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- 2021-06-09 发布
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第七节
解三角形的综合应用
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
仰角和俯角
目标视线与
水平线所成的角
,
在水平线上方叫
_____,
下方叫
_____(
如图①
).
仰角
俯角
2.
方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的夹角叫做方位角
.
如
B
点的方位角为
α(
如图②
).
3.
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角
.
(1)
北偏东
α,
即由指北方向顺时针旋转
α
到达目标方向
(
如图③
).
(2)
北偏西
α,
即由指北方向逆时针旋转
α
到达目标方向
.
(3)
南偏西等其他方向角类似
.
4.
坡角与坡度
(1)
坡角
:
坡面与水平面所成角的度数
(
如图④
,
角
θ
为坡角
).
(2)
坡度
:
坡面的铅直高度与水平长度之比
(
如图④
,i
为坡度
).
坡度又称为坡比
.
【
知识点辨析
】
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
东北方向就是北偏东
45°
的方向
. (
)
(2)
俯角是铅垂线与视线所成的角
,
其范围为
(
)
(3)
方位角与方向角其实质是一样的
,
均是确定观察点与目标点之间的位置关系
. (
)
提示
:
(1) √.
(2)×.
俯角是视线与水平线所构成的角
.
(3)√.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
易混淆方位角与方向角的概念
基础自测
T3
2
解三角形时
,
为避免误差的积累
,
应尽可能用已知的数据
(
原始数据
),
少用间接求出的量
基础自测
T4
3
不能准确建立数学模型
考点三、角度
2
【
教材
·
基础自测
】
1.(
必修
5P20
练习
T4
改编
)
从
A
处望
B
处的仰角为
α,
从
B
处望
A
处的俯角为
β,
则
α,β
的关系为
(
)
A.α>β
B.α=β
C.α+β=90°
D.α+β=180°
【
解析
】
选
B.
由已知及仰角、俯角的概念画出草图
,
如图
,
则
α=β.
2.(
必修
5P14
例
2
改编
)
如图所示
,
设
A,B
两点在河的两岸
,
一测量者在
A
所在的同侧河岸边选定一点
C,
测出
AC
的距离为
50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°
后
,
就可以计算出
A,B
两点的距离为
(
)
【
解析
】
选
A.
由正弦定理得 又由题意得∠
CBA=30°,
所以
AB=
3.(
必修
5P15
例
4
改编
)
若点
A
在点
C
的北偏东
30°,
点
B
在点
C
的南偏东
60°,
且
AC=BC,
则点
A
在点
B
的
(
)
A.
北偏东
15° B.
北偏西
15°
C.
北偏东
10°
D.
北偏西
10°
【
解析
】
选
B.
如图所示
,
∠ACB=90°,
又
AC=BC,
所以∠
CBA=45°,
而
β=30°,
所以
α=90°-45°-30°=15°.
所以点
A
在点
B
的北偏西
15°.
4.(
必修
5P21
习题
1.3T3
改编
)
如图
,
飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内
,
若
飞机的高度为海拔
18 km,
速度为
1 000 km/h,
飞行员先看到山顶的俯角为
30°,
经过
1 min
后又看到山顶的俯角为
75°,
则山顶的海拔高度约为
(
精确到
0.1 km,
参考数据
: ≈1.732) (
)
A.11.4 km B.6.6 km
C.6.5 km
D.5.6 km
【
解析
】
选
B.
因为
AB=1 000× (km),
所以
BC=
·
sin 30°=
(km),
航线离山顶的高度为
h= ×sin 75°= ×sin(45°+ 30°)≈11.4(km).
所以山顶的海拔高度约为
18-11.4=6.6(km).
5.(
必修
5P21
习题
1.3T3
改编
)
如图所示
,D,C,B
三点在地面的同一条直线上
,DC=a,
从
C,D
两点测得
A
点的仰角分别为
60°,30°,
则
A
点离地面的高度
AB=________.
【
解析
】
由已知∠
DAC=30°,△ADC
为等腰三角形
,AD= a,
所以在
Rt△ADB
中
,AB= AD= a.
答案
:
a
【
核心素养
】
数学建模
——
正、余弦定理解决实际问题
【
素养诠释
】
数学建模是对现实问题进行数学抽象
,
用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养
.
在解三角形问题中
,
主要涉及测量角度、高度等
,
通过正、余弦定理解决问题
,
最终解决实际问题
.
【
典例
】
国庆阅兵式上举行升旗仪式
,
在坡度为
15°
的观礼台上
,
某一列座位
与旗杆在同一个垂直于地面的平面上
,
在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶
端的仰角分别为
60°
和
30°,
且第一排和最后一排的距离为
10
米
.
则旗杆的
高度为
________
米
.
【
素养立意
】
与实际问题结合
,
考查用正弦定理、余弦定理解三角形
.
【
解析
】
设旗杆高为
h
米
,
最后一排为点
A,
第一排为点
B,
旗杆顶端为点
C,
则
BC=
在△
ABC
中
,AB=10 ,∠CAB=45°,∠ABC=105°,
所以
∠
ACB=30°,
由正弦定理得
,
故
h=30.
答案
:
30
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