江苏省南通市2020届高三考前练习数学试题（含附加题）答案 16页

数学参考答案与评分细则 第 1页（共 16页） Read x If x≥2 Then 6y x  Else 2 83y x  End If Print y （第 4 题） 高 三 练 习 卷 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1． 已知集合  3 1 1 3A   ， ， ， ，  2| 2 3 0B x x x    ，则 A B I ▲ ． 【答案】 1 3 ， 2． 已知复数 z 满足 ( 2)i 4z   ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ▲ ． 【答案】2 3． 某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了 100 名女生的体重， 所得数据均在区间 48 58， 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 名女生中，体重在 区间 50 56， 的女生数为 ▲ ． 【答案】75 4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为 7 ，则输入的 x 的值为 ▲ ． 【答案】1 5． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 164 16 yx   上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 1，则 点 M 到另一个焦点的距离为 ▲ ． 【答案】17 6． 已知区域  ( ) 2 2A x y x y ≤ ≤， ， 和  ( ) 0 0 2B x y x y x y    ≤， ， ， ．若在区域 A 内随机取 一点，则该点恰好落在区域 B 内的概率为 ▲ ． 【答案】 1 8 7． 若实数 x y， 满足 3 4x y  ，则 2 8x y 的最小值为 ▲ ． （第 3 题） 585654525048 0.125 0.150 0.100 0.075 0.050 体重(千克) 频率/组距 数学参考答案与评分细则 第 2页（共 16页） （第 10 题） 【答案】8 8． 已知数列 na 满足 1 1 2n n n n a a a a     ，且 1 1 9a  ，则 6a 的值为 ▲ ． 【答案】27 9． 已知 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，且 ( 2) 2 (8) 1f f   ，则 (2020)f 的值为 ▲ ． 【答案】 1 3 10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证 明了多面体的顶点数（V）、棱数（E）、面数(F)之间存在如下关系： 2V F E   ．利用这个 公式，可以证明柏拉图多面体只有 5 种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正 十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为 S1，S2，则 1 2 S S 的值为 ▲ ． 【答案】 3 2 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M 经过直线 l： 3 2 3 0x y   与圆 C： 2 2 4x y  的 两个交点．当圆 M 的面积最小时，圆 M 的标准方程为 ▲ ． 【答案】 2 23 3( ) ( ) 12 2x y    12．如图，四边形 ABCD 是以 AB 为直径的圆的内接四边形．若 AB=2，AD=1，则 DC AB uuur uuur 的取值 范围是 ▲ ． 【答案】 (0 3)， 13．已知函数 2 3 0( ) 2 0 x xf x x x x    ， ， ， ≥ ， 则函数 ( ( ) 2 +4)y f f x x  的不同零点的个数为 ▲ ． 【答案】5 14．已知点 G 是 ABC△ 的重心，且 GA GC ．若 1 1 1tan tanA C  ，则 tan B 的值为 ▲ ． 【答案】 1 2 D C BA （第 12 题） 数学参考答案与评分细则 第 3页（共 16页） F E C BA P （第 15 题） 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分． 15．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， PC ABC 平面 ， 10AB  ， 6BC  ， 8AC PC  ， E F， 分别 是 PA PC， 的中点． 求证：（1） AC ∥平面 BEF ； （2） PA  平面 BCE ． 