【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】 8页

‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. 若集合A={1, 2}‎，N={1, 2, 3}‎，则满足A∪X=N的集合X的个数为（ ） ‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎ ‎ ‎2. 已知i为虚数单位，复数z满足iz=2z+1‎，则z=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎-‎2‎‎5‎-‎1‎‎5‎i B.‎2‎‎5‎‎+‎1‎‎5‎i C.‎2+i D.‎‎2-i ‎ ‎ ‎3. 给定函数①y=‎x‎1‎‎2‎，②y=log‎1‎‎2‎(x+1)‎，③y=|x-1|‎，④y=‎‎2‎x+1‎，其中在区间‎(0, 1)‎上单调递减的函数序号是（ ） ‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎ ‎ ‎4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝‎3‎，则输入k的值为（ ） ‎ A.‎10‎ B.‎11‎ C.‎12‎ D.‎‎13‎ ‎ ‎ ‎5. 已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的两条渐近线与圆O:x‎2‎+‎y‎2‎＝‎5‎交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为‎8‎，则双曲线C的渐近线方程为（ ） ‎ A.y＝‎±‎1‎‎4‎x B.y＝‎±‎1‎‎2‎x C.y＝‎±‎2‎‎2‎x D.y＝‎‎±‎2‎‎4‎x ‎ ‎ ‎6. 设函数f(x)‎＝cosx+bsinx（b为常数），则“b＝‎0‎”是“f(x)‎为偶函数”的（ ） ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎7. 计算‎(lg2‎)‎‎2‎+lg20×lg5‎的结果是（ ） ‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.lg2‎ D.‎lg5‎ ‎ ‎ ‎8. 如图为一半径是‎4‎米的水轮，水轮圆心O距离水面‎1‎米，已知水轮每分钟旋转‎5‎圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y＝Asin(ωx+φ)+1‎，则（ ） ‎ A.ω=π‎6‎,A=4‎ B.ω=‎2π‎15‎,A=3‎ C.ω=π‎6‎,A=5‎ D.‎ω=‎2π‎15‎,A=4‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎9. 已知平面向量a‎→‎‎=(2, 1)‎，b‎→‎‎=(-1, 3)‎．若向量a‎→‎‎⊥(a‎→‎+λb‎→‎)‎，则实数λ的值是________． ‎ ‎ ‎ ‎10. 在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x‎2‎‎+y‎2‎=1‎上相异的三点，若存在正实数λ，μ，使得OC‎→‎‎=λOA‎→‎+μOB‎→‎，则λ‎2‎‎+‎μ-3‎‎2‎的取值范围是________． ‎ ‎ ‎ ‎11. （广西柳州高级中学‎2‎月模拟）已知抛物线T:y‎2‎=2pxp>0‎的准线被圆C:x‎2‎+y‎2‎-4y-4=0‎截得的弦长为‎4‎，则抛物线T的方程为________. ‎ ‎ ‎ ‎12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________. ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 已知两个平面垂直，下列命题： ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面． 其中正确的个数是________． ‎ ‎ ‎ ‎14. 若x，y满足约束条件x-1≥0，‎x-y≤0，‎x+y-4≤0，‎则yx的最大值为________． ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎15. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足‎3‎‎(a‎2‎+c‎2‎-b‎2‎)+2bcsinA=0‎． ‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎ ‎ ‎（2）求sinC-sinA的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎16. 已知等差数列an中a‎3‎‎=5‎，a‎6‎‎=11‎. ‎ ‎(1)‎求数列an的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若数列an的前k项和Sk‎=49‎，求k的值.