山西省 2017 届高三 3 月高考考前适应性测试（一模） 文科数学 11页

山西省 2017 届高三 3 月高考考前适应性测试（一模） 文科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.设全集 {1,3,5,7}U  ，集合 {1,5}A  ，则 UC A的子集的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.设 z 是复数 z 的共轭复数，若 1 1z i i    ，则 z z • （ ） A． 5 2 B． 5 2 C． 10 2 D． 10 2  3.甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每 人至少领到 1 元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A． 3 4 B． 1 3 C． 3 10 D． 2 5 4.已知向量 (1,2)a  ， (3,4)b  ，则 ( )b a b   • （ ） A．-6 B．6 C.14 D．-14 5.在 ABC 中， D 为边 AB 上一点，且 DA DC ， 3B  ， 2BC  ， BCD 的面积为 3 ，则 边 AC 的长是（ ） A．2 B． 2 3 C.4 D． 4 3 6.过抛物线 2:C y x 的焦点且垂直于 y 轴的直线与C 交于 ,A B 两点.关于抛物线C 在 ,A B 两点处 的切线，有下列四个命题，其中的真命题有（ ） ①两切线互相垂直；②两切线关于 y 轴对称； ③过两切点的直线方程为 1 4y  ；④两切线方程为 1y x   . A．1 个 B．2 个 C.3 个 D．4 个 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． 1 3 B． 4 3 C. 8 3 D．10 3 8.已知 P 是圆 2 2 2x y R  上的一个动点，过点 P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为 ,M N ，MN 的中点为 E .若曲线 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，且 2 2 2R a b  ，则点 E 的轨迹方程 为 2 22 2 2 2 2 2 x yx y a b a b    .若曲线 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，且 2 2 2R a b  ，则点 E 的轨迹方程是 （ ） A． 2 22 2 2 2 2 2 x yx y a b a b    B． 2 22 2 2 2 2 2 x yx y a b a b    C. 2 22 2 2 2 2 2 x yx y a b a b    D． 2 22 2 2 2 2 2 x yx y a b a b    9.已知 3cos( ) sin6 5     ，则 cos( 2 )3   的值是（ ） A． 7 25  B． 23 25  C. 7 25 D． 23 25 10.运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”.（算术符号 MOD 表示取余数，如 11 2 1MOD  ）.下列数中的“水仙花数”是 A．100 B．153 C. 551 D．900 11.已知函数 12ln ( [ , ])y a x x ee    的图象上存在点 P .函数 2 2y x   的图象上存在点Q ，且 ,P Q 关于原点对称，则 a 的取值范围是（ ） A． 2[3, ]e B． 2[ , )e  C. 2 2 1[4 , ]ee  D． 1[3,4 ]e  12.如图，在 ABC 中， 6AB BC  ， 90ABC  ° ，点 D 为 AC 的中点，将 ABD 沿 BD 折 起到 PBD 的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD .若该三棱锥的所有顶点都在 同一球面上，则该球的表面积是（ ） A． B．3 C. 5 D． 7 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.若函数 2( ) 12f x ax x a   的单调递减区间为 ( 2,2) ，则 a  ． 14.已知 ,x y 满足 1 2 3 1 2 1 x y x y        ，则 2z x y  的最小值是 ． 15.已知函数 ( ) sin( )f x A x   ( 0, 0,| | )2A     的部分图象如图所示，将函数 ( )y f x 的图象向左平移 4 3  个单位，得到函数 ( )y g x 的图象，则函数 ( )y g x 在区间 5[ , ]2 2   上的最大 值是 ． 16. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，且 2F 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点.设点 M 为两曲线的一个公共点，且 1| | 21MF  ， 2| | 15MF  ， 1 2F F M 为 钝角，则双曲线的方程为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{ }na 满足， 22 2cos 2n na   ， *n N ，等差数列{ }nb 满足 1 12a b ， 2 2a b . （1）求 nb ； （2）记 2 1 2 1 2 2n n n n nc a b a b   ，求 nc ； （3）求数列{ }n na b 前 200 项的和 200S . 18. 