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- 2021-06-09 发布
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2.立体几何
1.如图,已知正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,点M在线段ED上,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=CD=1.
(1)当M为线段ED的中点时,求证:AM∥平面BEC;
(2)求直线DE与平面BEC所成角的正弦值.
(1)证明 取EC的中点N,连接MN,BN,如图.
在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,
所以MN∥CD,且MN=CD.
又AB∥CD,AB=CD,
所以MN∥AB,且MN=AB.
由此可知四边形ABNM为平行四边形,所以BN∥AM,
又BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC,
所以AM∥平面BEC.
(2)解 在正方形ADEF中,ED⊥AD,
因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,而BC⊂平面ABCD,
所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,
易得BC=,
连接BD,在△BCD中,BD=BC=,CD=2,
所以BD2+BC2=CD2,
所以BC⊥BD,又BD∩ED=D,BD,ED⊂平面BDE,
所以BC⊥平面BDE,而BC⊂平面BCE,
所以平面BDE⊥平面BCE.
过点D作DH⊥EB,交EB于点H,则DH⊥平面BCE,所以∠DEH为直线DE与平面BEC所成的角.
在Rt△BDE中,BE==,
S△BDE=BD·DE=BE·DH,
所以DH===,
所以sin∠DEH==.
所以直线DE与平面BEC所成角的正弦值为.
2.如图,在所有棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是棱AA1,CC1,AB的中点.
(1)证明:BE∥平面CDF;
(2)求直线EF与平面CDF所成角的正弦值.
(1)证明 方法一 连接AE交CD于G,连接GF,如图1.
因为D,E分别是棱AA1,CC1的中点,所以G是AE的中点.
在△ABE中,GF是中位线,所以GF∥BE.
又GF⊂平面CDF,BE⊄平面CDF.
所以BE∥平面CDF.
图1 图2
方法二 连接A1B,A1E,如图2.
在△A1AB中,DF是中位线,所以DF∥A1B.
又A1B⊄平面CDF,DF⊂平面CDF,
所以A1B∥平面CDF.
因为D,E分别是棱AA1,CC1的中点,所以A1D∥CE,且A1D=CE,所以四边形A1ECD是平行四边形,
故A1E∥CD.
又A1E⊄平面CDF,CD⊂平面CDF,
所以A1E∥平面CDF.
又A1B∩A1E=A1,所以平面A1BE∥平面CDF,又BE⊂平面A1BE,所以BE∥平面CDF.
(2)解 方法一 如图2,连接AB1,因为四边形AA1B1B是正方形,所以A1B⊥AB1.
又DF∥A1B,所以AB1⊥DF.
因为△ABC是正三角形,F是AB的中点,
所以CF⊥AB.
又平面AA1B1B⊥平面ABC,平面AA1B1B∩平面ABC=AB,CF⊂平面ABC,所以CF⊥平面AA1B1B.
而AB1⊂平面AA1B1B,所以CF⊥AB1,又DF∩CF=F,且DF,CF⊂平面CDF,
所以AB1⊥平面CDF.
取BB1的中点H,连接HF,HE,
则HF∥AB1,HF⊥平面CDF.
所以∠EFH是直线EF与平面CDF所成角的余角.
设直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则在△EFH中,FH=,EH=EF=2.
所以cos∠EFH==.
故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为.
方法二 以点F为坐标原点,BF,CF所在直线分别为x轴,y轴建立如图3所示的空间直角坐标系.
设直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则F(0,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,1),E(0,,1).
图3
所以=(0,,0),=(-1,0,1).
设平面CDF的法向量为n=(x,y,z),则所以
则n=(1,0,1)为平面CDF的一个法向量,
又=(0,,1).
所以cos〈,n〉===.
故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为.
3.如图,在四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,连接AO.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求直线AB与平面ACD所成角的余弦值.
(1)证明 如图,连接OC,因为AB=AD,O是线段BD的中点,所以AO⊥BD,同理可得CO⊥BD.
又在△ABD中,AB=AD=,BD=2,所以AO=1,
在△BCD中,CB=CD=BD=2,所以CO=,又AC=2,
所以AO2+OC2=AC2,所以∠AOC=90°,即AO⊥OC.
又OC∩BD=O,OC,BD⊂平面BCD,
所以AO⊥平面BCD.
(2)解 方法一 如图,过点B作BM⊥平面ACD于点M,连接AM,则∠BAM为直线AB与平面ACD所成的角,
由VA-BCD=VB-ACD,可得×AO×S△BCD=×BM×S△ACD,
因为AO=1,S△BCD=×2×=,
S△ACD=××=,
所以BM=.
