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  • 2021-06-10 发布

上海教育高中数学一下最简三角方程篇

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课题 最简三角方程 上海市延安中学 吕志勇 一、教案设计思考[]‎ 这节课的内容是给出三角方程的定义,以及解最简三角方程的基本方法,其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识,还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法,是对所学过的许多三角知识进行应用,在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要,它是先有三角比值,然后要研究满足这样的条件的角是什么,也完善了解三角形的理论基础 这节课用解三角形时的一个问题来引入,简单并能引起同学的兴趣,然后整节课采用启发、探究的教学方法,调动同学积极思考问题 二、教学目标 理解三角方程、最简三角方程的定义,掌握三种最简三角方程的解法;体会由特殊到一般的研究问题的方法,能综合运用所学知识解决问题,能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题.‎ 三、教学重点、难点 解三角方程的思想方法 四、教学方法和手段 采用启发式教学模式 五、教学过程 ‎1、引入 前面我们重点学习了三角函数的有关知识,研究了角的变化对三角比值的影响,在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值,要求这个角,如知道,由于角是三角形中的内角,所以有或,今后我们会遇到类似的问题,特别是当角的大小没有条件限制时,那么满足的有多少呢?我们把这样的方程叫做三角方程,那么如何解这类方程呢?下面就请同学思考这个问题]‎ ‎2、探究 要研究如何解三角方程,先解决较简单的方程,就以为例,同学思考后,进行交流讨论 同学1:这个方程应该有无数多个解,但还没有找到解决的方法.‎ 同学2:和都是方程的解,又函数的最小正周期是,所以此方程的解集是或,.‎ 教师:好,你的确找到了方程的许多解,但是会不会有其它的解遗漏了呢?‎ 同学3:不会遗漏,由于函数的最小正周期是,只要先找到在的解,那么方程的所有解都找到了,画出函数与的图象,发现在内的交点有且只有两个,交点横坐标为和,所以方程的解集是或 ‎,‎ 教师:很好,方程有无数个解,找到所有的解的方法是利用三角周期的性质,先在一个最小正周期内找到解,然后找到方程所有解.那么,方程又如何解呢?‎ 同学4:方法跟前面一样,只是在内的解要用反三角函数来表示,即方程的解集是或,.‎ 教师:很好,方程又如何解呢?‎ 同学5:方法跟前面一样,在内的解也有两个.‎ 教师:哪两个呢?‎ 同学5:一个是,另一个是.‎ 此时引起许多同学的争论,觉得这里有问题.‎ 同学6:先在内找到解,一个是,另一个是.‎ 教师:为什么?‎ 同学6:书上就是这样说的,先选取区间.‎ 又引起同学争论.‎ 同学7:先在内找到解,一个是,另一个是,然后是方程的解集就是或,.‎ 教师:很好,这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来,由反三角函数知识,这个区间最好包括,而在内的图象又是关于直线对称的.那么方程又如何解呢?‎ 同学8:在内的解是与,所以方程的解是或,.‎ 同学9:不对,要进行分类讨论,当时,方程无解.‎ ‎3、结论 在同学的共同讨论下,关于方程,最后可以得到以下的结论:‎ 当时,函数和函数的图象无交点,方程无解,即解集为.‎ 当时,方程的解集为或 ‎4、继续探究 从解方程的方法得到启发,如何解方程呢?‎ 同学10:由诱导公式,将方程转换为即可.‎ 教师:很好,体现了数学转换的思想,那么能不能用类似解的方法来解方程呢?‎ 同学11:那么还是用数形结合的方法,先分类讨论,当时,函数与 的图象无交点,方程无解.