安徽省合肥市第六中学2020届高三最后一卷数学（文）试题答案 7页

1 数学（文）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D A D C A D B B A C 1.  21 zz iii  7)1)(43( ； 2. )2,2(},2{  BCAxxBC UU  ； 3. 由 ,1 1 13 2    k k 得 032  kk ，所以 k＝ 3或 0； 4. 由已知得 5 4sin,5 3cos   ，所以 10 2)sin(cos2 2)4cos(   ； 5. 当 x 趋于正无穷时，由函数的增减趋势知舍弃 A、C 选项，又 0)()1,0(  xfx 时， ， 故选择 D 选项； 6. cab  10 ； 7. ,10,15,45 00  CDDBCBDCBCD中， 由正弦定理得 DBC CD BDC BC  sinsin ,所以 )13(10 BC ,又 3103060tan,60 00  BCABACBABCRt 中， ; 8. 执行如图所示的程序框图,当 7n 时， 56s ； 9.解析：对于 A 选项，化工行业招聘 7 万多，应聘人数低于贸易，所以好于计算机; 对于 B 选项，建筑行业招聘人数高于应聘人数；物流行业应聘人数高于招聘人数，所以建 筑行业好于物流；故答案为 B 对于 C，D 选项均无法判断。 10.如图，取右焦点 ,2F 连 2BF ，则 21FBF 为直角三角形， cFF 2|| 21  ， cBF 32|| 2  ， cAB 4||  ，由双曲线定义得， cccaBFBF )2-3(232-42||-|| 12  ，∴ 23  a ce ； ∴答案选 B 11.解析：记“兔子数列”为 na ，则数列 na 每个数被 4 整除后的余数构成一个新的数列  nb 为 1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0, ，可得数列 nb 构成一周期为 6 的数列， 由题意得数列 nc 为 1,1,1,1, 2, 1,1,0,1,1, 2, 1,1,0,1,1, 2, 1,       ， 2 观察数列 nc 可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为 6 的数列， ∴ 142020  cc ，∴答案选 A 12.解析：令 x x xxfxxxf 1212)(',4ln2)(  ，则 )(xf 在 单增单减； ),2 1()2 1,0(  ∴ 32ln)2 1()(  fxf 极小 ，作出草图，函数 )2(2)(  xaaaxxg 表示过点 )0,2( 的直线， ∴两个整数解只能是 1,2.且 0a 3ln23ln2 2 )3()3( )1()1(            aa a fg fg ∴答案选 C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 3; 14. 6 ; 15. 7 3 5 2  ; 16. 8 81 ; 13. x xy 3 2'  ，由 2 13 2  x x ，得 3x （负值舍）； 14. )1,3(3  ba ，所以 0)1(23  k ，∴ 6k ； 15.解析： )cos32(sin BaAb  及正弦定理得， )cos32(sinsinsin BAAB  ),0(,2)3sin(2cos3sin   BBBB ，∴ 6 B ， 在△ACD 内， ACDCDACS ACD  sin2 1 ，所以 4 15sin ACD ， 由余弦定理可得， 4 ADAC ,∴ 8 15sin A ，在△ABC 内， ，15,sinsin  BCA BC B AC 由余弦定理， BBCABBCABAC cos2222  ∴ 2 31521516 2  ABAB ，解得 2 537  cAB 16.解析：外接球半径 R 为 2 9 ，在底面三角形 ABC 内，设 AB=a，由题中条件结合正、余弦 定理可得，底面外接圆半径 r 为 a，三棱锥的高为 PA= 2 4 812 a ， 3 ∴三棱锥体积为 22 4 81 6 330sin2 1 3 1 aaPAACABV   ，则 3 2 3 222 2222 4 81)3 )4 81(2 1 2 1 (3 1)4 81(2 1 2 1 3 1    aaa aaaV ，∴ 8 81V ，当且仅当 2 63a 时取等号。（令 2-4 81 at  换元构造三次函数，利用导数也可解决）故答案为 8 81 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 解:（1）从条形图中可知这 200 人中，有 112 名学生成绩等级为 ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为 B 的概率为， 25 14 200 112  则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有 89625 141600  .......................................4 分 （2）这 200 名学生成绩的平均分为 91.3，因为 ，所以该校高三年级目前学生的“考 前心理稳定整体”已过关. .......................................8 分 （3）由题可知用分层抽样的方法抽取 5 个学生样本，其中 D 级 3 个，E 级 2 个，从而任意 选取 2 个学生，共有 10 个基本事件.记事件“至少 1 位学生来自 D 级别”为 F 则事件 F 包含 9 个基本事件，∴ 10 9)( FP . .......................................12 分 18. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由数列 na 是各项均为正数的等比数列 1 1 2 4 1 2 216 n n a q aa a       且 即： 2log , 1n n nb a b n   又 .......................................6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知   11 2n n na b n     则  0 1 2 10 2 1 2 2 2 1 2n nS n           ①  1 2 32 0 2 1 2 2 2 1 2n nS n          ② ①-②得，  2 2 2n nS n   .......................................12 分 19.