吉林省吉林市吉化一中2019-2020学年高一上学期月考数学试题 20页

www.ks5u.com 吉化一中2019-2020学年度第一学期月考 高一数学试卷 一 、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.‎ ‎1.下列说法中正确的是（　　）‎ A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱、圆锥、圆台的相关概念对各选项中命题的真假进行判断.‎ ‎【详解】对于A选项，以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是由两个底面相同的圆锥拼接而成的几何体，A选项错误；‎ 对于B选项，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，以斜腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，B选项错误；‎ 对于C选项，圆柱、圆锥、圆台底面都是圆，C选项正确；‎ 对于D选项，圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，大于底面圆的半径，D选项错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱、圆锥、圆台的结构特征，熟悉这三种几何体的形成过程与相关概念是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2.若球的体积与表面积相等，则球的半径是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球的半径为，利用球体的体积和表面积公式建立关于的方程，解出即可.‎ ‎【详解】设球的半径为，由题意可得，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查球体半径的计算，利用球体的表面积和体积公式建立方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的 长就是外接球的直径，所以球直径为：，‎ 所以球的半径为，所以球的表面积是，故选B ‎4.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为(　　)‎ A. 8 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据底面周长为4计算出底面直径，求出轴截面面积．‎ ‎【详解】解：因为用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱 所以底面圆的周长为4‎ 可得底面直径为 所以此圆柱的轴截面矩形的面积为 故选：‎ ‎【点睛】本题给出矩形做成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面面积，着重考查了圆柱侧面展开图，圆的周长公式和矩形的面积公式，属于基础题．‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．‎ ‎【详解】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为，‎ 底面是直角边长分别为1，的直角三角形，‎ ‎∴三棱柱的体积V．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．‎ ‎6.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是（ ）‎ A. ，其中 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一分析，排除错误选项，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】A中缺少条件“与相交”；B中，当时，与 可能平行，可能相交，也可能；C中，与可能平行，可能相交，也可能.对于D选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，D选项正确.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的判定定理，考查线面垂直的充分条件，属于基础题.‎ ‎7.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先还原几何体，然后考查所给的几何关系是否成立即可.‎ ‎【详解】‎ 原正方体如图，由图可得CD∥GH，C正确．‎ AB与CD相交，A错误；‎ AB与平面CD 相交，B错误；‎ AB与GH是异面直线，D错误.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查正方体的展开面与还原，正方体中元素的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力.‎ ‎8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ）‎ A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果.‎ ‎【详解】作出圆台的轴截面如图所示：‎ 由题意知，寸，寸，寸，寸 即是的中点 为梯形的中位线 寸 即积水的上底面半径为寸 盆中积水的体积为（立方寸）‎ 又盆口的面积为（平方寸）‎ 平均降雨量寸，即平均降雨量是寸 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.‎ ‎9.已知是直角梯形，，，且，，．按照斜二测画法作出它的直观图，则直观图的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出直角梯形的面积，则其直观图的面积为，即可得出直观图的面积.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 由于，，且，，，‎ 则梯形的面积为，‎ 因此，直观图的面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直观图面积的计算，熟悉多边形面积与其直观图面积的等量关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10.两直角边分别为1,的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是( )‎ A. B. 3π C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积计算公式 可得．‎ ‎【详解】由题得直角三角形的斜边为2，则斜边上的高为.‎ 由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的计算，属于基础题.‎ ‎11.在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）‎ A. 面 B. 面 C. 面面 D. 面面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用线面平行、线面垂直以及面面垂直的判定定理对各选项中命题的正误进行判断.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 对于A选项，、分别为、的中点，，‎ 平面，平面，平面，A选项正确；‎ 对于B选项，是等边三角形，为的中点，，同理，‎ ‎，平面，，平面，B选项正确；‎ 对于C选项，设，连接，假设面面成立，‎ ‎、分别为、的中点，，且，则为的中点，‎ 由B选项知，平面，平面，，‎ 若面面，由于面面，平面，‎ 平面，过点作平面，垂足为点，则为等边的中心，‎ 则，矛盾，所以，面面不成立，C选项错误；‎ 对于D选项，由B选项知，平面，平面，平面平面，D选项正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行与垂直、面面垂直的判断，要充分利用相关的判定定理来判断，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎12.设，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题：‎ ‎①；②；③；‎ ‎④；⑤；⑥.‎ 其中为真命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据课本的判定定理以及推论，和特殊的例子，可判断正误.‎ ‎【详解】对于①，错误，n可以在平面内；对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；对于③根据课本推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面的成任意夹角的两条直线；对于⑤根据课本线面垂直的判定定理得到其正确；对于⑥是错误的，当直线m与直线n,和平面平行并且和平面垂直，此时两条直线互相平行.‎ 故答案为B ‎【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，面面垂直，线面垂直的判定等，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．‎ 二 填空题 本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.在空间内，如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是_______.‎ ‎【答案】平行或异面 ‎【解析】‎ 由空间两直线的位置关系可得，没公共点的两直线可能平行或异面．‎ 答案：平行或异面 ‎14.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由所给的正方体知，‎ ‎△PAC在该正方体上下面上的射影是①，‎ ‎△PAC在该正方体左右面上的射影是④，‎ ‎△PAC在该正方体前后面上的射影是④‎ ‎15.