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  • 2021-06-10 发布

2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)

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‎2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1,x∈R},则A∩B=(  )‎ A.(﹣1,+∞) B.[﹣2,+∞) C.[﹣1,2] D.(﹣1,2]‎ ‎2.(5分)已知复数,则在复平面内所对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.(5分)已知函数f(x)满足:①对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有;②对定义域内任意x,都有f(x)=f(﹣x),则符合上述条件的函数是(  )‎ A.f(x)=x2+|x|+1 B. C.f(x)=ln|x+1| D.f(x)=cosx ‎4.(5分)若,则cosα﹣2sinα=(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.﹣1或 ‎5.(5分)已知等比数列{an}中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7=(  )‎ A.12 B.10 C. D.‎ ‎6.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入p=0.99,则输出的n=(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎7.(5分)如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是(  )‎ A.4+2π B. C.4+π D.‎ ‎8.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a3+7=2a5,则S13=(  )‎ A.49 B.91 C.98 D.182‎ ‎10.(5分)已知函数,要得到g(x)=cosx的图象,只需将函数y=f(x)的图象(  )‎ A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 ‎11.(5分)已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且(O为坐标原点),若,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)已知函数,(e为自然对数的底数),则函数的零点个数为(  )‎ A.8 B.6 C.4 D.3‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)展开式中的常数项为   .‎ ‎14.(5分)已知向量=(2,3),=(x,y),且变量x,y满足,则z=•的最大值为   .‎ ‎15.(5分)已知AB为圆C:x2+y2﹣2y=0的直径,点P为直线y=x﹣1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为   .‎ ‎16.(5分)在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.(12分)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a+2acosB=c.‎ ‎(Ⅰ)求证:B=2A;‎ ‎(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求a的取值范围.‎ ‎18.(12分)某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x分布在[50,100)内,且销售量x的分布频率.‎ ‎(Ⅰ)求a的值并估计销售量的平均数;‎ ‎(Ⅱ)若销售量大于等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3天来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).‎ ‎19.(12分)如图,在空间直角坐标系O﹣xyz中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶点A,B,C分别在x轴,y轴,z轴上.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD∥平面OAB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角C﹣AB﹣D的余弦值.‎ ‎20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x与直线l2:y=﹣x之间的阴影部分记为W,区域W中动点P(x,y)到l1,l2的距离之积为1.‎ ‎(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)动直线l穿过区域W,分别交直线l1,l2于A,B两点,若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.‎ ‎21.(12分)已知函数,g(x)=3elnx,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数a,b,使f(x)≥ax+b≥g(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立?若存在,试求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎22.(10分)设直线l的参数方程为,(t为参数),若以直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线C是什么曲线;‎ ‎(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+1|+a|2x﹣1|.‎ ‎(Ⅰ)当时,若对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={x|﹣2≤x≤2},B={y|y=3x﹣1,x∈R},则A∩B=(  )‎ A.(﹣1,+∞) B.[﹣2,+∞) C.[﹣1,2] D.(﹣1,2]‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|﹣2≤x≤2},‎ B={y|y=3x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},‎ ‎∴A∩B={x|﹣1<x≤2}=(﹣1,2].‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知复数,则在复平面内所对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵=,‎ ‎∴,‎ 则在复平面内所对应的点的坐标为(﹣,﹣),位于第三象限角.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)已知函数f(x)满足:①对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有;②对定义域内任意x,都有f(x)=f(﹣x),则符合上述条件的函数是(  )‎ A.f(x)=x2+|x|+1 B. C.f(x)=ln|x+1| D.f(x)=cosx ‎【解答】解:由题意得:f(x)是偶函数,在(0,+∞)递增,‎ 对于A,f(﹣x)=f(x),是偶函数,且x>0时,f(x)=x2+x+1,f′(x)=2x+1>0,‎ 故f(x)在(0,+∞)递增,符合题意;‎ 对于B,函数f(x)是奇函数,不合题意;‎ 对于C,由x+1=0,解得:x≠﹣1,定义域不关于原点对称,‎ 故函数f(x)不是偶函数,不合题意;‎ 对于D,函数f(x)在(0,+∞)无单调性,不合题意;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若,则cosα﹣2sinα=(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.