高考文科数学复习备课课件：第四节　二次函数与幂函数 32页

文数 课标版 第四节　二次函数与幂函数 1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如①      f ( x )= ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)     的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 (i)一般式: f ( x )= ax 2 + bx + c ( a ≠ 0); 教材研读 (ii)顶点式: f ( x )= a ( x - m ) 2 + n ( a ≠ 0); (iii)两根式: f ( x )= a ( x - x 1 )( x - x 2 )( a ≠ 0). (3)二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)的图象和性质 a >0 a <0 图象     定义域 R R 值域 ②               对称轴 x =③ 　-        顶点坐标   奇偶性 b =0 ⇔ y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)是偶函数 单调性 在   上是④ 　减     函数;在   上是增函数 在   上是⑤ 　增     函数;在 上是减函数 最值 当 x =-   时, y min =⑥             当 x =-   时, y max =   2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如⑦      y = x α      的函数称为幂函数,其中 x 是⑧ 　自变量     , α 为⑨ 　常数     . (2)五种常见幂函数的图象   (3)幂函数的性质 (i)当 α >0时,幂函数 y = x α 有下列性质: a.图象都通过点⑩ 　(0,0)     、   　(1,1)     . b.在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大. (ii)当 α <0时,幂函数 y = x α 有下列性质: a.图象都通过点   　(1,1)     . b.在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小. (4)五种常见幂函数的性质   　　判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0), x ∈[ a , b ]的最值一定是   .   ( × ) (2)二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0), x ∈R不可能是偶函数.   ( × ) (3)在 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)中, a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系 中的开口大小.   (√) (4)函数 y =2   是幂函数.   ( × ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.   (√) (6)当 n <0时,幂函数 y = x n 是定义域上的减函数.   ( × ) 1.已知幂函数 y = f ( x )的图象经过点   ,则 f (2)=   (　　) A.   　    B.4　    C.   　    D.   答案     C　设 f ( x )= x α ,∵图象过点   , ∴ f (4)=4 α =   ,解得 α =-   ,∴ f (2)=   =   .故选C. 2.若四个幂函数 y = x a , y = x b , y = x c , y = x d 在同一坐标系中的图象如图, 则 a 、 b 、 c 、 d 的大小关系是   (　　)   A. d > c > b > a 　    B. a > b > c > d C. d > c > a > b 　    D. a > b > d > c 答案     B　根据幂函数的性质及图象知选B. 3.已知函数 f ( x )= ax 2 + x +5的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案     C　∵函数 f ( x )= ax 2 + x +5的图象在 x 轴上方, ∴   解之得 a >   . 4.已知 f ( x )=4 x 2 - mx +5在[2,+ ∞ )上是增函数,则实数 m 的取值范围是 　     　　　     . 答案　 (- ∞ ,16] 解析　 因为函数 f ( x )=4 x 2 - mx +5的单调递增区间为   , 所以   ≤ 2,即 m ≤ 16. 5.若函数 y = x 2 -3 x -4的定义域为[0, m ],值域为   ,则 m 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　令 f ( x )= y = x 2 -3 x -4, x ∈[0, m ],二次函数 f ( x )= x 2 -3 x -4图象的对称轴为 直线 x =   ,且 f   =-   , f (3)= f (0)=-4,结合图象得 m ∈   . 