，即证 EG2=EA•EB=ED•EF，分析积 等式中的线段所在的位置，发现 EG 为直角△AGB 的斜边 AB 上的高，由射影定理，我们易得， EG2=EA•EB，再根据直角△AEF∽直角△DEB，根据相似三角形的性质，我们可以得到对应边成比例， 然后利用等量代换的思想，即可得到结论． 解答：证明：连接 GA、GB， 则△AGB 也是一个直角三角形， 因为 EG 为直角△AGB 的斜边 AB 上的高， 所以，EG 为 EA 和 EB 的比例中项， 即 EG2=EA•EB ∵∠AFE=∠ABC， ∴直角△AEF∽直角△DEB， 即 EA•EB=ED•EF． 又∵EG2=EA•EB， ∴EG2=ED•EF（等量代换）， 故 EG 也是 ED 和 EF 的比例中项． 点评：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和 用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦 切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定． 7．解方程 cos2x=cosx+sinx，求 x 的值． 考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义。 专题：计算题。 分析：本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角 函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解． 解答：解：cos2x﹣sin2x=cosx+sinx， （cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣（cosx+sinx）=0， （cosx+sinx）（cosx﹣sinx﹣1）=0． 如果 cosx+sinx=0 则得 1+tgx=0，tgx=﹣1， ∴ 如果 cosx+sinx﹣1=0 则得 cosx﹣sinx=1， ∴ ， ∴ 点评：本题是一个三角恒等变换问题，与初中学习锐角三角函数一样，高中也要研究同角三角函数之间关系， 弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 8．一个三角形三边长成等差数列，其周长为 12 尺，面积为 6 平方尺，求证这个三角形为一个直角三 角形． 考点：等差数列的性质；数列的应用。 专题：应用题。 分析：根据等差数列的性质可设出三边长 x﹣d，x，x+d，因为其周长为 12 尺，故可求出 x，再利用海伦公式 列出方程，求出 d，根据勾股定理的逆定理进行证明． 解答：证明：可设其长分别为 x﹣d，x，x+d， 因为三角形的周长为 12 尺， ∴（x﹣d）+x+（x+d）=12， ∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为 4﹣d，4，4+d． 由该三角形的面积为 6，三边长为 4﹣d，4，4+d，代入求面积的计算公式，得 36=12（2+d）（2﹣d），d2=1，d=±1． 由此可知，该三角形三边的长为 3、4、5（或 5、4、3）（尺）， 故它是一个直角三角形． 点评：本题是数列的实际应用题，通过数量关系的分析把生活语言借助符号转化为数列语言，从而将实际问 题转化为数列问题．