高中数学必修2教案：第三章 3_1_2两条直线平行与垂直的判定 9页

‎3.1.2　两条直线平行与垂直的判定 ‎[学习目标]　1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°)．‎ ‎2．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝(x1≠x2)．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．两条直线平行与斜率的关系 ‎(1)如图①设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1∥l2.‎ ‎(2)如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行．‎ ‎2．两条直线垂直与斜率的关系 ‎(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即k1k2＝－1⇒l1⊥l2，l1⊥l2⇒k1k2＝－1.‎ ‎(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．‎ 要点一　两条直线平行关系的判定与应用 例1　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．‎ ‎(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；‎ ‎(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．‎ 解　(1)由题意知k1＝＝－，‎ k2＝＝－.‎ 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.‎ ‎(2)由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝.‎ 因为k1＝k2，‎ 所以l1∥l2或l1与l2重合．‎ 规律方法　1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等．‎ ‎2．判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件．‎ 跟踪演练1　根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．‎ ‎(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；‎ ‎(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)．‎ 解　(1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.‎ ‎(2)由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，‎ 虽然k1＝k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．‎ 要点二　两条直线垂直关系的判定与应用 例2　判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：‎ ‎(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；‎ ‎(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；‎ ‎(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．‎ 解　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直．‎ ‎(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.‎ ‎(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．‎ 直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴．‎ 故l1⊥l2.‎ 规律方法　使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：‎ ‎(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；‎ ‎(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；‎ ‎(3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．‎ 跟踪演练2　已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．‎ 答案　－ 解析　由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，‎ 设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，‎ ‎∴k2＝－.‎ 要点三　平行与垂直关系的综合应用 例3　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状．‎ 解　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，‎ 如图，由斜率公式可得 kAB＝＝，‎ kCD＝＝，‎ kAD＝＝－3，kBC＝＝－.‎ 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，‎ 所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．‎ 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，‎ 所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．‎ 规律方法　1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．‎ ‎2．由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．‎ 跟踪演练3　已知△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．‎ 解　若∠A为直角，则AC⊥AB，‎ 所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；‎ 若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，‎ 即·＝－1，得m＝3；‎ 若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，‎ 即·＝－1，得m＝±2.‎ 综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.‎ ‎1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．－ D. 答案　B 解析　因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.‎ ‎2．已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为(　　)‎ A．0° B．135°‎ C．90° D．180°‎ 答案　C 解析　∵kl1＝0且l1⊥l2，‎ ‎∴kl2不存在，直线l2的倾斜角为90°.‎ ‎3．下列说法正确的有(　　)‎ ‎①若两直线斜率相等，则两直线平行；‎ ‎②若l1∥l2，则k1＝k2；‎ ‎③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；‎ ‎④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　A 解析　当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确．‎ ‎4．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为(　　)‎ A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不正确 答案　A 解析　过点(，)，(0,3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2,0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．‎ ‎5．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.‎ 答案　－1　7‎ 解析　∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，‎ ‎∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.‎ ‎1.两直线平行或垂直的判定方法.‎ 斜率 直线 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在 相等 平行 积为－1‎ 垂直 ‎2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．‎ 一、基础达标 ‎1．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为(　　)‎ A．45° B．135° C．－45° D．120°‎ 答案　B 解析　由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，‎ 知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.‎ ‎2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为(　　)‎ A．0 B．－6 C．6 D．3‎ 答案　C 解析　直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.‎ ‎3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 答案　C 解析　kAB＝＝－，kAC＝＝，‎ ‎∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．‎ ‎4．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(　　)‎ A．(3,4) B．(4,3) C．(3,1) D．(3,8)‎ 答案　A 解析　设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有 kAB＝kDC，kAD＝kBC，‎ ‎∴解得 ‎∴点D的坐标为(3,4)．‎ ‎5．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．‎ 答案　4‎ 解析　∵l2∥l1，且l1的倾斜角为45°，‎ ‎∴kl2＝kl1＝tan 45°＝1，即＝1，∴a＝4.‎ ‎6．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．‎ 答案　－6‎ 解析　由题意得l1∥l2，∴kl1＝kl2.‎ ‎∵kl1＝kAB＝＝－，kl2＝kMN＝＝3，‎ ‎∴－＝3，∴a＝－6.‎ ‎7．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：‎ ‎(1)倾斜角为135°；‎ ‎(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；‎ ‎(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．‎ 解　(1)由kAB＝＝－1，解得m＝－或1.‎ ‎(2)由kAB＝，且＝3，‎ 且＝－，解得m＝或－3.‎ ‎(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.‎ 二、能力提升 ‎8．已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)‎ A．1 B．0 C．0或2 D．0或1‎ 答案　D 解析　当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.‎ ‎9．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　)‎ A．135° B．45° C．30° D．60°‎ 答案　B 解析　kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，‎ ‎∴l的斜率为1，倾斜角为45°.‎ ‎10．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．‎ 答案　－1‎ 解析　由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，‎ 所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.‎ ‎11．已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)．‎ ‎(1)若l1∥l2，求m的值；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求m的值．‎ 解　由题意知直线l2的斜率存在且k2＝＝－.‎ ‎(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，‎ 得＝－，解得m＝1或m＝6，‎ 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.‎ ‎(2)若l1⊥l2.‎ 当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；‎ 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k1·k2＝－1，即－·＝－1，‎ 解得m＝3或m＝－4，‎ 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.‎ 三、探究与创新 ‎12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．‎ 解　由斜率公式可得kAB＝＝，‎ kBC＝＝0，kAC＝＝5.‎ 由kBC＝0知直线BC∥x轴，‎ ‎∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在．‎ 设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，‎ 由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，‎ 即k1·＝－1，k2·5＝－1，‎ 解得k1＝－，k2＝－.‎ ‎∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；‎ AB边上的高所在直线的斜率为－；‎ AC边上的高所在直线的斜率为－.‎ ‎13．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．‎ 解　(1)当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示，‎ ‎∵四边形ABCD为直角梯形，‎ ‎∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.‎ ‎(2)当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示，‎ ‎∵四边形ABCD为直角梯形，‎ ‎∴AD∥BC且AB⊥BC.‎ ‎∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，‎ ‎∴解得m＝，n＝－.‎ 综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.‎