高中数学必修1教案第一章 1_1_1 第1课时集合 8页

‎1．1　集　合 ‎1．1.1　集合的含义与表示 第1课时　集合的含义 ‎[学习目标]　1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．‎ ‎2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．‎ ‎3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．‎ ‎4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．元素与集合的概念 ‎(1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素．‎ ‎(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．‎ ‎(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．‎ ‎(4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．‎ ‎2．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于 集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说 a∉A a不属于 a不属于集合A 集合A ‎3.常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋‎ Z Q R 要点一　集合的基本概念 例1　下列每组对象能否构成一个集合：‎ ‎(1)我们班的所有高个子同学；‎ ‎(2)不超过20的非负数；‎ ‎(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；‎ ‎(4)的近似值的全体．‎ 解　(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(4)不能构成集合．‎ 规律方法　判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．‎ 跟踪演练1　下列所给的对象能构成集合的是________．‎ ‎(1)所有正三角形；‎ ‎(2)必修1课本上的所有难题；‎ ‎(3)比较接近1的正整数全体；‎ ‎(4)某校高一年级的16岁以下的学生．‎ 答案　(1)(4)‎ 解析　(1)能，其中的元素满足三条边相等；(2)不能，“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；(3)不能，“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，其中的元素是“16岁以下的学生”．‎ 要点二　元素与集合的关系 例2　所给下列关系正确的个数是(　　)‎ ‎①－∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－3|∉N*.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　－是实数，是无理数，所以①②正确．N*表示正整数集，所以③和④不正确．‎ 规律方法　1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a∉A”这两种情况中必有一种且只有一种成立．‎ ‎2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．‎ ‎3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．‎ 跟踪演练2　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中元素有__________．‎ 答案　0,1,2‎ 解析　当x＝0时，＝2；‎ 当x＝1时，＝3；‎ 当x＝2时，＝6；‎ 当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.‎ 要点三　集合中元素的特性及应用 例3　已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．‎ 解　∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.‎ 若－3＝a－3，则a＝0.‎ 此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；‎ 若－3＝2a－1，则a＝－1.‎ 此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．‎ 综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.‎ 规律方法　1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．‎ ‎2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．‎ 跟踪演练3　已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.‎ 当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．‎ 当a2－1＝0时，a＝±1.‎ a＝－1(舍)，∴a＝1.‎ 此时，A＝{2,0}，符合题意．‎ ‎1．下列能构成集合的是(　　)‎ A．中央电视台著名节目主持人 B．我市跑得快的汽车 C．上海市所有的中学生 D．香港的高楼 答案　C 解析　A、B、D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．‎ ‎2．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是(　　)‎ A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 答案　C 解析　由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不能用“＝”，故选C.‎ ‎3．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或∉)．‎ 答案　∉　∈‎ 解析　深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．‎ ‎4．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3∉Z.正确的个数为________．‎ 答案　3‎ 解析　①②③是正确的；④⑤是错误的．‎ ‎5．已知1∈{a2，a}，则a＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　当a2＝1时，a＝±1，但a＝1时，a2＝a，由元素的互异性知a＝－1.‎ ‎1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定．若元素不确定，则不能构成集合．‎ ‎2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．‎ ‎3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．‎ 求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性．‎ 一、基础达标 ‎1．有下列各组对象：‎ ‎①接近于0的数的全体；‎ ‎②比较小的正整数的全体；‎ ‎③平面上到点O的距离等于1的点的全体；‎ ‎④直角三角形的全体．‎ 其中能构成集合的个数是(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案　A 解析　①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．‎ ‎2．已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　)‎ A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 答案　C 解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．‎ ‎3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案　D 解析　根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．‎ ‎4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　)‎ A．2 B．2或4‎ C．4 D．0‎ 答案　B 解析　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.‎ ‎5．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．‎ 答案　±1‎ 解析　由a2≠1，得a≠±1.‎ ‎6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．‎ 答案　3‎ 解析　由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，‎ ‎∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.‎ ‎7．判断下列说法是否正确？并说明理由．‎ ‎(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合；‎ ‎(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；‎ ‎(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；‎ ‎(4)我校的年轻教师构成一个集合．‎ 解　(1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．‎ ‎(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．‎ ‎(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．‎ ‎(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．‎ 二、能力提升 ‎8．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．0或3 D．0,2,3均可 答案　B 解析　因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一验证可得m＝3，故选B.‎ ‎9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.‎ 答案　6‎ 解析　∵x∈N,2＜x＜a，且集合P中恰有三个元素，‎ ‎∴结合数轴知a＝6.‎ ‎10．设a，b∈R，集合A中有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且A＝B，则a＋b＝________.‎ 答案　0‎ 解析　由于B中元素是0，，b，故a≠0，b≠0.‎ 又A＝B，∴a＋b＝0.‎ ‎11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.‎ 解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，‎ ‎∴a＝－1或a＝－.‎ 则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．‎ 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，∴a＝－.‎ 三、探究与创新 ‎12．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N.求a，b的值．‎ 解　方法一　根据集合中元素的互异性，‎ 有或 解得或或 再根据集合中元素的互异性，得或 方法二　∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．‎ ‎∴ 即 ‎∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．‎ 当b≠0时，由②得a＝0，或b＝.‎ 当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去)．‎ 当b＝时，由①得a＝.‎ 当b＝0时，a＝0(舍去)．‎ ‎∴或 ‎13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．‎ 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；‎ ‎(2)集合A不可能是单元素集．‎ 证明　(1)若a∈A，则∈A.‎ 又∵2∈A，∴＝－1∈A.‎ ‎∵－1∈A，∴＝∈A.‎ ‎∵∈A，∴＝2∈A.‎ ‎∴A中另外两个元素为－1，.‎ ‎(2)若A为单元素集，则a＝，‎ 即a2－a＋1＝0，方程无解．‎ ‎∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．‎