高中数学必修2教案：4_1_1圆的标准方程 (4) 5页

‎4.1.1 圆的标准方程 ‎（一）教学目标 ‎1．知识与技能 ‎（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.‎ ‎（2）会用待定系数法求圆的标准方程.‎ ‎2．过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.‎ ‎3．情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.‎ ‎（二）教学重点、难点 重点：圆的标准方程 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.‎ ‎（三）教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？‎ 由学生回答，然后引入课题 设置情境引入课题 概念形成 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M (x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件 ‎ ①‎ 化简可得：(x – a)2 + (y – b)2 = r2②‎ 引导学生自己证明(x – a)2 + (y – b)2 = r2为圆的方程，得出结论.‎ 方程②就是圆心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.‎ 通过学生自己证明培养学生的探究能力.‎ ‎6 –‎ ‎–‎ ‎4 –‎ ‎–‎ ‎2 –‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–2 –‎ ‎–‎ ‎–4 –‎ ‎–‎ ‎–‎ ‎–5‎ ‎5‎ A M 应用举例 例1 写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.‎ 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.‎ 探究：点M(x0，y0)与圆(x – a)2 + (y – b)2 = r2的关系的判断方法：‎ ‎（1）(x0 – a)2 + (y0 – b)2＞r2，点在圆外.‎ ‎（2）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2，点在圆上. ‎ ‎（3）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 ＜r2，点在圆内.‎ 引导学生分析探究 从计算点到圆心的距离入手.‎ ‎ 例1 解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)22 + ( y + 3)2 =25.‎ 把M1 (5，–7)，M2 (，–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 (，–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)22 =25，左右两边 不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上 通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.‎ 例2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.‎ 例2 解：设所求圆的方程是(x– a)2 + (y – b)2 = r2. ①‎ 因为A (5，1)，B (7，–3)，C 师生共同分析：从圆的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)‎ ‎ (2，– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 解此方程组，得 所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25.22222‎ 例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在 l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.‎ 比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：‎ ‎①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.‎ 练习：课本P127 第1、3、4题 师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)‎ B m A C 例3 解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率 kAB == –3，‎ 因为线段AB 的垂直平分线l′的方程是 y +，‎ 即x –3y –3 = 0.‎ 圆心C的坐标是方程组 的解.‎ 解此方程组，得 所以圆心C的坐标是(–3，–2) .‎ 圆心为C的圆的半径长 r =|AC|== 5.‎ 所以，圆心为C的圆的标准方程是 ‎(x + 3)22 + (y +2)2 =25.‎ 归纳总结 ‎1．圆的标准方程.‎ ‎2．点与圆的位置关系的判断方法.‎ ‎3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.‎ 教师启发，学生自己比较、归纳.‎ 形成知识体系 课外作业 布置作业：见习案4.1第一课时 学生独立完成 巩固深化 备选例题 例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径 ‎（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a2 (a≠0)‎ ‎【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为；‎ ‎（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|.‎ 例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程.‎ 解法1：设所求的圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2‎ 由条件知 解方程组得 即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10‎ 解法2：，AB的中点是(0，–4)，‎ 所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0‎ 由得 因为圆心为(–1, –2 )又.‎ 所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10.‎ 例3 已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.‎ ‎【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值.‎ ‎.‎ 因为|PA|＜|PB|＜|PC|‎ 所以圆的半径.‎ 故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.‎