四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一12月月考数学试卷 7页

三台中学实验学校2019级高一12月月考数学试题 ‎ （满分：100分，考试时间：100分钟）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）‎ 1. 已知1,,,则 A. B. C. 1, D. 1,2,‎ 2. 幂函数的图象过点,则 A. B. 4 C. D. ‎ 3. 已知函数,则函数的零点所在区间为 A. B. C. D. ‎ 4. 已知,,,则,,的大小关系为 A. B. C. D. ‎ 第5题图 5. 如图,在扇形中半径,弦长,则该扇形的面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若,则 A. B. C. D. ‎ 7. 定义在R上的奇函数在上单调递增,且,则不等式的解集是 A. B. C. D. ‎ 8. 已知满足,,则 A. B. ‎ C. D. ‎ 9. 已知函数,则下列说法正确的是 A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 ‎ C.的图象关于点对称 D. 的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象 1. 已知定义在上的函数对于任意的实数都满足,且当 时,,则 A. B. 4 C. D. ‎ ‎11. 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数若存在,使 成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）‎ ‎13. 在平面直角坐标系中,已知一个角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则 ．‎ ‎14. 函数的定义域是 ．‎ ‎15. 已知函数为定义在R上的奇函数,且当时,,则 等于 ．‎ ‎16. 已知函数则函数的零点个数为 ．‎ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 设集合，．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若不存在元素使∈与∈同时成立，求实数的取值范围．‎ ‎18. 某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数随时刻时变化的规律满足表达式,其中a为空气治理调节参数,且．‎ ‎（1）令,求x的取值范围；‎ ‎（2）若规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．‎ ‎19. 已知函数, ．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）若把向右平移个单位得到函数,求在区间上的最小值和最大值．‎ ‎20. 已知奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数在其定义域上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.‎ 三台中学实验学校2019级高一12月月考数学答案 ‎1.【答案】D ‎【解析】解：2, ,1,, 1,2,.故选：D． 2. 【答案】B ‎【解析】解：设,的图象过点,,则,‎ 则,．故选B．‎ ‎3. 【答案】B ‎【解析】解：函数在上是连续的,且函数在上为增函数,故函数在上至多有一个零点,‎ 又由,,故函数的零点所在的区间是,故选：B．‎ ‎4. 【答案】C ‎【解析】解：由于,,, 即, 故选：C．‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】解：扇形AOB中,半径,弦长,,‎ 该扇形的面积为．故选：B．‎ ‎6. 【答案】B ‎【解析】解：,则, 故选B． 7. 【答案】C ‎【解析】解：根据题意,函数是定义在R上的奇函数,则.‎ 由在上单调递增,且,则在上,,在上,, 又由函数为奇函数,则在上,,在上,, 若,则有或, 即的解集是.故选：C．‎ ‎8. 【答案】D ‎【解析】解：满足,,则,且, 则 ‎, ． 故选：D．‎ ‎9. 【答案】B ‎【解析】解：最小正周期为,A错误；由,B正确；由,C错误；,不为偶函数,故D错误．故选B．‎ ‎10.【答案】A ‎【解析】解：定义在R上的函数对于任意的实数都满足,‎ ‎ , 当时,, ‎ ‎ ．故选：A．‎ ‎11.【答案】A ‎【解析】解：设太阳的星等是,天狼星的星等是, 由题意可得：,,则．故选A．‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】解：当时，，‎ 当时，‎ 若，则恒成立，满足条件；‎ 若，则，若存在,使成立，则，即； ‎ 若，则，满足条件；‎ 综上可得：； 故选：B．‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】解：一个角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,,,则. 14.【答案】‎ ‎【解答】解：由得, 故定义域为. ‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解答】解：函数为R上的奇函数,,. ．‎ ‎16. 【答案】4‎ ‎【解析】解：令, 当时,,解得,, 当时,,解得, 综上解得,,, 令, 作出图象如图所示：当无解,‎ 有3个解,有1个解,综上所述函数的零点个数为4. ‎ ‎17.【解答】　‎ ‎（1）, ——1分 当时， ——2分 ‎∴. ——3分 ‎（2）∵，，‎ 若不存在元素使∈与∈同时成立，即.‎ ‎∴当，即，得时，符合题意； ——5分 当，即，得时，‎ 或解得. ——9分 综上，所求的取值范围是． ——10分 ‎18.【解答】‎ 解：（1）由题意,,则,． 故x的取值范围为． ——3分 ‎（2）由（1）知：, 可设,,． ——4分 则． ——5分 根据一次函数的单调性,很明显在上单调递减,在上单调递增． ． ,,即,解得． ——9分 的取值范围为： ——10分 ‎19.【解答】‎ 解：（1）. ——3分 由，可得的最小正周期为. ——4分 ‎（2）令,,得,, 可得函数的单调增区间为,； ——6分 ‎（3）若把函数的图象向右平移个单位得到函数 的图象, ——8分 ,,． 故在区间上的最小值为,最大值为1． ——10分 ‎20.【解答】‎ 解：（1）若为奇函数，则,解得. ——1分 ‎（2）是R上的增函数． ——2分 证明：任取,则, ,且,,‎ 即,函数是R上的增函数． ——5分 （3）若对所有的恒成立，‎ 是奇函数，对所有的恒成立.‎ 是R上的增函数，对所有的恒成立. ——7分 即对所有的恒成立.‎ 方法1：即对所有的恒成立. ——8分 ‎.‎ ‎,解得. ——10分 方法2：即对所有的恒成立.‎ 当时，则，即.‎ 当时，则.‎ 设,则,则.‎ 由得.‎ 所以.‎