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- 2021-06-10 发布
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2
.
综合法与分析法
(1)
综合法:证明不等式时,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过
___________
而得出命题成立,综合法又叫顺推证法或由因导果法.
(2)
分析法:证明命题时,从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的
___________
,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实
(
定义、公理或已证明的定理、性质等
)
,从而得出要证的命题成立.这是一种
_________
的思考和证明方法.
推理论证
充分条件
执果索因
3
.
反证法
先假设要证的命题
___________
,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的
_____
,得到和命题的条件
(
或已证明的定理、性质、明显成立的事实等
)______
的结论,以说明假设
_________
,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
不成立
推理
矛盾
不正确
4
.
放缩法
证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地
_____
或
_____
,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.
放大
缩小
5
.
数学归纳法
数学归纳法证明不等式的一般步骤:
(1)
证明当
_______
时命题成立;
(2)
假设当
_____
(
k
∈
N
*
,且
k
≥
n
0
)
时命题成立,证明
________
时命题也成立.
综合
(1)(2)
可知,结论对于任意
n
≥
n
0
,且
n
0
,
n
∈
N
*
都成立.
n
=
n
0
n
=
k
n
=
k
+
1
【
方法规律
】
用综合法证明不等式是
“
由因导果
”
,用分析法证明不等式是
“
执果索因
”
,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.
证明不等式的方法和技巧:
(1)
如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以
“
至少
”“
至多
”
等方式给出或否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法;如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法等.
(2)
在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明,其简化的基本思路是去绝对值号,转化为常见的不等式
(
组
)
求解.多以绝对值的几何意义或
“
找零点、分区间、逐个解、并起来
”
为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据.
(3)
在使用基本不等式时,等号成立的条件是一直要注意的事情,特别是连续使用时,要求分析每次使用时等号是否成立.
(4)
柯西不等式使用的关键是出现其结构形式,也要注意等号成立的条件
.