高一数学教案：第8讲 解斜三角形 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 解斜三角形 教学内容 ‎1. 巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。‎ ‎2. 培养学生分析、演绎和归纳的能力。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 试着证明：‎ 证：1）‎ ‎ 2）‎ ‎ 3）‎ 以上三个公式我们称之为万能置换公式，也就是说如果我知道半角的正切值，可以很快求出全角的正弦余弦和正切值。‎ ‎2. 正弦定理：（R是三角形外接圆的半径）‎ 变式一：、、‎ 变式二：‎ 定理让学生自己完成，两个变式和面积公式可以直接给出，并让学生给出简单的推理，重点强调变式二边角互换 ‎3. 余弦定理：‎ 余弦定理：，变式：‎ ‎， ‎ ‎。 ‎ 定理学生自己完成，变式可以直接给出。让学生最好熟记变式，变式的应用会更多些。‎ ‎4. 面积公式：‎ ‎5. 解斜三角形至少需要知道几个元素？知道哪些元素的时候会用正弦定理？知道哪些元素会用余弦定理？‎ 至少需要三个，而且还要有边。‎ ‎1．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：‎ ‎(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；‎ ‎(2)已知两边和其中一边的对角，可以求另一边的对角，继而可以求第三角和第三边。‎ ‎2．利用余弦定理，可以解决以下问题：‎ ‎(1)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；‎ ‎(2)已知三边，求三角。‎ 让学生讨论总结，教师补充完整。‎ 练习：‎ ‎1.在△ABC中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）‎ A.一解 B.两解 C.无解 D.不能确定 ‎2.在△ABC中，已知，则 ‎3.在△ABC中，满足,则A＝ 60° ‎ ‎4.已知△ABC的面积为,则A等于（ D ）‎ ‎5. 已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。‎ 解：∵ ∴cos q ¹ 0 (否则 2 = - 5 )‎ ‎ ∴ 解之得：tan q = 2‎ ‎ ∴原式 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ .‎ 解：由余弦定理可得,‎ 试一试：‎ ‎1. 已知中，，，，那么角等于 45°‎ ‎2. 的内角的对边分别为，若，则等于 ‎ 例2. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数 _.‎ 解析：由得..‎ 试一试：‎ 在△中，为边上一点，若△ADC的面积为，则_______ ‎ 例3. 在中，角的对边分别为，。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积.‎ 试一试：在中，分别为角的对边，已知，的面积为，又．‎ ‎（I）求角的大小； ‎ ‎（II）求的值．‎ 解：（I）‎ ‎，且A、B、C为△ABC的内角，‎ 即有，‎ ‎（II）由题，且由（I）知 ‎，又 从而由余弦定理可得 例4. 已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为.‎ ‎（1）求∠C；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值.‎ 解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2（－）=（a－b）.‎ 又∵R=，‎ ‎∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.‎ ‎∴cosC==.‎ 又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.‎ ‎（2）S=absinC=×ab ‎=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）‎ ‎=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）‎ ‎=3sinAcosA+sin2A ‎=sin2A－sin2Acos2A+‎ ‎=sin（2A－30°）+.‎ ‎∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 在中，若，则是 （ B ）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 ‎ C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎3. 已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=.‎ ‎（1）求证：tanA=2tanB；‎ ‎（2）设AB=3，求AB边上的高.‎ ‎（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，‎ ‎∴‎ ‎=2.‎ ‎∴tanA=2tanB.‎ ‎（2）解：＜A+B＜π，∴sin（A+B）=.‎ ‎∴tan（A+B）=－，‎ 即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值舍去）.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+.‎ 设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.‎ ‎4. 已知的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且 ‎（I）求的值。‎ ‎（II）若的面积求a的值。‎ ‎ 解：（Ⅰ）∵ ∴ 由 得 ‎∴=-=‎ ‎∴ ∴‎ ‎（Ⅱ）得 ‎∴ ∴‎ ‎5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求的最大值。‎ ‎(Ⅰ)解：由题意可知 absinC=,2abcosC.‎ 所以tanC=.‎ 因为0