‎ ‎ ‎ ‎17. 郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车，为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的‎45‎名候车乘客中随机抽取‎15‎人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成‎6‎组，如下表所示： ‎ 组别 一 ‎ 二 三 ‎ 四 ‎ 五 ‎ 六 ‎ 候车时间 ‎[0, 4)‎ ‎[4, 8)‎ ‎[8, 12)‎ ‎[12, 16)‎ ‎[16, 20)‎ ‎[20, 24)‎ 人数 ‎ ‎‎2‎ ‎4‎‎ ‎ ‎ ‎‎3‎ ‎ ‎‎3‎ ‎ ‎‎2‎ ‎ ‎‎1‎ ‎ ‎ ‎（1）估计这‎45‎名乘客中候车时间少于‎12‎分钟的人数；‎ ‎ ‎ ‎（2）若从上表第四、五组的‎5‎人中随机抽取‎2‎人做进一步的问卷调查，求抽到的‎2‎人恰好来自不同组的概率．‎ ‎ ‎ ‎18. 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF // CD，CD⊥EA，CD＝‎2EF＝‎2‎，ED=‎‎3‎．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N． ‎(‎Ⅰ‎)‎求证：ED⊥CD； ‎(‎Ⅱ‎)‎求证：AD // MN； ‎(‎Ⅲ‎)‎若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由． ‎ ‎ ‎ ‎19. 如图，点A(-a, 0)‎，B(‎2‎‎3‎, ‎4‎‎3‎)‎是椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上的两点，直线AB与y轴交于点C(0, 1)‎． ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎ ‎ ‎（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q两点，求‎|PQ|‎的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20. 已知函数f(x)‎＝axsinx+bcosx，且曲线y＝f(x)‎与直线y=‎π‎2‎相切于点‎(π‎2‎,π‎2‎)‎， ‎ ‎（1）求f(x)‎；‎ ‎ ‎ ‎（2）若f(x)≤mx‎2‎+1‎，求实数m的取值范围．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】‎ 一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ） ‎ ‎1.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：A∪X=N； ∴ X={3}‎，‎{1, 3}‎，‎{2, 3}‎或‎{1, 2, 3}‎； ∴ 集合X的个数是‎4‎． 故选D．‎ ‎2.【答案】‎ A ‎【解答】‎ i为虚数单位，复数z满足iz=2z+1‎， 则z=‎1‎i-2‎=i+2‎i‎2‎‎-2‎‎2‎=-‎2‎‎5‎-‎1‎‎5‎i．‎ ‎3.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：①是幂函数，其在‎(0, +∞)‎上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求； ②中的函数是由函数y=log‎1‎‎2‎x向左平移‎1‎个单位长度得到的，因为原函数在‎(0, +∞)‎内为减函数，故此项符合要求； ③中的函数图象是由函数y=x-1‎的图象保留x轴上方，即在‎(1, +∞)‎上为增函数，下方图象翻折到x轴上方而得到的，即在‎(-∞, 1)‎上为减函数，故由其图象可知该项符合要求； ④中的函数图象为指数函数，因其底数大于‎1‎，故其在R上单调递增，不合题意． 故选B.‎ ‎4.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 模拟程序的运行，可得： n＝‎1‎，S＝k， 满足条件n<4‎，执行循环体，n＝‎2‎，S=‎k‎2‎， 满足条件n<4‎，执行循环体，n＝‎3‎，S=‎k‎3‎， 满足条件n<4‎，执行循环体，n＝‎4‎，S=‎k‎4‎， 此时，不满足条件n<4‎，退出循环，输出S的值为k‎4‎， 由题意可得k‎4‎‎=3‎，解得k＝‎12‎，‎ ‎5.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x‎2‎‎+‎y‎2‎＝‎5‎， 双曲线的两条渐近线方程为y＝‎±bax，设A(x, bax)‎， ∵ 四边形MNPQ的面积为‎8‎，∴ ‎4x⋅bax＝‎8‎， ∴ x‎2‎＝‎2‎ab， 将A(x, bax)‎代入x‎2‎‎+‎y‎2‎＝‎5‎，可得x‎2‎‎+b‎2‎a‎2‎x‎2‎=5‎，∴ ‎2ab‎+‎2ba=5‎，a>b>0‎， 解得ba‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎6.