2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01） 19页

‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a＞4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．‎ 正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎4．（5分）已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（　　）‎ A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或 ‎5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（　　）‎ A．11 B．10 C．8 D．7‎ ‎6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（　　）‎ A．（13，+∞） B．（5，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，13）‎ ‎8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（　　）‎ A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）‎ ‎9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（　　）‎ A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6‎ ‎10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）‎ ‎11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有　 　 个零点．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是　 　．‎ ‎14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是　 　．‎ ‎15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα ‎17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．‎ ‎（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；‎ ‎（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．‎ ‎18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q= 最大？‎ ‎19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．‎ ‎（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值 ‎（2）求点E到平面A1DB的距离．‎ ‎20．（13分）在数列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）‎ ‎（1）当n≥2时，求证：=‎ ‎（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）设g（x）=（a2+）ex（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a＞4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】解：集合A={x||x|≤4，x∈R}={x|﹣4≤x≤4}，‎ B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，‎ 由A⊆B，可得B≠∅，‎ 即有（5﹣4）（﹣4﹣a）≤0且（5+4）（4﹣a）≤0，‎ 解得a≥4，‎ 则则“A⊆B”是“a＞4”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．‎ 正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 考察①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知m ‎⊥n；‎ 考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；‎ 考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面；‎ 考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由m⊥α，得到m⊥γ．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A． B．4 C． D．6‎ ‎【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），‎ 因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：‎ S=．故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（　　）‎ A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或 ‎【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，‎ 则S3+S6=2S9，‎ 若公比q=1，‎ 则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，‎ 即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，‎ 即q≠1，‎ 则=，‎ 即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，‎ 即q3+q6=2q9，‎ 即1+q3=2q6，‎ 即2（q3）2﹣q3﹣1=0，‎ 解得q3=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x1，x2，x3为三个评阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（　　）‎ A．11 B．10 C．8 D．7‎ ‎【解答】解：根据框图的流程，当输入x1=6，x2=9时，不满足|x1﹣x2|=3＜2，‎ 当输入x3＜7.5时，满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x2=x3．输出P==8.5⇒x3=11（舍去）；‎ 当输入x3≥7.5时，不满足|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，则执行x1=x3，输出P==8.5⇒x3=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，‎ 所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．‎ 代入（﹣，0）可得φ的一个值为 ，‎ 故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），‎ 即y=sin2（x+），‎ 所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围为（　　）‎ A．（13，+∞） B．（5，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，13）‎ ‎【解答】解：存在实数x∈[2，4]，使x2﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2﹣2x+5）min．‎ 令f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4‎ ‎∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1‎ ‎∵x∈[2，4]，‎ ‎∴x=2时，f（x）min=f（2）=22﹣2×2+5=5‎ ‎∴m＞5‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（　　）‎ A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）‎ ‎【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数 ‎∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，‎ ‎∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，‎ 又α、β为锐角三角形的两内角，‎ ‎∴α+β＞，‎ ‎∴＞α＞﹣β＞0，‎ ‎∴1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，‎ ‎∴f（sinα）＜f（cosβ），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（　　）‎ A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6‎ ‎【解答】解：如图所示，∵点P满足++=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴．‎ ‎∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AC=1：3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；‎ B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；‎ C、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C正确；‎ D、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D正确．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上）‎ ‎11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是　（﹣∞，0）　．‎ ‎【解答】解：∵命题p：“存在x∈R，使4x+2x+1+m=0”，‎ ‎∴p为真时，m=﹣（2x）2﹣2×2x，存在x∈R成立 ‎∴m的取值范围是：m＜0‎ 又∵非p”是假命题 ‎∴p是真命题 ‎∴m∈（﹣∞，0）‎ 故答案为：（﹣∞，0）‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有　1　 个零点．‎ ‎【解答】解：当a＞3时，由于次二次函数f（x）=x2﹣ax+1，可得f（0）=1＞0，f（2）=5﹣2a＜0，‎ 即f（0）f（2）＜0，‎ 故函数f（x）=x2﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有一个零点，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则，，的大小关系是　＜＜　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，‎ 设g（x）==，‎ g′（x）=，‎ 可得0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，‎ 由0＜a＜b＜c＜1，可得 g（a）＜g（b）＜g（c），‎ 即＜＜．‎ 故答案为：＜＜．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对是　（2，10）　．‎ ‎【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，‎ ‎（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，‎ ‎（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，‎ ‎（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个 ‎…‎ ‎∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，‎ ‎∴第57个数对在第11组之中的第2个数，从而两数之和为12，应为（2，10）；‎ 故答案为：（2，10）．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体积是　2　．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为五面体ABCDEF，‎ 其中面ABCD为等腰梯形，EF∥BC∥AD，‎ EF在平面ABCD上的射影在梯形ABCD的中位线上，‎ 分别过E、F作BC、AD的垂线，把原几何体分割为两个四棱锥及一个三棱柱，‎ 则几何体的体积V=．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣）=．求cosα ‎【解答】解：∵α∈（0，π），∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+‎ m）j，其中i，j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．‎ ‎（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；‎ ‎（2）对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，求x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，则A（3，﹣4），B（6，﹣3），C（5﹣m，﹣3﹣m），‎ ‎∵A，B，C能构成三角形，‎ 则A、B、C三点不共线，‎ 若A、B、C三点共线，则=t⇔（3，1）=t（2﹣m，1﹣m），即，‎ 解得；‎ ‎∴当m≠时，A，B，C能构成三角形；‎ ‎（2）∵=（2﹣m，1﹣m），m∈[1，2]，‎ ‎∴2=（2﹣m）2+（1﹣m）2=2m2﹣6m+5=2（m﹣）2+，其对称轴为m=，‎ 当m∈[1，]时，该函数单调递减，当m∈[，2]时，该函数单调递增，‎ ‎∴当m=1或m=2时，2取得最大值1．‎ ‎∵对任意m∈[1，2]，不等式2≤﹣x2+x+3恒成立，‎ ‎∴﹣x2+x+3≥=1，‎ 即x2﹣x﹣2≤0，‎ 解得：﹣1≤x≤2．‎ ‎∴x的取值范围为[﹣1，2]．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千米/小时）的平方成正比（比例系数k=‎ ‎）．假设所有的列车长度l均为0.4千米，最大速度均为v0（千米/小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q= 最大？‎ ‎【解答】解：因为 ，所以…（4分）‎ ‎≥2=，当且仅当v=40时取等号；‎ 当v0≥40时，Q≤50，所以v=40，Qmax=50…（8分）‎ 当0＜v0＜40时，…（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点．‎ ‎（1）求直线A1E与平面BDD1B1所成的角的正弦值 ‎（2）求点E到平面A1DB的距离．‎ ‎【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，‎ 则D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A1（a，0，a）． …（3分）‎ ‎（1）设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为α．‎ 因为AC⊥平面BDD1B1，所以平面BDD1B1的法向量为，‎ 又．‎ ‎，‎ 所以 s．…（6分）‎ ‎（2）设=（x，y，1）为平面A1DB的法向量，∵，‎ ‎∴x=﹣1，y=1…（8分）‎ ‎∴又…（11分）‎ 即点E到平面A1DB的距离为．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（13分）在数列{an}中，a1=1，an=n2[1+++…+]（n≥2，n∈N）‎ ‎（1）当n≥2时，求证：=‎ ‎（2）求证：（1+）（1+）…（1+）＜4．‎ ‎【解答】（1）证明：当n≥2时，，…（1分）‎ 所以…（4分）‎ 故…（5分）‎ ‎（2）证明：当n≥2时，…（6分）‎ ‎=…（8分）‎ ‎=…（10分）‎ ‎=．…（11分）‎ 当n=1时，…（12分）‎ 综上所述，对任意n∈N*，不等式都成立．…（13分）‎ ‎　‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）•e3﹣x（a∈R）；‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）设g（x）=（a2+）ex（a＞0），若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，求a的取值范围．‎ ‎【解答】．解：（1）f'（x）=﹣[x2+（a﹣2）x﹣3a﹣3]e3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e3﹣x 由﹣a﹣1=3得a=﹣4，‎ 当a=﹣4时，f′（x）=﹣（x﹣3）2e3﹣x≤0，此时函数在（﹣∞，+∞）上为减函数，‎ 当a＜﹣4时，﹣a﹣1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒3＜x＜﹣a﹣1．‎ ‎∴f（x）单调减区间为（﹣∞，3），（﹣a﹣1，+∞），单调增区间为（3，﹣a﹣1）．‎ 当a＞﹣4时，﹣a﹣1＜3，‎ f'（x）＜0⇒x＞3或x＜﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒﹣a﹣1＜x＜3．‎ ‎∴f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1），（3，+∞‎ ‎），单调增区间为（﹣a﹣1，3）．‎ ‎（2）由（1）知，当a＞0时，﹣a﹣1＜0，f（x）在区间[0，3]上的单调递增，‎ 在区间[3，4）]单调递减，而f（0）=﹣（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e﹣1＞0，f（3）=a+6．‎ 那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[﹣（2a+3）e3，a+6]‎ 又g（x）=（a2+）ex（a＞0），在[0，4]上是增函数，对应的值域为G=[a2+，（a2+）e4]，‎ ‎∵a＞0，∴﹣（2a+3）e3＜a+6≤a2+＜（a2+）e4，‎ ‎|f（x1）﹣g（x2）|＜1等价为g（x2）﹣f（x1）＜1‎ 若存在（a＞0），x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）﹣g（x2）|＜1成立，‎ 只需要gmin（x）﹣fmax（x）＜1，‎ ‎∴a2+﹣a﹣6＜1，得4a2﹣4a﹣3＜0，得﹣＜a＜‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴0＜a＜‎ ‎∴a的取值范围为（0，）．‎ ‎　‎