考点一　幂函数的图象与性质 典例1 　(1)幂函数 y = f ( x )的图象过点(4,2),则幂函数 y = f ( x )的图象是(    　)   (2)当0< x <1时, f ( x )= x 1.1 , g ( x )= x 0.9 , h ( x )= x -2 的大小关系是 　　　　　　　     . 考点突破 答案 　(1)C　(2) h ( x )> g ( x )> f ( x ) 解析 　(1)设幂函数的解析式为 y = f ( x )= x a , ∵幂函数 y = f ( x )的图象过点(4,2), ∴2=4 a ,解得 a =   . ∴ y = f ( x )=   ,其定义域为[0,+ ∞ ),且是增函数, 当0< x <1时,其图象在直线 y = x 的上方,对照选项,知选C. (2)如图所示为函数 f ( x ), g ( x ), h ( x )在[0,+ ∞ )上的图象,由此可知当0< x <1 时, h ( x )> g ( x )> f ( x ). 规律总结 (1)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等, 对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性 可作出幂函数在定义域内完整的图象. (2)利用幂函数的性质可处理比较大小问题,此类问题要根据待比较的 数的特征,合理引入幂函数,通过幂函数的单调性进行比较. 1-1 　已知函数 f ( x )=( m 2 - m -1)   是幂函数,且 x ∈(0,+ ∞ )时, f ( x )是增函 数,则 m 的值为   (　　) A.-1　    B.2　    C.-1或2　    D.3 答案     B　∵函数 f ( x )=( m 2 - m -1)   是幂函数, ∴ m 2 - m -1=1,解得 m =-1或 m =2.又∵函数 f ( x )在(0,+ ∞ )上为增函数,∴ m 2 + m -3>0,∴ m =2. 1-2 　设 a =   , b =   , c =   ,则 a , b , c 的大小关系是 　　　     . 答案      a > c > b 解析 　∵ y =   ( x >0)为增函数,   >   ,∴ a > c . ∵ y =   ( x ∈R)为减函数,   <   ,∴ c > b . ∴ a > c > b . 1-3　 若( a +1   <(3-2 a   ,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　易知函数 y =   的定义域为[0,+ ∞ ),在定义域内为增函数,所以   解之得-1 ≤ a <   . 考点二　求二次函数的解析式 典例2 　已知二次函数 f ( x )满足 f (2)=-1, f (-1)=-1,且 f ( x )的最大值是8,试确 定此二次函数的解析式. 解析 　解法一:设 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a ≠ 0), 依题意有   解之得   ∴所求二次函数解析式为 f ( x )=-4 x 2 +4 x +7. 解法二:设 f ( x )= a ( x - m ) 2 + n ( a ≠ 0), ∵ f (2)= f (-1), ∴抛物线的对称轴为直线 x =   =   ,∴ m =   . 又函数有最大值8,∴ f ( x )= a   +8. ∵ f (2)=-1,∴ a   +8=-1,解之得 a =-4. ∴ f ( x )=-4   +8=-4 x 2 +4 x +7. 解法三:依题意知 f ( x )+1=0的两根为 x 1 =2, x 2 =-1, 故可设 f ( x )+1= a ( x -2)( x +1)( a ≠ 0), 即 f ( x )= ax 2 - ax -2 a -1. 又函数的最大值为8,∴   =8, 解之得 a =-4.∴函数解析式为 f ( x )=-4 x 2 +4 x +7. 方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当 选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:   2-1 　已知二次函数 f ( x )的图象经过点(4,3),且截 x 轴所得的线段长为2,并 且对任意 x ∈R,都有 f (2- x )= f (2+ x ),求 f ( x )的解析式. 解析 　∵ f (2- x )= f (2+ x )对 x ∈R恒成立, ∴ f ( x )图象的对称轴为直线 x =2. 又∵ f ( x )图象截 x 轴所得的线段长为2, ∴ f ( x )=0的两根为1和3. 设 f ( x )的解析式为 f ( x )= a ( x -1)( x -3)( a ≠ 0). ∵ f ( x )的图象过点(4,3),∴3 a =3, a =1. ∴ f ( x )的解析式为 f ( x )=( x -1)( x -3),即 f ( x )= x 2 -4 x +3. 考点三　二次函数的图象与性质 命题角度一　二次函数的图象 典例3 　已知 abc >0,则二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c 的图象可能是   (　　)   答案     D 解析     A项,∵ a <0,-   <0,∴ b <0. 又∵ abc >0,∴ c >0,而 f (0)= c <0,故A错. B项,∵ a <0,-   >0,∴ b >0. 又∵ abc >0,∴ c <0,而 f (0)= c >0,故B错. C项,∵ a >0,-   <0,∴ b >0.