﹣1或 ‎【解答】解:若,则1+cosα=3sinα,又sin2α+cos2α=1,‎ ‎∴sinα=,∴cosα=3sinα﹣1=,∴cosα﹣2sinα=﹣,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知等比数列{an}中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7=(  )‎ A.12 B.10 C. D.‎ ‎【解答】解:∵,a1=1,a3+a5=6,‎ ‎∴a3+a5=q2+q4=6,‎ 得q4+q2﹣6=0,‎ 即(q2﹣2)(q2+3)=0,‎ 则q2=2,‎ 则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎6.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入p=0.99,则输出的n=(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算S=+++…的值.‎ 由题意,S=+++…==1﹣≥0.99,可得:2k≥100,解得:k≥7,‎ 即当n=8时,S的值不满足条件,退出循环.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是(  )‎ A.4+2π B. C.4+π D.‎ ‎【解答】解:由几何体的三视图得:‎ 该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,‎ 其中长方体的长为4,宽为1,高为1,‎ 半圆柱的底面半径为r=1,高为h=1,如图,‎ ‎∴该几何体的体积:‎ V=4×1×1+=4+.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:满足条件的正三角形ABC如下图所示:‎ 边长AB=a,‎ 其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2;‎ 满足到正三角形ABC的顶点A、B、C 的距离至少有一个小于1的平面区域,‎ 如图中阴影部分所示,其加起来是一个半径为的半圆,‎ ‎∴S阴影=•π•=,‎ ‎∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是:‎ P=1﹣=1﹣π.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a3+7=2a5,则S13=(  )‎ A.49 B.91 C.98 D.182‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+7=2a5,‎ ‎∴a1+2d+7=2(a1+4d),化为:a1+6d=7=a7.‎ 则S13==13a7=13×7=91.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知函数,要得到g(x)=cosx的图象,只需将函数y=f(x)的图象(  )‎ A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 ‎【解答】解:将函数y=f(x)=sin(x﹣)的图象向左平移个单位,‎ 可得y=sin(x+﹣)=cosx的图象,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且(O为坐标原点),若,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:如图,取PF1的中点A,连接OA,‎ ‎∴2=+,=,‎ ‎∴+=,‎ ‎∵,‎ ‎∴•=0,‎ ‎∴⊥,‎ ‎∵,‎ 不妨设|PF2|=m,则|PF1|=m,‎ ‎∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,‎ ‎∴m=a=2(﹣1)a,‎ ‎∵|F1F2|=2c,‎ ‎∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2(3﹣2),‎ ‎∴=9﹣6=(﹣)2,‎ ‎∴e=﹣,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎12.(5分)已知函数,(e为自然对数的底数),则函数的零点个数为(  )‎ A.8 B.6 C.4 D.3‎ ‎【解答】解:令f(x)=t可得f(t)=t+1.‎ 作出f(x)的函数图象如图所示:‎ 设直线y=kx+1与y=ex相切,切点为(x0,y0),则,‎ 解得x0=0,k=1.‎ 设直线y=kx+1与y=lnx相切,切点为(x1,y1),则,‎ 解得x1=e2,k=.‎ ‎∴直线y=t+1与f(t)的图象有4个交点,‎ 不妨设4个交点横坐标为t1,t2,t3,t4,且t1<t2<t3<t4,‎ 由图象可知t1<0,t2=0,0<t3<1,t4=e2.‎ 由f(x)的函数图象可知f(x)=t1无解,f(x)=t2有1解,f(x)=t3有3解,f(x)=t4有2解.‎ ‎∴F(x)有6个零点.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.(5分)展开式中的常数项为  .‎ ‎【解答】解:二项式展开式的通项公式为 Tr+1=•x6﹣r•=••,‎ 令6﹣=0,解得r=4;‎ ‎∴展开式中的常数项为 ‎•=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知向量=(2,3),=(x,y),且变量x,y满足,则z=•的最大值为  .‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得A(),‎ ‎∵=(2,3),=(x,y),‎ ‎∴z=•=2x+3y,化为y=,由图可知,当直线y=过A时,‎ 直线在y轴上的截距最大,z有最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知AB为圆C:x2+y2‎ ‎﹣2y=0的直径,点P为直线y=x﹣1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为 6 .‎ ‎【解答】解:圆C:x2+y2﹣2y=0,‎ 转化为:x2+(y﹣1)2=1,‎ 则:圆心(0,1)到直线y=x﹣1的距离d=,‎ 由于AB为圆的直径,‎ 则:点A到直线的最小距离为:.‎ 点B到直线的距离为.‎ 则:|PA|2+|PB|2==6,‎ 故答案为:6‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为  .‎ ‎【解答】解:∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球,晃动此正方体,‎ ‎∴小球可以经过的空间的体积:‎ V==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.(12分)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a+2acosB=c.‎ ‎(Ⅰ)求证:B=2A;‎ ‎(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:根据题意,在△ABC中,a+2acosB=c,‎ 由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,‎ 即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin(B﹣A).‎ 因为A,B∈(0,π),‎ 所以B﹣A∈(﹣π,π),且A+(B﹣A)=B∈(0,π),所以A+(B﹣A)≠π,‎ 所以A=B﹣A,B=2A.