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 2AC BC  ， 120ACB  ° ， D 为 1 1A B 的中点. （1）证明： 1 / /AC 平面 1BC D ； （2）若 1 1A A AC ，点 1A 在平面 ABC 的射影在 AC 上，且侧面 1 1A ABB 的面积为 2 3 ，求三棱锥 1 1A BC D 的体积. 19. 某种多面体玩具共有 12 个面，在其十二个面上分别标有数字 1,2,3，…，12.若该玩具质地均 匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等. 为检验某批玩具是否合格，制定检验标准为：多次抛掷该玩具，并记录朝上的面上标记的数字，若 各数字出现的频率的极差不超过 0.05.则认为该玩具合格. （1）对某批玩具中随机抽取 20 件进行检验，将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图（如 图所示），试估计这批玩具的合格率； （2）现有该种类玩具一个，将其抛掷 100 次，并记录朝上的一面标记的数字，得到如下数据： 朝上面的数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 次数 9 7 8 6 10 9 9 8 10 9 7 8 1）试判定该玩具是否合格； 2）将该玩具抛掷一次，记事件 A ：向上的面标记数字是完全平方数（能写成整数的平方形式的数， 如 29 3 ，9 为完全平方数）；事件 B ：向上的面标记的数字不超过 4.试根据上表中的数据，完成 以下列联表（其中 A 表示 A 的对立事件），并回答在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，能否认为 事件 A 与事件 B 有关. A A 合计 B B 合计 100 （参考公式及数据： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， 2( 6.635) 0.01P K   ） 20. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     过点 2(1, )2P ，且 E 的离心率为 2 2 . （1）求 E 的方程； （2）过 E 的顶点 (0, )A b 作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于 ,B C 两点.若 BAC 的角平分线 方程为 3 1y x   ，求 ABC 的面积及直线 BC 的方程. 21.已知函数 , 0,( ) '( ), 0, xae xf x f x x      曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 0ebx y a    . （1）求 ,a b ； （2）若存在实数 m ，对任意的 [1, ]( 1)x k k  ，都有 ( ) 2f x m ex  ，求整数 k 的最小值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 1C 的参数方程为 cos sin x a y b      （ 0a b  ， 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 ( 0)r r   . （1）求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数； （2）若b r a  ，求由两曲线 1C 与 2C 交点围成的四边形面积的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | | 2x x m m   . （1）当 0m  时，求该不等式的解集； （2）当 [2,3]x 时，该不等式恒成立，求 m 的取值范围. 2017 年山西省高考考前适应性测试 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:ABDCB 6-10: CDBAB 11、12：AD 二、填空题 13.1 14. 1 2 15. 3 2 2 16. 2 2 19 27 x y  三、解答题 17.解：（1）由题意知， 2,3 cos 4 .n na n n       为奇数， ， 为偶数 于是 1 1 1 12b a  ， 2 2 4b a  ，故数列{ }nb 的公差为 3， 故 1 ( 1)3 3 2nb n n     . （2） 2[3(2 1) 2]nc n    4[3(2 2)] 36 18n n   . （3）由（2）知，数列{ }nc 为等差数列， 故 200 1 2 100S c c c    1 100 200 1800002 2 c c   . 18.（1）证明：连接 1B C 交 1BC 于点 E ，连接 DE . 则 E 为 1B C 的中点，又 D 为 1 1A B 的中点，所以 1/ /DE AC ，且 DE  平面 1BC D ， 1AC  平面 1BC D ，则 1 / /AC 平面 1BC D . （2）解：取 AC 的中点O ，连接 1AO ，过点O 作OF AB 于点 F ，连接 1A F . 因为点 1A 在平面 ABC 的射影O 在 AC 上，且 1 1A A AC ， 所以 1AO  平面 ABC ，∴ 1AO AB ， 1AO OF O∩ ，∴ AB  平面 1AOF ， 则 1A F AB . 设 1AO h ，在 ABC 中， 2AC BC  ， 120ACB  ° ， ∴ 2 3AB  ， 1 2OF  ， 2 1 1 4A F h  ， 由 1 1 21 2 3 2 34A ABBS h    ，可得 1 3 2AO h  . 则 1 1 1 1A BC D B A C DV V  1 11 1 3 BA C DAO S   1 3 1 1 23 2 2 2      12 sin120 4   ° = . 