已知各个顶点都在同一个球面上的正三棱柱的棱长为，则这个球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为，利用重心的性质求出的值，然后利用公式（为正三棱柱的高），计算出球的半径，最后利用球体的表面积公式可计算出该正三棱柱外接球的表面积.‎ ‎【详解】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为，正三棱柱底面三角形的高为，‎ 由题意可得，‎ 由于该正三棱柱的高为，所以，外接球的半径，‎ 因此，该球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正三棱柱的外接球问题，选择合适的模型计算出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设球的半径为r,‎ 则,‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故答案为.‎ 考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.‎ 点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为.‎ 三 解答题 共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图所示，在正方体中，、分别为和的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与面所成的角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，利用中位线的性质证明出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）设正方体的棱长为，取的中点，连接，证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，然后计算出的三边边长，然后利用锐角三角函数的定义可求出，即为直线与面所成的角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）如下图所示，连接，‎ ‎、分别为和的中点，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）如下图所示，设正方体的棱长为，取的中点，连接，‎ ‎、分别为、的中点，则，且，‎ 在正方体中，平面，平面，‎ 直线与平面所成的角为，由勾股定理得，‎ 平面，平面，，‎ ‎，‎ 在中，.‎ 因此，直线与面所成的角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行证明，同时也考查了直线与平面所成角的计算，在计算直线与平面所成角时，要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎18. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.‎ 求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：1)证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等； (2)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.‎ 试题解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD ‎∴CD⊥PA.‎ 又矩形ABCD中，CD⊥AD，‎ ‎∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 平面PAD∴CD⊥PD.‎ ‎(2)取PD的中点G，连结AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形，‎ ‎∴AG∥EF.‎ ‎∵PA＝AD，G是PD的中点，‎ ‎∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，‎ ‎∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.‎ ‎∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD ‎∴EF⊥平面PCD.‎ 考点：线线、线面与面面关系的相互转化、线面垂直 ‎19.已知正方体的棱长为，点、、分别为棱、、的中点.‎ ‎（1）求四面体的体积；‎ ‎（2）求二面角平面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将正方体的体积减去三棱锥、、、的体积之和即可得出四面体的体积；‎ ‎（2）连接，交于点，连接，证明出平面，可得出二面角的平面角为，然后计算出的三边长，利用锐角三角函数的定义即可计算出，即为所求.‎ ‎【详解】（1）正方体的体积为，‎ 在正方体中，平面，‎ 则三棱锥的体积为，‎ 所以，四面体的体积为；‎ ‎（2）如下图所示，连接，交于点，连接，‎ 平面，平面，，‎ 四边形为正方形，则，即，‎ ‎，平面，平面，.‎ 二面角的平面角为，‎ 在中，，，所以，.‎ 因此，二面角平面角的正切值为.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，同时也考查了二面角的计算，计算三棱锥体积，常用的方法有：等体积法、间接法、割补法，可以结合三棱锥的结构选择合适的方法进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.一个圆锥底面半径为，高为，‎ ‎（1）求圆锥的表面积.‎ ‎（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的表面积公式计算即可；‎ ‎（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为，根据轴截面上的两个三角形相似，列出比例式求出四棱柱的高，根据正四棱柱的表面积公式得出其表面积的表达式，然后利用二次函数的基本性质得出该正四棱柱表面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，圆锥的母线长为，‎ 所以，该圆锥的表面积为；‎ ‎（2）如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为，‎ ‎，，即，解得，‎ 正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为，‎ 所以，四棱柱的底面积为，‎ 由二次函数的基本性质可知，当时，‎ 正四棱柱的表面积有最大值，即.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的表面积的计算，同时也考查了圆锥的内接正四棱柱表面积的计算，一般要利用轴截面并结合相似三角形来计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.如图，在直角梯形中，，，，，将沿折起到的位置，使平面平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与所成的角．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明出平面，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；‎ ‎（2）连接，取的中点，连接、，说明为异面直线与所成的角，计算出的三边边长关系，可得出的大小.‎ ‎【详解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面.‎ 平面，平面平面；‎ ‎（2）如下图所示，连接，取的中点，连接、，‎ ‎，为异面直线与所成的角，‎ 又，，为的中点，则，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，平面，.‎ 设，则，，.‎ 是等边三角形，则.‎ 因此，求与所成的角为.‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，同时也考查异面直线所成角的计算，在计算异面直线所成角时，要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎22.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上一点，．‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）设二面角为，求与平面所成角的大小 ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由已知建立空间直角坐标系，设，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明，，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面的法向量，再求平面的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 ‎【详解】（1）以坐标原点，建立如图空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2），，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，‎ ‎∵平面平面，∴，故，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 设与平面所成角为，，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成角的大小为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，属于中档题.‎ ‎ ‎