2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03（人教A版）（文） 13页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03（人教A版）（文）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：人教A版必修5全册+选修1-1第一章 一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知命题：，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为命题：，‎ 所以为，，‎ 故选A ‎2．关于x的不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式可化为，有，‎ 故不等式的解集为.‎ 故选B ‎3．设是非零实数，则“”是“成等差数列”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若依次成等差数列，则一定成立，‎ 所以必要性成立，‎ 若，满足，但不成等差数列，‎ 即充分性不成立，‎ 所以“”是“成等差数列”的必要不充分条件，‎ 故选B ‎4．在中，，则此三角形解的情况是（ ）‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以有两解.‎ 故选B.‎ ‎5．已知等比数列，，是方程的两实根，则等于（ ）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，是方程的两实根，‎ 由根与系数的关系可得 ，，可知，‎ 因为是等比数列，所以，‎ 因为 ，所以，‎ 所以，‎ 故选 ‎6．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示，‎ 由，得，‎ 作出直线，即直线，‎ 将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，‎ 由，得，即，‎ 所以的最小值为，‎ 故选D ‎7．在中，三边上的高依次为，，，则为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 ‎【答案】C ‎【解析】设的内角,,所对的边分别为,,,,,分别为边,,上的高.‎ 因为,‎ 所以可设,,.‎ 由余弦定理,得,‎ 则,‎ 所以为钝角三角形,‎ 故选C.‎ ‎8．已知数列满足，，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知得，，，‎ ‎，，‎ 可以判断出数列是以4为周期的数列，故，‎ 故选D.‎ ‎9．在△中，M为BC上一点，，则△的面积的最大值为（ ）‎ A． B． C．12 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，可得如下示意图 令，，又，即有 ‎∴由余弦定理知：‎ ‎，当且仅当时等号成立 ‎∴有 ‎∴‎ 故选A ‎10．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．‎ 故选B．‎ ‎11．在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由和余弦定理得，又，.‎ 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得，‎ ‎，‎ ‎，即，所以，，‎ 则，因此，的取值范围是.‎ 故选A.‎ ‎12．已知数列满足，，，且，记为数列的前项和，则（ ）‎ A．1 B． C． D．-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ ‎，‎ 数列是等差数列，公差与首项都为1，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选C.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由及正弦定理，‎ 得，‎ 即，因为，，‎ 所以 故填 ‎14．已知数列的前n项和为，，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，‎ 令，则，即，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故填29‎ ‎15．若正实数满足，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】6；‎ ‎【解析】因为，所以，即，‎ 所以，‎ 所以，当且仅当，即时取等号，‎ 所以的最小值为6‎ 故填6‎ ‎16．给出以下四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②已知直线与函数，的图像分别交于点，则的最大值为；‎ ‎③若数列为单调递增数列，则取值范围是；‎ ‎④已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12.‎ 其中正确命题的序号为__________.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】①由，得或，∴，，或，，，，或，‎ ‎.‎ ‎②把带入和，‎ 得.则的最大值为；‎ ‎③若数列为单调递增数列，‎ 则恒成立，恒成立，得.‎ ‎④由知：，，，，，，，，，，，‎ ‎，，‎ 则使的n的最小值为11.‎ 故填①②‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知不等式的解集为.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）解关于的不等式：（为常数，且）.‎ ‎【解析】（1）不等式的解集为，‎ 因为不等式的解集为，‎ 所以，.‎ ‎（2）由（1）可知：不等式为，‎ 为常数，且，‎ 当时解集为或；‎ 当时解集为或.‎ ‎18．已知 ，：关于的方程有实数根.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】（1） 方程有实数根，得：得；‎ ‎（2）为真命题，为真命题 ‎ 为真命题，为假命题，即得.‎ ‎19．设是等比数列，其前项的和为，且，. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）设的公比为q，因为，所以，所以，‎ 又，所以，所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由，得，即，解得，‎ 所以n的最小值为6.‎ ‎20．如图．在中，点P在边上，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，求．‎ ‎【解析】（1）在中，设， 因为，‎ ‎，又因为，，‎ 由余弦定理得：‎ 即：，‎ 解得，所以，‎ 此时为等边三角形，‎ 所以；‎ ‎（2）由，‎ 解得，则，‎ 作交于D，如图所示：‎ 由（1）知，在等边中，，，‎ 在中．‎ 在中，由正弦定理得，‎ 所以．‎ ‎21．已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值.‎ ‎【解析】（1）时，，‎ 当时 ‎ 也符合上式，所以，‎ 又和，得，或.‎ ‎∵∴.‎ ‎∴， ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ 而随着的增大而增大，所以 故有最大值为.‎ ‎22．如图,某大型景区有两条直线型观光路线，, ,点位于的平分线上，且与顶点相距1公里.现准备过点安装一直线型隔离网(分别在和上)，围出三角形区域 ‎，且和都不超过5公里.设，(单位：公里).‎ ‎（1）求的关系式；‎ ‎（2）景区需要对两个三角形区域，进行绿化.经测算，区城每平方公里的绿化费用是区域的两倍，试确定的值,使得所需的总费用最少.‎ ‎【解析】（1）解法一：由题意得，‎ 故，‎ 即，‎ 所以 (其中). ‎ 解法二：在中，由余弦定理得：，‎ 则，同理可得，‎ 在中，由正弦定理得：，‎ 在中，由正弦定理得：，‎ 因为，两式相除可得，‎ 化简得 (其中，).‎ ‎（2）设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，‎ 则有，‎ 记，由(Ⅰ)可知，即，‎ 则，‎ 当且仅当，即解得此时等号成立.‎ 答：当， (单位：公里)时,所需的总费用最少.‎