所以三棱锥 1 1A BC D 的体积为 1 4 . 19.解：（1）由题意知，20 个样本中，极差为 0.052,0.071,0.073 的三个玩具不合格，故合格率可 估计为 17 0.8520  ，即这批玩具的合格率约为 85%. （2）1）由数据可知，5 点或 9 点对应最大频率 0.10,4 点对应最小频率 0.06，故频率极差为 0.04 0.05 ，故该玩具合格. 2）根据统计数据，可得以下列联表： 于是 2K 的观测值 2100 (15 60 15 10) 30 70 25 75k        0 100 14.2857 6.6357 k    ， 故在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，能认为事件 A 与事件 B 有关. 20.解：（1）把点 2(1, )2P 代入 E 中，得 2 2 1 1 12a b + ，又 2 2 c a  ，∴ 2 2 1 2 b a  ， 解得 2 2a  ， 2 1b  ， ∴椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  . （2）设过 A 斜率为 ( 0)k k  的直线为 1y kx  ，代入椭圆方程 2 22 2 0x y   得 2 2(2 1) 4 0k x kx   ，① 则 2 4 2 1B kx k    ， ∴ 2| | 1 | 0 |BAB k x   2 2 4 | | 12 1 k kk   ，② 在直线 3 1y x   上取一点 1( ,0)3Q ，则Q 到直线 1y kx  的距离为 2 1| 1|3 1 k k   ， 点Q 到直线 1 1y xk    的距离为 2 1| |3 1 k k   ， 由已知条件 2 2 1 1| 1| | |3 3 1 1 k k k k      ，解得 2k  或 1 2  . 代入②得 8 5| | 9AB  ， 2 5| | 3AC  ， ∴ ABC 的面积 1 | | | |2S AB AC   1 8 5 2 5 40 2 9 3 27    . 由①得 8 7( , )9 9B   ， 4 1( , )3 3C . ∴ BC 的方程为 1 1 4( )3 2 3y x   ，即3 6 2 0x y   . 21.解：（1） 0x  时， '( ) xf x ae ， '(1)f ae ， (1)f ae . 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 (1) '(1)( 1)y f f x   ，即 y aex . 又曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 0ebx y a    ， 所以 2a b  . （2）由（1）知 2 , 0( ) 2 , 0 x x e xf x e x     ，显然 ( ) ( )f x f x  对于任意 x R 恒成立， 所以 ( )f x 为偶函数， | |( ) 2 xf x e . 由 ( ) 2f x m ex  得 | |2 2x me ex  ， 两边取以 e 为底的对数得| | ln 1x m x   ， 所以 ln 1 ln 1x x m x x        在[1, ]k 上恒成立. 设 ( ) ln 1g x x x    ， 则 1 1'( ) 1 0xg x x x      （因为 [1, ]x k ）， 所以 min( ) ( )g x g k ln 1k k    . 设 ( ) ln 1h x x x    ，易知 ( )h x 在[1, ]k 上单调递减， 所以 max( ) (1) 2h x h   ，故 2 ln 1m k k      ， 要此不等式有解必有 ln 3k k    ，又 1k  ， 所以 2k  满足要求，故所求的最小正整数 k 为 2. 22.解：（1） 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ， 2 2 2 2 : ( 0)C x y r r   . 当 r a 或b 时，两曲线有两个公共点； 当b r a  时，两曲线有四个公共点； 当 0 r b  或 r a 时，两曲线无公共点. （2）由于曲线 1C 与曲线 2C 关于 x 轴、 y 轴以及原点对称， 所以四边形也关于 x 轴、 y 轴以及原点对称. 设四边形位于第一象限的点为 ( cos , sin )a b  ， 则四边形的面积为 4 cos sinS a b  • 2 sin 2ab ab  . 当且仅当sin 2 1  ，即 4   时，等号成立. 23.解：（1）当 0m  时，原不等式化为 | | 2 0x x   ， 等价于 2 0 2 x x    或 2 0 2 x x    ，解得 2x  . 所以所求的不等式的解集为{ | 2}x x  . （2）∵ [2,3]x ，∴ 0x  ，∴原不等式化为 2| | mx m x   ①. 当 2m   ，即 2 0m   时，①式恒成立，所以 2m   . 当 2m   ，即 2 0m   时，①式化为 2mx m x   ，或 2mx m x    . 化简得 2 2 ( 1)x m x   ，或 2 2 ( 1)x m x   . ∵ [2,3]x ，∴ 1 0x   ， 1 0x   ， ∴ 2 2 1 xm x   或 2 2 1 xm x   . 又 2 2 1 11 1 x xx x      ， 2 2 31 21 1 x xx x       ， 所以当 [2,3]x 时， 2 min 2 2( )1 3 x x   ， 2 max 2( ) 61 x x   ， 所以 2 3m  ，或 6m  . 所以 22 3m   ，或 6m  . 综上实数 m 的取值范围为 2{ | 3m m  或 6}m  .