当时,函数与的图象在区间内的交点有两个,横坐标是与,所以方程的解集为或 教师:很好,理解了方程的解法之后,用类比的方法就很容易解方程了.‎ 那么又如何解方程呢?‎ 同学12:还是用数形结合的方法,函数与的图象在区间内的交点横坐标是,又由于函数的最小正周期是,所以方程的解集为.‎ 教师:很好,方程是最容易解的,函数与的图象在区间 内的交点总是有且只有一个,不需要进行分类讨论.‎ ‎5、练习 解下列方程:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ ‎6、小结 今天我们一起讨论了如何解三角方程,先研究如何解最简三角方程,掌握了解三种最简三角方程的基本方法,另外,解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面:‎ ‎(1)从特殊到一般的研究问题方法 ‎(2)利用函数的图象及性质,采用数形结合的方法;‎ ‎(3)转化思想,先找到一个周期内的解,再利用周期性质得到方程所有的解;‎ ‎(4)采用类比的思想方法.‎ ‎7、布置作业 第106页 习题 1,2‎ 六、教学建议与反思 最简三角方程这节内容两节课完成,这是第一节课,这节课的教学思路是这样设计的,先是通过复习解斜三角形引出问题,使同学产生研究的兴趣,课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣,虽然引入没有花许多时间,但产生了明显的效果,然后是跟同学一起讨论如何解三角方程,,,,由简单到复杂逐步推进,从中逐步体会解三角方程的思想,如利用三角函数的周期性质,还有数形结合,分类讨论等数学方法,课堂上学生能进行积极思考和讨论,并能够对教材提出自己的独特的见解.完成对三角方程的求解之后,要求学生继续解三角方程和,学生的思维很积极,如能利用转换思想将方程转换为来解,能合理运用类比的思想方法,将解方程得到的方法应用到解方程和上,在课堂小结时,同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来.‎ 由于这节课设计时要解决三个三角方程,在讨论好解的方法之后,继续研究如何解另外两个方程,这个过程培养了同学的类比能力,增强了同学的类比意识,但是也遇到一些问题,如课堂练习的时间比较少,没有能对方程的各种解法进行更进一步的探讨,其实可以从单位圆的角度,先把问题转换为找终边所在的位置,再求出终边所表示的角的集合,又如当时,方程的解集为或,这个集合也可以等价地表示为 ‎,,这个表示方法更加简洁.所以这节课的设计也可以考虑只解决方程的解法,把它讨论透彻,第二节课再研究另外两个方程的解法.‎ 课 题:6.5-最简三角方程 第1课时:‎ 教学目标:‎ 1. 知道三角方程的概念,理解三角方程的解集概念;能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集 2. 通过解三角方程,进一步理解三角函数及反三角函数。‎ 3. 进一步提高数形结合思想 教学重点:三角方程的求解 教学难点:三角方程的求解 教学过程 三角方程的定义:‎ 我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程;把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程的解集。如,等。‎ 点评:一般地,由于三角函数具有周期性,因此三角方程的解集一般含有无穷多个元素]‎ 最简三角方程 ‎1、方程的解集 ‎[例1] 求三角方程的解集 解:在区间上,满足的或,‎ 而是周期为的函数,则或(),‎ 则方程的解集为或。‎ 解集还可以写成。 ——给学生讲讲为什么。‎ 归纳方程的解:‎ ‎(i)当时,方程无解;‎ ‎(ii)当时,或(‎ 也可写成()。‎ 特别的:当时,()。‎ 当时,()。‎ 当时,()。‎ 注意:1、函数,图像与方程解之间的关系。‎ ‎2、单位圆和三角函数线与方程解之间的关系。‎ 练习:口答下列方程的解 ‎(1);(2);(3);(4)。