2018年河南省高考数学一诊试卷（理科） 25页

‎2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（　　）‎ A．[1，] B．（，3] C．（1，） D．（，2）‎ ‎3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（　　）‎ A．最低气温与最高气温为正相关 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D．最低气温低于0℃的月份有4个 ‎4．（5分）在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．128π平方尺 B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺 ‎6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（　　）‎ A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8‎ ‎7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（　　）‎ A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）‎ ‎8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）‎ A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或 D．﹣或2‎ ‎9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．20+12+2 B．20+6+2 C．20+6+2 D．20+12+2‎ ‎11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=　 　‎ ‎14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=　 　．‎ ‎15．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有kan=anSn﹣S成立，若S99=，则k=　 　．‎ ‎16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．‎ ‎（1）求线段AD的长；‎ ‎（2）求△ADE的面积．‎ ‎18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．‎ ‎（1）求甲获得奖品的概率；‎ ‎（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．‎ ‎（1）证明：B1C∥平面A1DE；‎ ‎（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）eax（a≠0），且x=是它的极值点．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；‎ ‎（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1）﹣g（x2）|＜++1．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1‎ ‎（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；‎ ‎（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，‎ 则=（a﹣1）+（a+1）i，‎ ‎∵=z，‎ ‎∴a+1=0，得a=﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知集合M={x|≤0}，N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩N=（　　）‎ A．[1，] B．（，3] C．（1，） D．（，2）‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|≤0}={x|1＜x≤3}，‎ N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}={x|﹣6x2+11x﹣4＞0}={x|}，‎ ‎∴M∩N={x|1＜x≤3}∩{x|}=（1，）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．‎ 已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（　　）‎ A．最低气温与最高气温为正相关 B．10月的最高气温不低于5月的最高气温 C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D．最低气温低于0℃的月份有4个 ‎【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：‎ 在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；‎ 在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；‎ 在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；‎ 在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在等比数列{an}中，若a2=，a3=，则=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，若a2=，a3=，‎ ‎∴公比q===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴===．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（　　）‎ A．128π平方尺 B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺 ‎【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，‎ ‎∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，‎ 则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，‎ ‎∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），‎ ‎∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（　　）‎ A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=5.8‎ y=5﹣1.6=3.4‎ x=5﹣1=4‎ 满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0‎ 满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2‎ 不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．‎ 输出z的值为﹣4.6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（　　）‎ A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）‎ ‎【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，‎ 用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，‎ 即 f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；‎ 由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，‎ ‎∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．‎ 令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，‎ 故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）‎ A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或 D．﹣或2‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．‎ 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．‎ 若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，‎ 若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，‎ 若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，‎ 则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，‎ 综上a=﹣3或a=2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）‎ f（﹣x）===f（x），‎ ‎∴f（x）为偶函数，‎ ‎∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，‎ 令f（x）=0，即=0，解得x=0，‎ ‎∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，‎ 当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，‎ 综上所述，只有B符合，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．20+12+2 B．20+6+2 C．20+6+2 D．20+12+2‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，‎ PB=PC=4，AB=3．