2020年高中数学第二章平面向量基本定理 6页

‎2.3.1‎‎ 平面向量基本定理 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是(　　)‎ A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1‎ C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2‎ 解析：∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，‎ ‎∴e1－2e2与4e2－2e1共线，故不能作为基底．‎ 其余三组均不共线．‎ 答案：C ‎2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是(　　)‎ A．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 C．若有实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0‎ D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2不一定存在 解析：选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1，e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1，λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．‎ 答案：C ‎3．四边形OABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b B.－b C．b＋ D．b－a 解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选 D.‎ 答案：D ‎4．若P为△OAB的边AB上一点，且△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，则有(　　)‎ A.＝＋2 B.＝2 ＋ C.＝＋ D.＝＋ 解析：因为△OAP的面积与△OAB的面积之比为1∶3，所以＝，所以－＝(－)，所以 6‎ ＝＋.‎ 答案：C ‎5．已知||＝2，||＝，∠AOB＝120°，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图，过点C作CM∥OB，CN∥OA，‎ 则＝＋，设||＝x，则||＝2x，‎ ＝2x·＋x·＝x＋x，‎ 所以m＝x，n＝，所以＝＝.‎ 答案：B ‎6．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为________．‎ 解析：如图，＝a，＝b，＝a－b，‎ 因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以OA＝OB＝AB，‎ 所以a与b的夹角为∠AOB＝60°.‎ 答案：60°‎ ‎7.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和 BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，‎ 则λ＋μ＝________.‎ 解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，‎ ＝a＋b，得a＝(2 －)，b＝(2 －)，又因为＝a＋b，‎ 所以＝(＋)，即λ＝μ＝，‎ 所以λ＋μ＝.‎ 6‎ 答案： ‎8．如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、‎ CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，‎ 用a，b表示＝________.‎ 解析：＝－＝＋－＝a＋b－＝a＋b－×＝a＋b－(a－b)＝a＋b.‎ 答案：a＋b ‎9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，‎ 且＝，＝，＝，若＝a，‎ ＝b，试用a，b将，，表示出来．‎ 解析：＝－＝－＝a－b，‎ ＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，‎ ＝－＝－(＋)＝(a＋b)．‎ ‎10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.‎ ‎(1)求△ABM与△ABC的面积之比；‎ ‎(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．‎ 解析：(1)由＝＋可知M，B，C三点共线，‎ 如图，令＝λ⇒＝＋＝＋λ＝‎ ＋λ(－)＝(1－λ)＋λ⇒λ＝，所以＝，‎ 即面积之比为1∶4.‎ ‎(2)由＝x＋y⇒＝x＋，＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒⇒ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，‎ AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，‎ 6‎ 则λ，μ的值分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， 解析：＝＝(＋)，‎ 因为AH⊥BC，∠ABC＝60°，‎ 所以BH＝1，所以BH＝BC，‎ 故＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋，‎ 故λ＝，μ＝.‎ 答案：B ‎2．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝(　　)‎ A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b C．λa＋b D.a＋b 解析：因为＝＋＝＋λ ‎＝＋λ(－)＝＋λ－λ，‎ 所以(1＋λ)＝＋λ，‎ 所以＝＋＝a＋ B.‎ 答案：D ‎3．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为(　　)‎ A．150° B．120°‎ C．60° D．30°‎ 解析：∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c，‎ ‎∴如图所示就是符合题设条件的向量，‎ 易知OACB是菱形，△OBC和△OAC 都是等边三角形．‎ ‎∴a与b的夹角为120°.‎ 答案：B 6‎ ‎4．已知e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，且＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，如果A，B，D三点共线，则k的值为________．‎ 解析：＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以解得k＝－8.‎ 答案：－8‎ ‎5．如图所示，PQ过△AOB的重心G，设＝a，‎ ＝b，＝ma，＝nb.求证：＋＝3.‎ 解析：连接OG并延长，交AB于M(图略)，‎ 则M是AB的中点，由G为△OAB的重心得：‎ ＝＝×(＋)＝(a＋b)，‎ ＝－＝(a＋b)－ma ‎＝a＋b，‎ ＝－＝(a＋b)－nb，‎ ‎＝a＋b.‎ ‎∵P，G，Q三点共线，‎ ‎∴＝λ，‎ 即a＋b＝a＋λb.‎ ‎∵a，b不共线，∴由平面向量基本定理得：‎ ⇒m＋n＝3mn，∴＋＝3.‎ ‎6．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB 及线段AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，‎ 且＝x＋y.‎ ‎(1)求x的取值范围；‎ ‎(2)当x＝－时，求y的取值范围．‎ 解析：(1)因为＝x＋y，以OB和OA 6‎ 的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(－∞，0)．‎ ‎(2)如图所示，当x＝－时，在OA的反向延长线取点C，‎ 使OC＝OA，过C作CE∥OB，分别交OM和AB的 延长线于点D，E，则CD＝OB，CE＝OB，‎ 要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，‎ 当点P在点D处时＝－＋，‎ 当点P在点E处时＝－＋，‎ 所以y的取值范围是.‎ 6‎