福建省福州市四校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题 Word版含答案 11页

福州市四校联盟2019－2020学年第二学期期末联考 高二数学试卷 ‎（完卷时间：120分钟；满分：150分）‎ 命题：文笔中学高二数学集备组 审核：元洪中学高二数学集备组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 已知集合，，则 A． B． C． D．‎ 2. 函数的定义域为 A． B． C． D．‎ 3. 命题“”的否定为 A． B． C． D．‎ 4. 设，满足约束条件则的最大值为 A． B． C． D．‎ 5. 某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为 A． B． C． D．‎ 6. 已知，，，则 A． B． C． D．‎ 1. 函数的部分图象大致为 A．B．C．D．‎ 2. 若函数为增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．‎ 3. 的充分不必要条件是 A． B． C． D．‎ 4. 下列说法正确的有 A．已知随机变量服从正态分布，若，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．设随机变量，则等于 D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为 5. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A． B． C． D．‎ 6. 已知函数，则下列结论中错误的是 A．的定义域是 B．函数是偶函数 C．在区间上是减函数 D．的图象关于直线对称 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ 1. 已知函数，则　　　　．‎ 2. 有位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物门活动课，要求每位同学各选一门报名（相互独立），则地理学科恰有人报名的方案有　　　　种.‎ 3. 已知二项式的各项系数和为243，则　　，展开式中常数项为　　　　．‎ 4. 已知定义域为的偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断： ①； ②在上是减函数； ③函数没有最小值； ④函数在处取得最大值； ⑤的图象关于直线对称． 其中正确的序号是________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知中，且.‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．‎ ‎（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO‎2‎浓度（单位：），得下表：‎ SO‎2‎ PM2.5‎ ‎[0,50]‎ ‎(50,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎[0,35]‎ ‎32‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎(35,75]‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎(75,115]‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；‎ ‎（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：‎ SO‎2‎ PM2.5‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎[0,75]‎ ‎(75,115]‎ ‎（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5和SO‎2‎浓度有关？‎ 附：.‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知二次函数.‎ ‎（1）若对于恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若，当时，若的最大值为2，求的值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3 000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1 000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布方图如图.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）在，，三组中利用分层抽样抽取人，并从抽取的人中随机选出人，对其消费情况进行进一步分析.‎ ‎①求每组恰好各被选出人的概率；‎ ‎②设为选出的人中这一组的人数，求随机变量的分布列．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：‎ 科技投入 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 收益 ‎5.6‎ ‎6.5‎ ‎12.0‎ ‎27.5‎ ‎80.0‎ ‎129.2‎ 并根据数据绘制散点图如图所示：‎ 根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表：‎ ‎43.5‎ ‎4.5‎ ‎854.0‎ ‎34.7‎ ‎12730.4‎ ‎70‎ 其中，.‎ ‎（1）（i）请根据表中数据，建立关于的回归方程（保留一位小数）；‎ ‎（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中）‎ ‎（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好.‎ 附：对于一组数据,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,，相关指数：.‎ 福州市四校联盟2019－2020学年第二学期期末联考 高二数学参考答案及评分细则 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C D A C B C A A CD AD ABD ACD 二、填空题 ‎13、6 14、54 15、 5 80 16、 ①②④‎ 三、解答题 ‎17、【详解】（1）因为，，‎ 依题意得：， ……………3分 所以，得.……………5分 ‎（2）‎ 令得：.①……………7分 令得：.②……………9分 由①—②得：，‎ 即.……………10分 ‎18、解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A，则事件为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为和．‎ 则，，……………3分 ‎∴至少一种产品研发成功的概率为．……………4分 ‎（2）由题可设该公司可获得利润为，则的取值有0，120＋0，100＋0，120＋100，‎ 即＝0，120，100，220，……………6分 且：；；……………8分 ‎；；……………10分 ‎∴的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎120‎ ‎100‎ ‎220‎ 则数学期望:．12分 ‎19、解：（1）设“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO‎2‎浓度不超过150”为事件A，则nA=32+18+6+8=64,P(A)=0.64……………2分 ‎(2) 根据所给数据，完成下面的2×2列联表：‎ SO‎2‎ PM2.5‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ ‎[0,75]‎ ‎64‎ ‎16‎ ‎(75,115]‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎……………6分，每空1分 ‎（3）可将（2）中2×2列联表补全如下：‎ SO‎2‎ PM2.5‎ ‎[0,150]‎ ‎(150,475]‎ 总 ‎[0,75]‎ ‎64‎ ‎16‎ ‎80‎ ‎(75,115]‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 总 ‎74‎ ‎26‎ ‎100‎ ‎……………8分 K‎2‎的观测值：‎ ‎=‎100‎‎（64×10-16×10）‎‎2‎‎74×26×80×20‎‎≈‎7.484……………10分 由于7.484>6.635‎ 故有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5和SO‎2‎浓度有关……………12分 ‎20、解：（1）对于恒成立，‎ 即对于恒成立，‎ ‎∴，……………3分 解得；……………4分 ‎（2）若，二次函数开口向下，对称轴，‎ 在时，的最大值为2，……………5分 当，即时，，解得；…………7分 当，即时，， ‎ 解得（舍）或（舍）；………9分 当，即时，，解得（舍）；……………11分 综上所述，的值为1，即.……………12分 ‎21、【详解】解（Ⅰ）由题意，得，解得.……………4分 ‎（Ⅱ）按照分层抽样，，，三组抽取人数分别为，，. ‎ ‎（ⅰ）每组恰好各被选出人的概率为.……………6分 ‎（ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3.‎ ‎，，……………8分 ‎，，……………10分 则的分布列为 ‎……………12分 ‎22、【详解】‎ ‎（1）（i），……………1分 令；‎ 令，则.‎ 根据最小二乘估计可知：……………3分 从而，故回归方程为，即.……4分 ‎（ii）设，解得，即 故科技投入的费用至少要13.2百万元，下一年的收益才能达到2亿. ……………6分 ‎（2）甲建立的回归模型的残差：‎ ‎5.6‎ ‎6.5‎ ‎12.0‎ ‎27.5‎ ‎80.0‎ ‎129.2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎64‎ ‎128‎ ‎1.6‎ ‎-1.5‎ ‎-4‎ ‎-4.5‎ ‎16‎ ‎1.2‎ ‎……………9分 则，从而，………11分 即甲建立的回归模型拟合效果更好. ……………12分