‎ SABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，‎ ‎△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，‎ ‎∴S△PAD=，‎ 则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=9，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，‎ ‎∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，‎ ‎∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9=10，‎ 即a≤5；‎ ‎∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|，‎ ‎∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥9﹣1=8，‎ 即a≥4，‎ ‎∴4≤a≤5，∴‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e是自然对数的底数，若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中e为自然对数的底数，‎ ‎∴f′（x）=+（2e2﹣a），x＞0，‎ 当a≤2e2时，f′（x）＞0，‎ f（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f（x）≤0不可能恒成立，‎ 当a＞2e2时，‎ 由f′（x）=0，得x=，‎ ‎∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，‎ 当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ ‎∴当x=时，f（x）取最大值，‎ f（）=﹣ln（a﹣2e2）﹣b﹣1≤0，‎ ‎∴ln（a﹣2e2）+b+1≥0，‎ ‎∴b≥﹣1﹣ln（a﹣2e2），‎ ‎∴•≥（a＞2e2），‎ 令F（x）=，x＞2e2，‎ F′（x）==，‎ 令H（x）=（x﹣2e2）ln（x﹣2e2）﹣2e2，‎ H′（x）=ln（x﹣2e2）+1，‎ 由H′（x）=0，得x=2e2+，‎ 当x∈（2e2+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，‎ x∈（2e2，2e2+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，‎ ‎∴当x=2e2+时，H（x）取最小值H（2e2+）=﹣2e2﹣，‎ ‎∵x→2e2时，H（x）→0，x＞3e2时，H（x）＞0，H（3e2）=0，‎ ‎∴当x∈（2e2，3e2）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，‎ 当x∈（3e2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函数，‎ ‎∴x=3e2时，F（x）取最小值，F（3e2）==﹣，‎ ‎∴•的最小值为﹣，‎ 即有的最小值为﹣．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=　﹣4　‎ ‎【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，‎ 可得|+|2=|﹣|2，‎ 即有2+2+2•=2+2﹣2•，‎ 即为•=0，‎ 则△ABC为直角三角形，A为直角，‎ 则•=﹣•‎ ‎=﹣||•||•cosB ‎=﹣||2=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3=　﹣5　．‎ ‎【解答】解：（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，‎ 令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，‎ 解得a=1，而a3表示x3的系数，‎ 所以a3=C63•（﹣1）3+C62•（﹣1）2=﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有kan=anSn﹣S成立，若S99=，则k=　2　．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，恒有kan=anSn﹣S成立，‎ 即为（k﹣Sn）（Sn﹣Sn﹣1）=﹣S，‎ 化为﹣=，‎ 可得=1+，‎ 可得Sn=．‎ 由S99=，‎ 可得=，解得k=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为　2　．‎ ‎【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，‎ ‎∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，‎ ‎∴|BF1|=2a，‎ 又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，‎ ‎∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，‎ ‎∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，‎ ‎∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，‎ 即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，‎ 解得c2=7a2，b2=6a2，‎ 由双曲线的第二定义可得===，‎ 则m=，‎ 由A在双曲线上，可得﹣=1，‎ 解得a=，‎ 则2a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．‎ ‎（1）求线段AD的长；‎ ‎（2）求△ADE的面积．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC==；‎ 又由cosC===，‎ 解可得a=4，‎ 即BC=4，则CD=2，‎ 在△ACD中，‎ 由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcosC=6，‎ 则AD=；‎ ‎（2）根据题意，AE平分∠BAC，‎ 则==，‎ 变形可得：CE=BC=，‎ cosC=，则sinC==，‎ S△ADE=S△ACD﹣S△ACE=×2×2×﹣×2××=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．‎ ‎（1）求甲获得奖品的概率；‎ ‎（2）设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，‎ 甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，‎ 则．‎ ‎（2）随机变量X的取值可以为1，2，3，4．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ X的分布列为随机变量X的概率分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以数学期望．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．‎ ‎（1）证明：B1C∥平面A1DE；‎ ‎（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，‎ 所以A1B1∥BD，A1B1=BD，‎ 所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．‎ 又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，‎ 所以B1B∥平面A1DE，‎ 因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，‎ 同理可证，BC∥平面A1DE．‎ 因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，‎ 又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．‎ 解：（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，‎ 设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），，‎ 则，．‎ 设平面ABB1的一个法向量，‎ 则，即，‎ 取z1=1，得．‎ 同理，设平面BB1C的一个法向量，‎ 又，，‎ 由，得，‎ 取z=﹣1，得，‎ 所以，‎ 故二面角A﹣BB1﹣C的正弦值为：=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，设直线l的方程为y=k（x﹣3），‎ 联立方程组得，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 所以，y1y2=﹣6p，‎ 又，‎ 所以p=2，从而抛物线E的方程为y2=4x．‎ ‎（2）证明：因为，，‎ 所以，，‎ 因此=‎ ‎=，‎ 又，y1y2=﹣6p=﹣12，‎ 所以，‎ 即为定值．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（x+1）eax（a≠0），且x=是它的极值点．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求f（x）在[t﹣1，t+1]上的最大值；‎ ‎（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有|g（x1‎ ‎）﹣g（x2）|＜++1．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=（x+1）eax（a≠0）的导数 f′（x）=eax+a（x+1）eax=（ax+a+1）eax，‎ 因为是f（x）的一个极值点，‎ 所以，‎ 所以a=﹣3．‎ ‎（2）由（1）知f（x）=（x+1）e﹣3x，f′（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x，‎ 易知f（x）在上递增，在上递减，‎ 当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递增，；‎ 当，即时，f（x）在[t﹣1，t+1]上递减，；‎ 当，即时，．‎ ‎（3）证明：g（x）=（x+1）e﹣3x+2x+3xlnx，‎ 设g（x）=m1（x）+m2（x），x∈（0，1），‎ 其中，m2（x）=3xlnx，‎ 则，设h（x）=（﹣3x﹣2）e﹣3x+2，‎ 则h'（x）=（9x+3）e﹣3x＞0，可知m1'（x）在（0，1）上是增函数，‎ 所以m1'（x）＞m1'（0）=0，即m1（x）在（0，1）上是增函数，‎ 所以．‎ 又m2'（x）=3（1+lnx），由m2'（x）＞0，得；由m2'（x）＜0，得，‎ 所以m2（x）在上递减，在上递增，‎ 所以，从而．‎ 所以，对任意x1，x2∈（0，1），．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1‎ ‎（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；‎ ‎（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①‎ ‎，②‎ ‎①×②消k可得：．‎ 即P的轨迹方程为．‎ C1的普通方程为．‎ C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．‎ ‎（Ⅱ）由曲线C2：，‎ 得：，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，‎ 由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，‎ 曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：‎ ‎，‎ 所以当时，‎ d的最小值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．‎ ‎（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；‎ ‎（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，‎ 平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，‎ 所以﹣3，﹣1是方程 3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分 由根与系数的关系得到…4分 解得a=0…5分 ‎（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分 所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分 当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，‎ 当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，‎ 综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分 ‎　‎