又∵ abc >0, ∴ c >0,而 f (0)= c <0,故C错. D项,∵ a >0,-   >0,∴ b <0,∵ abc >0,∴ c <0,而 f (0)= c <0,故选D. 命题角度二　二次函数的最值问题 典例4　 已知 f ( x )= ax 2 -2 x (0 ≤ x ≤ 1),求 f ( x )的最小值. 解析 　①当 a =0时, f ( x )=-2 x 在[0,1]上递减, ∴ f ( x ) min = f (1)=-2. ②当 a >0时, f ( x )= ax 2 -2 x 的图象的开口方向向上,且对称轴为直线 x =   .当   ≤ 1,即 a ≥ 1时, f ( x )在   上递减,在   上递增,∴ f ( x ) min = f   =   -   = -   . 当   >1,即0< a <1时, f ( x )在[0,1]上递减. ∴ f ( x ) min = f (1)= a -2. ③当 a <0时, f ( x )= ax 2 -2 x 的图象的开口方向向下,且对称轴 x =   <0,∴ f ( x )= ax 2 -2 x 在[0,1]上递减. ∴ f ( x ) min = f (1)= a -2.综上所述, f ( x ) min =   命题角度三　二次函数中恒成立问题 典例5 　若二次函数 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)满足 f ( x +1)- f ( x )=2 x ,且 f (0)=1. (1)求 f ( x )的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f ( x )>2 x + m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解析 　(1)由 f (0)=1得 c =1. ∴ f ( x )= ax 2 + bx +1.又 f ( x +1)- f ( x )=2 x , ∴ a ( x +1) 2 + b ( x +1)+1-( ax 2 + bx +1)=2 x , 即2 ax + a + b =2 x ,∴   ∴   因此, f ( x )= x 2 - x +1. (2) f ( x )>2 x + m 等价于 x 2 - x +1>2 x + m ,即 x 2 -3 x +1- m >0,令 g ( x )= x 2 -3 x +1- m ,要使 g ( x )= x 2 -3 x +1- m >0在[-1,1]上恒成立,只需使函数 g ( x )= x 2 -3 x +1- m 在[-1,1]上 的最小值大于0即可.∵ g ( x )= x 2 -3 x +1- m 在[-1,1]上单调递减, ∴ g ( x ) min = g (1)=- m -1, 由- m -1>0得 m <-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(- ∞ ,-1). 方法技巧 1.确定二次函数图象应关注的三个要点 一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向; 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置; 三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与 y 轴的交点、与 x 轴的交 点,函数图象的最高点或最低点等. 从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图 象中得到如上信息. 2.二次函数最值的求法 二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴和区间都是给定 的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路 是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点, 一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求 解. 对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论. 3-1     (2016安徽皖北第一次联考)已知函数 f ( x )=- x 2 +2 ax +1- a 在区间[0,1] 上的最大值为2,则 a 的值为   (　　) A.2　    B.-1或-3　     C.2或-3　    D.-1或2 答案     D　函数 f ( x )=-( x - a ) 2 + a 2 - a +1图象的对称轴为 x = a ,且开口向下,分 三种情况讨论如下: ①当 a ≤ 0时,函数 f ( x )=- x 2 +2 ax +1- a 在区间[0,1]上是减函数, ∴ f ( x ) max = f (0)=1- a , 由1- a =2,得 a =-1. ②当0< a ≤ 1时,函数 f ( x )=- x 2 +2 ax +1- a 在区间[0, a ]上是增函数,在( a ,1]上是 减函数, ∴ f ( x ) max = f ( a )=- a 2 +2 a 2 +1- a = a 2 - a +1, 由 a 2 - a +1=2, 解得 a =   或 a =   , ∵0< a ≤ 1,∴两个值都不满足,舍去. ③当 a >1时,函数 f ( x )=- x 2 +2 ax +1- a 在区间[0,1]上是增函数, ∴ f ( x ) max = f (1)=-1+2 a +1- a =2, ∴ a =2. 综上可知, a =-1或 a =2.