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- 2021-05-14 发布
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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编
三角函数、解三角形
一、 选择题
【2018,8】已知函数,则
A.的最小正周期为π,最大值为3
B. 的最小正周期为π,最大值为4
C. 的最小正周期为,最大值为3
D.的最小正周期为,最大值为4
【2018,11】已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,,且
,则
A. B. C. D.
【2017,11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=( )
A. B. C. D.
【2016,4】的内角的对边分别为.已知,,,则( )
A. B. C. D.
【2016,6】若将函数的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为( ).
A. B. C. D.
【2015,8】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
【2014,7】在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③,④中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
【2014,2】若,则( )
A. B. C. D.
【2013,10】已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )
A.10 B.9 C.8 D.5
【2012,9】9.已知,,直线和是函数图像的两条相邻的对称轴,则( )
A. B. C. D.
【2011,7】已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则( ).
A. B. C. D.
【2011,11】设函数,则 ( )
A.在单调递增,其图象关于直线对称
B.在单调递增,其图象关于直线对称
C.在单调递减,其图象关于直线对称
D.在单调递减,其图象关于直线对称
二、填空题
【2018,16】△的内角的对边分别为,已知,,则△的面积为________.
【2017,15】已知,,则________.
【2016,】14.已知是第四象限角,且,则 .
【2013,16】设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.
【2014,16】如图所示,为测量山高,选择和另一座山的山顶为
测量观测点.从点测得点的仰角,点的仰角
以及;从点测得.
已知山高,则山高 .
【2011,15】中,,,,则的面积为 .
三、解答题
【2015,17】已知分别为内角的对边,.
(1)若,求;(2)设,且,求的面积.
【2012,17】已知,,分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,.
(1)求A;(2)若,△ABC的面积为,求,.
解 析
一、 选择题
【2018,8】已知函数,则B
A.的最小正周期为π,最大值为3
B. 的最小正周期为π,最大值为4
C. 的最小正周期为,最大值为3
D.的最小正周期为,最大值为4
【2018,11】已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,,且
,则B
A. B. C. D.
【2017,11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解法】解法一:因为,,
所以,又,所以,,又,所以,又a=2,c=,由正弦定理得,即.又,所以,故选B.
解法二:由解法一知,即,又,所以.下同解法一.
【2016,4】的内角的对边分别为.已知,,,则( )
A. B. C. D.
解析:选D .由余弦定理得,即,
整理得,解得.故选D.
【2016,6】若将函数的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为( ).
A. B. C. D.
解析:选D.将函数的图像向右平移个周期,即向右平移个单位,
故所得图像对应的函数为.故选D.
【2015,8】函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
解:选D.依图,,解得ω=π,, ,
,解得,故选D.
【2014,7】在函数① y=cos|2x|,②y=|cosx|,③,④中,最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
解:选A.由是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②y=|cosx|的最小正周期也是π;③中函数最小正周期也是π;正确答案为①②③,故选A
【2014,2】若,则( )
A. B. C. D.
解:选C.tanα>0,α在一或三象限,所以sinα与cosα同号,故选C
【2013,10】已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ).
A.10 B.9 C.8 D.5
解析:选D.由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=.∵A∈,∴cos A=.
∵cos A=,∴b=5或(舍).
【2012,9】9.已知,,直线和是函数图像的两条相邻的对称轴,则( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴,
得的最小正周期,从而.
由此,由已知处取得最值,
所以,结合选项,知,故选择A.
【2011,7】已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则( ).
A. B. C. D.
【解析】设为角终边上任意一点,则.
当时,;当时,.
因此.故选B.
【2011,11】设函数,则 ( )
A.在单调递增,其图象关于直线对称
B.在单调递增,其图象关于直线对称
C.在单调递减,其图象关于直线对称
D.在单调递减,其图象关于直线对称
【解析】因为,
当时,,故在单调递减.
又当时,,因此是的一条对称轴.故选D.
一、 填空题
【2018,16】△的内角的对边分别为,已知,,则△的面积为________.
【2017,15】已知,,则________.
【解析】.,,又,解得,,.
【基本解法2】,,角的终边过,故,,其中,.
【2016,】14.已知是第四象限角,且,则 .
解析:.由题意.
因为,所以,
从而,因此.故填.
方法2:还可利用来进行处理,或者直接进行推演,即由题意,故,所以.
【2013,16】设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.
答案:
解析:. ∵f(x)=sin x-2cos x=sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=.
当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值.即θ-φ=2kπ+(k∈Z),θ=2kπ++φ(k∈Z).
∴cos θ==-sin φ=.
【2014,16】16.如图所示,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角,点的仰角以及
;从点测得.
已知山高,则山高 .
解:在RtΔABC中,由条件可得,
在ΔMAC中,∠MAC=45°;由正弦定理可得,故,在直角RtΔMAN中,MN=AMsin60°=150.
【2011,15】中,,,,则的面积为 .
【解析】由余弦定理知,
即,解得.
故.故答案为.
三、解答题
【2015,17】已知分别为内角的对边,.
(1)若,求;(2)设,且,求的面积.
解析:(1)由正弦定理得,.又,
所以,即.则.
(2)解法一:因为,所以,
即,亦即.
又因为在中,,所以,
则,得.
所以为等腰直角三角形,得,所以.
解法二:由(1)可知,①
因为,所以,②
将代入得,则,所以.
解:(Ⅰ) 因为sin2B=2sinAsinC. 由正弦定理可得b2=2ac.
又a=b,可得a=2c, b=2c,由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=2ac. 因为B=90°,所以a2+c2=b2=2ac.
解得a=c=. 所以ΔABC的面积为1.
【2012,17】已知,,分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,.
(1)求A;
(2)若,△ABC的面积为,求,.
【解析】(1)根据正弦定理,得, ,
因为,
所以,
化简得,
因为,所以,即,
而,,从而,解得.
(2)若,△ABC的面积为,又由(1)得,
则,化简得,
从而解得,.