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 设函数f(x)‎＝cosx+bsinx（b为常数）， 则“b＝‎0‎”‎⇒‎“f(x)‎为偶函数”， “f(x)‎为偶函数”‎⇒‎“b＝‎0‎”， ∴ 函数f(x)‎＝cosx+bsinx（b为常数）， 则“b＝‎0‎”是“f(x)‎为偶函数”的充分必要条件．‎ ‎7.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 因为‎(lg2‎)‎‎2‎+lg20×lg5‎＝‎(lg2‎)‎‎2‎+(1+lg2)⋅(1-lg2)‎＝‎1‎，‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎8.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 由题意可得：T=‎60‎‎5‎=‎‎2πω，可得ω=‎π‎6‎， 由图象可知：y的最大值为‎5‎，sin(ωx+φ)‎＝‎1‎时取得最大值， ∴ ‎5‎＝A+1‎，解得A＝‎4‎．‎ 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） ‎ ‎9.【答案】‎ ‎-5‎ ‎【解答】‎ 解：∵ a‎→‎‎=(2, 1)‎，b‎→‎‎=(-1, 3)‎， ∴ a‎→‎‎+λb‎→‎=(2, 1)+λ(-1, 3)=(2-λ, 1+3λ)‎， ∵ a‎→‎‎⊥(a‎→‎+λb‎→‎)‎，∴ a‎→‎‎⋅(a‎→‎+λb‎→‎)=0‎， ∴ ‎2(2-λ)+(1+3λ)=0‎， 解得λ=-5‎， 故答案为：‎-5‎．‎ ‎10.【答案】‎ ‎(2,+∞)‎ ‎【解答】‎ 设OA‎→‎‎=(cosα,sinα)‎，OB‎→‎‎=(cosθ,sinθ)‎，‎(λcosα+μcosθ‎)‎‎2‎+(λsinα+μsinθ‎)‎‎2‎=1⇒λ‎2‎+μ‎2‎+2λμcos(θ-α)=1‎． ∵ cosθ-α∈‎‎-1,1‎，∴ λ‎2‎‎+μ‎2‎-2λμ<1<λ‎2‎+μ‎2‎+2λμ， ∴ ‎|λ-μ|<1‎λ+μ>1‎λ>0,μ>0‎．用线性规划作图解决．‎ ‎11.【答案】‎ y‎2‎‎=8x ‎【解答】‎ 由题得圆的标准方程为x‎2‎‎+y-2‎‎2‎=8‎，则圆心为C‎0,2‎，半径为r=2‎‎2‎，由于抛物线的准线为x=-‎p‎2‎，则圆心C到准线的距离d=‎p‎2‎，则d‎2‎‎+‎4‎‎2‎‎2‎=‎r‎2‎，即p‎2‎‎2‎‎+4=8‎，解得p=4‎（舍负），故抛物线T的方程为y‎2‎‎=8x． 【知识总结】直线与圆相交时，弦长公式为l=2‎r‎2‎‎-‎d‎2‎，其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离． 本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的方程与几何性质．‎ ‎12.【答案】‎ ‎2‎‎3‎ ‎【解答】‎ 解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，高为‎2‎，底面为边长为‎2‎的正三角形， 则该几何体的体积为V=‎1‎‎2‎×2×‎3‎×2=2‎‎3‎. 故答案为：‎2‎‎3‎.‎ ‎13.【答案】‎ ‎2‎ ‎【解答】‎ 解：考察正方体中互相垂直的两个平面：A‎1‎ABB‎1‎，ABCD． 对于①：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中A‎1‎B与AB不垂直； 对于②：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线A‎1‎B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直； 对于③：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面；如图中：A‎1‎B； 对于④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，利用面面垂直的性质，可知垂线必垂直于另一个平面． 故答案为：‎2‎．‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ） ‎ ‎15.【答案】‎ ‎∵ ‎3‎‎(a‎2‎+c‎2‎-b‎2‎)+2bcsinA=0‎． ∴ ‎3‎‎⋅2accosB+2bcsinA＝‎0‎，‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ ∴ ‎3‎‎⋅2accosB+2acsinB＝‎0‎， ∴ ‎3‎cosB+sinB＝‎0‎，可得‎2sin(B+π‎3‎)‎＝‎0‎， ∵ B∈(0, π)‎，B+π‎3‎∈( π‎3‎, ‎4π‎3‎)‎， ∴ B+π‎3‎=π，解得B=‎‎2π‎3‎．‎ ‎∵ B=‎‎2π‎3‎，C=π‎3‎-A ∴ sinC-sinA＝sin(π‎3‎-A)-sinA=‎3‎‎2‎cosA-‎3‎‎2‎sinA=‎3‎cos(A+π‎3‎)‎， 又‎0