（本小题满分 12 分 解：（1）证明： ABCD 是矩形， BC AD ， 又 AD  平面 ADEF ， BC 平面 ADEF BC  平面 ADEF ， 4 又 BC  平面 BCEF ，平面 ADEF  平面 BCEF EF BC EF 又 BC  平面 ABCD ， EF  平面 ABCD ， EF 平面 ABCD ........................................6 分 （2）解：设 ,G H 分别是棱 ,BC AD 上的点，且满足GC HD EF  ， 连接 , ,FG FH GH .由第（1）问的证明知，GC HD EF  ， 所以四边形GCEF 和GCDH 为平行四边形. ,GF CE GH CD   ， 又CD CE C  ，平面GHF CDE ，多面体CDE GHF 为三棱柱. 因此，刍甍 ABCDEF 可别分割成四棱锥 F ABGH 和三棱柱 CDE GHF . 由题意知，矩形 ABGH 中， BG BC CG BC   ,EF a b AB c    矩形 ABGH 的面积  ABGHS a b c  ， 又四棱锥 F ABGH 的高，即“点 F 到平面 ABCD 的距离”为 h ， 四棱锥 F ABGH 的体积  1 1 3 3F ABGH ABGHV S h a b ch    ； 三棱柱CDE GHF 的体积可以看成是以矩形 GCDH 为底,以点 F 到平面 ABCD 的距离 h 为高的四棱柱体积的一半. 又矩形GCDH 的面积 ABGHS bc 三棱柱CDE GHF 的体积 1 1 2 2CDE GHF GCDHV S h bch   刍甍 ABCDEF 的体积： F ABGH CDE GHFV V V     1 1 3 2a b ch bch ch    1 23 2 6 a b b a b ch      .刍甍 ABCDEF 体积公式得证 ...................12 分 20.（本小题满分 12 分） 5 解：(1)因为椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为1 2 ，所以c a ＝1 2 ，则 a＝2c. 因为线段 AF 中点 M 的横坐标为 2 2 ，所以a－c 2 ＝ 2 2 . 所以 c＝ 2，则 a2＝8，b2＝a2－c2＝6. )6,0(B 所以 2 26BM ........................................4 分 (2)因为 A(a，0)，F(－c，0)， 所以线段 AF 的中垂线方程为：x＝a－c 2 . 又因为△ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y＝－x 上， 所以 )2,2( cacaC  . 因为 A(a，0)，B(0，b)，所以线段 AB 的中垂线方程为： )2(2 axb aby  . 由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 )22(22 aca b abca  ， 整理得，b(a－c)＋b2＝ac，即(b－c)(a＋b)＝0. 因为 a＋b>0，所以 b＝c. △ABF 外接圆的半径 92)2()2 22 2222  cacaacaCAR （ 6,12 22  ba , 所求椭圆方程： 1612 22  yx ...............12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（1）由   0f x  ，得 ln 1 0x x ax   ( 0)x  . 整理，得 1lna x x    恒成立，即 min 1lna x x       . 令   1lnF x x x   .则   2 2 1 1 1' xF x x x x    . ∴函数  F x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增. 6 ∴函数   1lnF x x x   的最小值为  1 1F  . ∴ 1a  ，即 1a   . ∴ a 的取值范围是 1,  ........................................5 分 （2）由（1），当 1a   时，有 ln 1x x x  ，即 1ln xx x  . 要证  1 lnx e x x e   ，可证， 1x  ， 即证 1 x e xe  ， 1x  .  1 1 x e x x xe   构造函数    1xG x e ex x   . 则  ' xG x e e  . ∵当 1x  时，  ' 0G x  .∴  G x 在 1, 上单调递增. ∴    1 0G x G  在[1, ) 上成立，即 xe ex ，证得 1 x e e x  . ∴当 [1, )x   时，  1 lnx e x x e   成立. 构造函数    2ln 1 sin( 1) 1H x x x x x      . 则   1' 2 cos( 1)H x x xx     x xx x xx )12)(1()12( 2  . ∵当 1x  时，  ' 0H x  ，∴  H x 在 1, 上单调递减. ∴    1 0H x H  ，即 2ln 1 sin( 1) 0( 1)x x x x      .∴当 [1, )x   时， 2ln 1 sin( 1)x x x    成立. 综上，当 [1, )x   时，有   21 ln 1 sin( 1)x e x x x x e       .................................12 分 请考生在第 22-23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分） 解：（1）由 ，得 ， ，即 ， 7 故曲线 的普通方程为 ． ………………………5 分 （2）由 ，当 ，联立 得 ， 因为 与曲线 相切，所以 ， ， 所以 的方程为 ，不妨假设 ，则 ，线段 的中点为 ． 所 以 ， 又 ， 故 以 为 直 径 的 圆 的 直 角 坐 标 方 程 为 ． ………………………10 分 23.（本小题满分 10 分） 解：（1）当 1a  时， ( ) 1 2 1f x x x    ， 当 1 2x   时， ( ) 3f x x  ，此时解 ( ) 3f x  得 1x   ； 当 1 12 x   时， ( ) 2f x x  ，此时解 ( ) 3f x  得无解； 当 1x  时， ( ) 3f x x ，此时解 ( ) 3f x  得 1x  . 综上，不等式 ( ) 3f x  的解集为 | 1 1x x x  或 . ………………………5 分 （2） ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 ( ( 1)( ) 0 )2 2 2 1 ( )2 2 f x x x a ax x a ax x x a a ax x x a ax                          当且仅当 时等号成立 当且仅当 时等号成立 可以知道 2 ax  当 时 ， ( )f x 有最小值 1 2 a ， 由 1 32 a  得 8 4a   或 . ………………………10 分