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.‎ 由△ABC为锐角三角形得,‎ 得,则0<cosB<,‎ 由a+2acosB=2得,‎ 又由0<cosB<,‎ 则.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x分布在[50,100)内,且销售量x的分布频率.‎ ‎(Ⅰ)求a的值并估计销售量的平均数;‎ ‎(Ⅱ)若销售量大于等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3天来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题知,解得5≤n≤9n,n可取5,6,7,8,9,‎ 代入中,‎ 得,a=0.15.‎ 销售量在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,‎ 销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81.‎ ‎(Ⅱ)销售量在[70,80),[80,90),[90,100)内的频率之比为2:3:3,‎ 所以各组抽取的天数分别为2,3,3.‎ X的所有可能值为1,2,3,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ X的分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,在空间直角坐标系O﹣xyz中,正四面体(各条棱均相等的三棱锥)ABCD的顶点A,B,C分别在x轴,y轴,z轴上.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD∥平面OAB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角C﹣AB﹣D的余弦值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:由AB=BC=CA,可得OA=OB=OC.‎ 设OA=a,则,A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),‎ 设D点的坐标为(x,y,z),则由,‎ 可得(x﹣a)2+y2+z2=x2+(y﹣a)2+z2=x2+y2+(z﹣a)2=2a2,‎ 解得x=y=z=a,‎ ‎∴.‎ 又平面OAB的一个法向量为,‎ ‎∴,‎ ‎∴CD∥平面OAB;‎ ‎(Ⅱ)解:设F为AB的中点,连接CF,DF,‎ 则CF⊥AB,DF⊥AB,∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角.‎ 由(Ⅰ)知,在△CFD中,,,‎ 则由余弦定理知,‎ 即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x与直线l2:y=﹣x之间的阴影部分记为W,区域W中动点P(x,y)到l1,l2的距离之积为1.‎ ‎(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)动直线l穿过区域W,分别交直线l1,l2于A,B两点,若直线l与轨迹C有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得,|(x+y)(x﹣y)|=2.‎ 因为点P在区域W内,所以x+y与x﹣y同号,得(x+y)(x﹣y)=x2﹣y2=2,‎ 即点P的轨迹C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线l与x轴相交于点D,当直线l的斜率不存在时,,,得.‎ 当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,显然k≠0,则,‎ 把直线l的方程与C:x2﹣y2=2联立得(k2﹣1)x2﹣2kmx+m2+2=0,‎ 由直线l与轨迹C有且只有一个公共点,知△=4k2m2﹣4(k2﹣1)(m2+2)=0,‎ 得m2=2(k2﹣1)>0,得k>1或k<﹣1.‎ 设A(x1,y2),B(x2,y2),由得,同理,得.‎ 所以=.‎ 综上,△OAB的面积恒为定值2.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数,g(x)=3elnx,其中e为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数a,b,使f(x)≥ax+b≥g(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立?若存在,试求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据题意,函数,‎ ‎,‎ 令f'(x)=0得.‎ 当且x≠0时,f'(x)<0;当时,f'(x)>0.‎ 所以f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎(Ⅱ)根据题意,注意到f(e)=g(e)=3e,则ae+b=3e,b=3e﹣ae①.‎ 于是,ax+b≥g(x)即a(x﹣e)﹣3e(1﹣lnx)≥0,‎ 则记h(x)=a(x﹣e)+3e(1﹣lnx),,‎ 若a≤0,则h'(x)<0,得h(x)在(0,+∞)上单调递减,则当x>e时,有h(x)<h(e)=0,不合题意;‎ 若a>0,易知h(x)在上单调递减,在上单调递增,‎ 得h(x)在(0,+∞)上的最小值.‎ 记,则,得m(a)有最大值m(3)=0,即m(a)≤m(3)=0,‎ 又m(a)≥0,故a=3,代入①得b=0.‎ 当a=3,b=0时,f(x)≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0.‎ 记φ(x)=2x3﹣3ex2+e3,则φ'(x)=6x(x﹣e),得φ(x)在(0,+∞)上有最小值φ(e)=0,即φ(x)≥0,符合题意.‎ 综上,存在a=3,b=0,使f(x)≥ax+b≥g(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立.‎ ‎ ‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎22.(10分)设直线l的参数方程为,(t为参数),若以直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线C是什么曲线;‎ ‎(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于ρsin2θ=4cosθ,‎ 所以ρ2sin2θ=4ρcosθ,即y2=4x,‎ 因此曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线.‎ ‎(Ⅱ),化为普通方程为y=2x﹣1,‎ 代入y2=4x,‎ 并整理得4x2﹣8x+1=0,‎ 所以,‎ ‎=,‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+1|+a|2x﹣1|.‎ ‎(Ⅰ)当时,若对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当时,,‎ ‎∴,∴.∴,‎ ‎∴,当且仅当m=n时等号成立,‎ ‎∵m,n>0,解得,当且仅当m=n时等号成立,‎ 故m+n的最小值为.‎ ‎(Ⅱ)∵f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],‎ 当x∈[﹣1,2]时,有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,‎ ‎∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1,2]恒成立,‎ 当时,a(1﹣2x)≥1﹣2x,∴a≥1;‎ 当时,a(2x﹣1)≥1﹣2x,∴a≥﹣1.‎ 综上:a≥1.‎ 故实数a的取值范围是[1,+∞).‎ ‎ ‎