在Rt△AMB中,AM==.
所以cos∠BAM==.
所以直线AB与平面ACD所成角的余弦值为.
方法二 以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1).
所以=(-1,0,-1),=(0,,-1),
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),
则
所以
令y=1,得n=(-,1,)是平面ACD的一个法向量.
又=(1,0,-1),
所以cos〈n,〉==-,
故直线AB与平面ACD所成角的余弦值为=.
4.在如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是BC,A1B1的中点.
(1)求证:DE∥平面ACC1A1;
(2)若AB⊥BC,AB=BC,∠ACB1=60°,求直线BC与平面AB1C所成角的正切值.
(1)证明 取AB中点F,连接DF,EF.
在△ABC中,因为D,F分别为BC,AB的中点,
所以DF∥AC,又DF⊄平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以DF∥平面ACC1A1.
在矩形ABB1A1中,因为E,F分别为A1B1,AB的中点,
所以EF∥AA1,又EF⊄平面ACC1A1,
AA1⊂平面ACC1A1,所以EF∥平面ACC1A1.
因为DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ACC1A1.
因为DE⊂平面DEF,故DE∥平面ACC1A1.
(2)解 因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以BC⊥BB1,
又AB⊥BC,AB∩BB1=B,所以BC⊥平面ABB1A1.
因为AB=BC,BB1=BB1,
所以△ABB1≌△CBB1,AB1=CB1,
又∠ACB1=60°,所以△AB1C为正三角形,
所以AB1==AC=AB,所以BB1=AB.
取AB1的中点O,连接BO,CO,
所以AB1⊥BO,AB1⊥CO,
所以AB1⊥平面BCO,
所以平面AB1C⊥平面BCO,点B在平面AB1C上的射影在CO上,
所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角.
在Rt△BCO中,BO=AB=BC,
所以tan∠BCO==.
5.如图,在三棱锥D-ABC中,DA=DB=DC,点D在底面ABC上的射影为点E,AB⊥BC,DF⊥AB于点F.
(1)求证:平面ABD⊥平面DEF;
(2)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°,求直线BE与平面DAB所成角的正弦值.
(1)证明 如图,由题意知DE⊥平面ABC,
所以AB⊥DE,又AB⊥DF,DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF,
所以AB⊥平面DEF,
又AB⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面DEF.
(2)解 方法一 由DA=DB=DC知EA=EB=EC,
所以E是△ABC的外心.
又AB⊥BC,所以E为AC的中点.
过点E作EH⊥DF于点H,
则由(1)知EH⊥平面DAB,
所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角.
由AC=4,∠BAC=60°得BE=DE=2,EF=,
所以DF=,EH=,
所以sin∠EBH==.
方法二 如图建立空间直角坐标系,则A(0,-2,0),D(0,0,2),B(,-1,0),
所以=(0,-2,-2),=(,-1,-2),=(,-1,0),
设平面DAB的法向量为n=(x,y,z),
由得
取n=.
设与n的夹角为θ,
所以cos θ===,
所以BE与平面DAB所成角的正弦值为.
6.如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=4,点E,F分别在AD,BC上,且AE=1,BF=3,将四边形AEFB沿EF折起,使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上.
(1)求证:CD⊥BE;
(2)求线段BH的长度;
(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值.
(1)证明 ∵BH⊥平面CDEF,CD⊂平面CDEF,
∴BH⊥CD,
又CD⊥DE,BH∩DE=H,BH,DE⊂平面DBE,
∴CD⊥平面DBE,又BE⊂平面DBE,∴CD⊥BE.
方法一
(2)解 设BH=h,EH=k,过F作FG垂直ED于点G,连接FH,BE.
∵线段BE,BF在翻折过程中长度不变,根据勾股定理得
即解得
∴线段BH的长度为2.
(3)解 延长BA交EF于点M,
∵AE∶BF=MA∶MB=1∶3,
∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的,
∴点A到平面EFCD的距离为,而AF=,
设AF与平面EFCD所成角为θ,
∴直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为sin θ==.
方法二
(2)解 如图,过点E作ER∥DC,过点E作ES⊥平面EFCD,分别以ER,ED,ES为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设点B(0,y,z)(y>0,z>0),
由于F(2,2,0),BE=,BF=3,
∴解得于是B(0,1,2),
∴线段BH的长度为2.
(3)解 从而=(-2,-1,2),
故==,
=+=,
设平面EFCD的一个法向量为n=(0,0,1),直线AF与平面EFCD所成角的大小为θ,
则sin θ==.