2019-2020学年高中数学课时跟踪检测一两个计数原理及其简单应用新人教A版选修2-3 5页

课时跟踪检测（一） 两个计数原理及其简单应用 A级——基本能力达标 ‎1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)‎ A．24种　　　　　　　　 B．9种 C．3种 D．26种 解析：选B　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9种，从其中任选一本阅读，共有9种选法．‎ ‎2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)‎ A．1 B．3‎ C．6 D．9‎ 解析：选D　这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．‎ ‎3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)‎ A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 解析：选C　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．‎ ‎4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　)‎ A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 解析：选D　每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32种．‎ ‎5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)‎ A．60 B．48‎ C．36 D．24‎ 解析：选B　长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)，所以共有36＋12＝48(个)．‎ 5‎ ‎6．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“‎102”‎，“‎546”‎为“驼峰数”．由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．其中偶数有________个．‎ 解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8(个)．偶数为214,312,314,412,324，共5个．‎ 答案：8　5‎ ‎7．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．‎ 解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．‎ 答案：18　6‎ ‎8.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．‎ 解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：‎ 第1类，脱落1个，有1,4，共2种；‎ 第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；‎ 第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；‎ 第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．‎ 根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．‎ 答案：13‎ ‎9．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．‎ 解：分三类：‎ 第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个；‎ 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321,4 320，4 310，4 210，共4个；‎ 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432,5 431，5 430，5 421，5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210，共10个．‎ 由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15个“渐降数”．‎ ‎10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．‎ ‎(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？‎ ‎(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？‎ 5‎ 解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．‎ 所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．‎ ‎(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．‎ 所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．‎ ‎(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．‎ 所以，共有不同的选法 N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10‎ ‎＝431(种)．‎ B级——综合能力提升 ‎1．由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为(　　)‎ A．12　　　　　　　　　 B．24‎ C．48 D．32‎ 解析：选D　依据分步乘法计数原理，由数字1,2,3,4组成有重复数字的三位奇数共有2×4×4＝32个．‎ ‎2．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．18‎ C．12 D．9‎ 解析：选B　由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18种走法．‎ ‎3．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有(　　)‎ A．81 B．64‎ C．14 D．12‎ 解析：选B　对于第一个小球有4种不同的放法，‎ 第二个小球也有4种不同的放法，‎ 第三个小球也有4种不同的放法，‎ 5‎ 即每个小球都有4种可能的放法，‎ 根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64种放法．‎ ‎4．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为(　　)‎ A．34 B．43‎ C．12 D．以上都不对 解析：选C　由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．‎ ‎5．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．‎ 解析：先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形．‎ 答案：2n(n－1)‎ ‎6．某运动会上，8名男运动员参加‎100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．‎ 解析：分两步安排这8名运动员．‎ 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24种方法；‎ 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120种方法．‎ 所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880种．‎ 答案：2 880‎ ‎7．某校高二共有三个班，各班人数如下表.‎ 男生人数 女生人数 总人数 高二(1)班 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 高二(2)班 ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ 高二(3)班 ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ ‎(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？‎ 解：(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：‎ 5‎ 第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；‎ 第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；‎ 第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．‎ 根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．‎ ‎(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：‎ 第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；‎ 第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；‎ 第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．‎ 根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．‎ ‎8．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．‎ ‎(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？‎ ‎(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？‎ 解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11种取法．‎ ‎(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4种取法．‎ 5‎