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- 2021-06-09 发布
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2009年海南省、宁夏区高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合A＝{1, 3, 5, 7, 9}，B＝{0, 3, 6, 9, 12}，则A∩∁RB＝（ ）
A.{1, 5, 7} B.{3, 5, 7} C.{1, 3, 9} D.{1, 2, 3}
2. 复数3+2i2-3i-3-2i2+3i=( )
A.0 B.2 C.-2i D.2i
3. 对变量x，y有观测数据(xi, yi)(i=1, 2,…,10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui, vi)(i=1, 2,…,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关
4. 双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A.23 B.2 C.3 D.1
5. 有四个关于三角函数的命题：
P1:∃x∈R，sin2x2+cos2x2=12；
P2:∃x、y∈R，sin(x-y)=sinx-siny；
P3:∀x∈[0, π]，1-cos2x2=sinx；
P4:sinx=cosy⇒x+y=π2．
其中假命题的是（ ）
A.P1，P4 B.P2，P4 C.P1，P3 D.P2，P3
6. 设x，y满足2x+y≥4x-y≥-1x-2y≤2 ，则z＝x+y( )
A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值
7. 等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=( )
A.7 B.8 C.15 D.16
8. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22，则下列结论错误的是（ ）
A.AC⊥平面BEF
B.AE，BF始终在同一个平面内
C.EF // 平面ABCD
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
9. 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=2，则 Rr的值为（ ）
A.2 B.3 C.2 D.3
10. 如果执行如图的程序框图，输入x=-2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（
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）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
11. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（ ）
A.48+122 B.48+242 C.36+122 D.36+242
12. 用min{a, b, c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x, x+2, 10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1, 0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2, 2)，则直线l的方程为________．
14. 已知函数y＝sin(ωx+φ)(ω>0, -π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．
15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种（用数字作答）．
16. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知2am-am2=0，s2m-1=38，则m=________．
三、解答题（共8小题，第22-24题，属选做题，满分70分）
17. 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
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18. 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
（1）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
（2）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．
表1：
生产能力分组
[100, 110]
[110, 120]
[120, 130]
[130, 140]
[140, 150]
人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组
[110, 120]
[120, 130]
[130, 140]
[140, 150]
人数
6
y
36
18
(I)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
(II)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
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19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE // 平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由．
20. 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
21. 已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x．
(1)如a=b=-3，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(-∞, α)，(2, β)单调增加，在(α, 2)，(β, +∞)单调减少，证明：β-α>6．
22. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90∘，切点分别为D，E，F，则∠EDF=________度．
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23. 已知曲线c1：x=-4+costy=3+sint（t为参数），则圆心为________，半径为________．
24. 如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．
（1）将y表示成x的函数；
（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
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参考答案与试题解析
2009年海南省、宁夏区高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.A
2.D
3.C
4.A
5.A
6.B
7.C
8.B
9.C
10.B
11.A
12.B
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13.y=x
14.9π10
15.140
16.10
三、解答题（共8小题，第22-24题，属选做题，满分70分）
17.解析：方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B的距离d，如图所示．
②第一步：计算AM．由正弦定理，
AM=dsinα2sin(α1+α2)；
第二步：计算AN．由正弦定理，
AN=dsinβ2sin(β2-β1)；
第三步：计算MN．由余弦定理MN=AM2+AN2-2AM×ANcos(α1-β1)．
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角 α1，β1；B点到M，N点的俯角 α2，β2；A，B的距离d（如图所示）．
②第一步：计算BM．由正弦定理BM=dsinα1sin(α1+α2)；
第二步：计算BN．由正弦定理BN=dsinβ1sin(β2-β1)；
第三步：计算MN．由余弦定理MN=BM2+BN2+2BM×BNcos(β2+α2)．
18.解：（1）甲、乙被抽到的概率均为110，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为w．w.p=110×110=1100．
(2)(I)由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．
故4+8+x+5=25，得x=5，6+y+36+18=75，得y=5．
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．
(II)xA¯=425×105+825×115+525×125+525×135+325×145=123，
xB¯=675×115+1575×125+3675×135+1875×145=133.8
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x¯=25100×123+75100×133.8=133.1
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1．
19.(1)证明：连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，OB→，OC→，OS→，
分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．
设底面边长为a，则高SO=62a．
于是S(0,0,62a)，D(-22a,0,0)，
C(0,22a，0)，OC→=(0,22a,0)，
SD→=(-22a,0,-62a)，OC→⋅SD→=0
故OC⊥SD，
从而AC⊥SD.
(2)解：由题设知，平面PAC的一个法向量DS→=(22a,0,62a)，
平面DAC的一个法向量OS→=(0,0,62a)．
设所求二面角为θ，则cosθ=|OS→||DS→|=32，
所求二面角的大小为30∘．
(3)解：在棱SC上存在一点E使BE // 平面PAC．
由(2)知DS→是平面PAC的一个法向量，
且DS→=(22a,0,62a)，CS→=(0,-22a,62a)，
设CE→=tCS→，
则BE→=BC→+CE→=BC→+tCS→=(-22a,22a(1-t)，62at).
而BE→⋅DS→=0⇔t=13，
即当SE:EC=2:1时，BE→⊥DS→,
而BE不在平面PAC内，故BE // 平面PAC.
20.解：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，
由已知得a-c=1a+c=7，解得a=4，c=3，
所以椭圆C的方程为x216+y27=1．
（2）设M(x, y)，其中x∈[-4, 4]．
由已知|OP|2|OM|2=λ2及点P在椭圆C上，可得9x2+11216(x2+y2)=λ2，
整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4, 4]．
①λ=34时，化简得9y2=112．
所以点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
②λ≠34时，方程变形为x211216λ2-9+y211216λ2=1，
其中x∈[-4, 4]；
当0<λ<34时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；
当34<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；
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当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
21.解：(I)当a=b=-3时，f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x，
故f'(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x=-e-x(x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x
当x<-3或00；
当-33时，f'(x)<0．
从而f(x)在(-∞, -3)，(0, 3)单调增加，在(-3, 0)，(3, +∞)单调减少；
(II)f'(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a]．
由条件得：f'(2)=0，即23+2(a-6)+b-a=0，故b=4-a，
从而f'(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a]．
因为f'(α)=f'(β)=0，
所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)(x2-(α+β)x+αβ)．
将右边展开，与左边比较系数得，α+β=-2，αβ=a-2．
故β-α=(β+α)2-4αβ=12-4a．，
又(β-2)(α-2)<0，即αβ-2(α+β)+4<0．由此可得a<-6．
于是β-α>6．
22.45
23.(-4, 3),1
24.解：（1）由题设，CO=x，CA=|10-x|，CB=|20-x|，
故y=4×|10-x|+6×|20-x|，x∈[0, 30]
即y=160-10xx∈[0,10]80-2xx∈(10,20]10x-160x∈(20,30]
（2）令y≤70，
当x∈[0, 10]时，由160-10x≤70得x≥9，故x∈[9, 10]
当x∈(10, 20]时，由80-2x≤70得x≥5，故x∈(10, 20]
当x∈(20, 30]时，由10x-160≤70得x≤23，故x∈(20, 23]
综上知，x∈[9, 23]
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