‎ ‎2、方程的解集 ‎[例2] 求三角方程的解集。‎ 解:在区间上,满足的或,‎ 而是周期为的函数,则(),‎ 则方程的解集为。‎ 归纳方程的解:‎ ‎(i)当时,方程无解;‎ ‎(ii)当时,()。‎ 特别的:当时,()。‎ 当时,()。‎ 当时,()。‎ 练习:口答下列方程的解 ‎(1);(2);(3);(4)。‎ ‎3、方程的解集 ‎[例3] 求解方程的解集,并总结一般的三角方程的一般解集。‎ 解:在区间上,满足的,‎ 而是周期为的函数,则(),‎ 则方程的解集为。‎ 归纳方程的解:()‎ 练习:口答下列方程的解 ‎(1);(2);(3)。‎ ‎[例4] 求下列方程的解集:‎ ‎(1) 解:()‎ 变式:若呢? 解:。‎ ‎(2) 解:()‎ ‎(3) 解:,则()。‎ ‎(4),且为锐角 解:,则(),‎ 则 ‎(5)‎ 解:或,则或()。‎ 变式:‎ 解:,则(舍)或,则()。‎ 点评:(1)以上的方程都可以转化为最简三角方程求解;‎ ‎(2)一定要掌握最简三角方程的一般解集 课堂小结:‎ ‎1、数学知识:最简三角方程及其解集。‎ ‎2、数学思想方法:数形结合。‎ 作业:《课本》P.112-6.5(1),P.113- 6.5(2),《练习册》P.46-A组-2、3、4[]‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com 课 题:6.5-最简三角方程 第2课时:‎ 教学目标:‎ 1. 进一步掌握解三角方程的方法集,能利用最简三角方程解决简单的三角问题。‎ 2. 通过解三角方程,进一步理解三角函数及反三角函数。‎ 3. 进一步提高三角变换能力。‎ 教学重点:解三角方程 教学难点:解三角方程 教学过程:‎ 一、最简三角方程:‎ 1、 若sinx=,则x=2kπ+arcsin或x=2kπ+π-arcsin,k∈Z 2、 若cosx=-,则x=2kπ±(π-arccos),k∈Z 3、 若tanx=-2,则x=kπ-arctan2),k∈Z 二、形如sinf(x)=a的方程,其中-1≤a≤1‎ 4、 解:,得2x-=2kπ+,则x=kπ+,k∈Z[来 5、 解:,得x-=kπ-,则x=kπ+,k∈Z 三、形如f(sinx)=a的方程 6、 解:,得,解得或,‎ 则或,。‎ 7、 解:解得或(舍),则,。‎ 8、 解:或,。‎ 四、形如asinx+bcosx=c(c≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程 1、 解:得,则,‎ 2、 解:,则,‎ 五、关于sinx、cosx的奇次的方程 3、 解1:得,则,。‎ 解2:同除以得,则,。‎ 4、 ‎ ——转化为只含tanx的三角方程 解1:同除以得 得或,则或,‎ 解2:,则,‎ 则或,得或,‎ 则或,。‎ 点评:关于、的奇次方程, ‎ 六、两边同名的三角方程 5、 解:或,则或,。‎ 点评:,则或();‎ ‎,则();‎ ‎,则或()。‎ 七、其它类型方程]‎ 6、 解:,则,而,则,则()。‎ 例2:当为何值时,方程有实数解?‎ 解:,则时方程有解,则。‎ 例3:若方程有实数解,求实数的取值范围。‎ 解:,令,则,,则。‎ 点评:方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域 例4:方程[‎ ‎(1)若方程有解,求实数m的值;‎ ‎(2)讨论方程在区间上解的个数;‎ ‎(3)当时,方程有两个不同的解,求实数m的范围。‎ O x y 解:(1),则;‎ ‎(2),‎ 则时,一个解;‎ 时,三个解;‎ ‎,两个解 ‎(3),当时方程有两解。‎ 思考:的值?‎ 解:令,关于t的方程,关于对称,则,‎ 即,则。‎ 点评:讨论三角方程解的个数,要数形结合。‎ 课堂小结:‎ ‎1、数学知识:不同类型的三角方程及其解法。‎ ‎2、数学思想方法:三角变换。‎ 作业:《练习册》P.47- B组,《一课一练》P.70,P.71‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com