【证】（1）在△ PAC 中， E F， 分别是 PA PC， 的中点， 所以 EF ∥ AC ． …… 2 分 又因为 EF BEF 平面 ， AC BEF 平面 ， 所以 AC ∥平面 BEF ． …… 4 分 （2）在△ABC 中， 10AB  ， 6BC  ， 8AC  ， 所以 2 2 2AB AC BC  ，所以 BC AC ． …… 6 分 因为 PC ABC 平面 ， BC  平面 ABC ， 所以 PC BC ． …… 8 分 又因为 BC PC ， AC PC C ， AC  平面 PAC ， PC  平面 PAC ． 所以 BC  平面 PAC ． 因为 PA  平面 PAC ，所以 BC PA ． …… 10 分 在△ PAC 中，因为 AC PC ， E 为 PA 的中点， 所以 PA EC ． …… 12 分 又因为 PA BC ，CE BC C ，CE  平面 BCE ， BC  平面 BCE ． 所以 PA  平面 BCE ． …… 14 分 16．（本小题满分 14 分） 已知函数 2( ) 2cos ( ) cos(2 )4 6f x x x x     ， R ． （1）求 ( )f x 的最小值； （2）在 ABC△ 中， 0 3A   ，且 1( ) 2f A   ．若 2 2AC BC ， ，求角 B 的大小． 【解】（1） 2( ) 2cos ( ) cos(2 )4 6f x x x     1 cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin2 6 6x x x       …… 2 分 3 11 sin 2 cos2 sin 22 2x x x    数学参考答案与评分细则 第 4页（共 16页） （第 17 题） M A D C BN 3 31 cos2 sin 22 2x x   1 3cos(2 )3x    ． …… 5 分 因为当 3x k    （ k Z ）时， cos(2 )3x  的最小值为 1 ， 所以 ( )f x 的最小值为1 3 ． …… 7 分 （2）由（1）知， 1( ) 1 3cos(2 )3 2f A A      ，即 3cos(2 )3 2A    ．…… 9 分 因为 0 A    ，所以 <23 3A    ， 所以 52 3A     ，即 A   ． …… 11 分 在 ABC△ 中，因为 2 2AC BC ， ， 由正弦定理 sin sin AC BC B A ，得 22 sin sin 4 B   ， 所以 sin 1B  ． 因为 0 B   ，所以 2B  ． …… 14 分 17．（本小题满分 14 分） 如图，在市中心有一矩形空地 ABCD，AB=100 m，AD=75 m．市政府欲将它改造成绿化景观带， 具体方案如下：在边 AD，AB 上分别取点 M，N，在三角形 AMN 内建造假山，在以 MN 为直径 的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物． （1）若假山区域面积为 400 m2，求喷泉区域面积的最小值； （2）若 MN=100 m，求假山区域面积的最大值． 【解】方法一： （1）设∠ANM=θ，  π0 2  ， ，半圆的直径 MN=2r，半圆的圆心为 O． 在直角三角形 AMN 中，∠MAN=π 2 ，所以 AM=2rsinθ，AN=2rcosθ． 因为假山区域面积为 400 m2， 所以 1 2AM·AN=1 2 ×2rsinθ×2rcosθ= r2sin2θ=400， …… 2 分 所以 r2= 400 sin 2 ， 数学参考答案与评分细则 第 5页（共 16页） 所以喷泉区域面积 S 喷泉=π 2r2= 200π 200πsin 2 ≥ ， 当且仅当 sin2θ=1，即θ=π 4 时取等号．此时 r =20． …… 5 分 因为点 O 到 CD 的距离 d1=AD－1 2AM，点 O 到 BC 的距离 d2=AB－1 2AN， 所以 d1=75－rsinθ=75－10 2＞20=r，即 d1＞r， d2=100－rcosθ=100－10 2＞20=r，即 d2＞r． 所以以 MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当θ=π 4 时，S 喷泉取得最小值 200π m2． 答：喷泉区域面积的最小值为 200π m2． …… 7 分 （2）由（1）知，若 MN=100 m， 则 2r=100， AM=100sinθ，AN=100cosθ． 所以点 O 到 CD 的距离 d1=75－rsinθ=75－50sinθ，点 O 到 BC 的距离 d2=100－50cosθ， 因为以 MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以 1 2 d r d r    ≥ ， ≥ ，即 75 50sin 50 100 50cos 50      ≥ ， ≥ ， 所以 1sin 2≤ ． 又因为  π0 2  ， ，所以  π0 6  ， ． …… 11 分 所以假山区域面积 S 假山=1 2AM·AN=1 2 ×100sinθ×100cosθ=2500sin2θ， 因为  π0 6  ， ，所以  π2 0 3  ， ， 所以当 π 6  时，假山区域面积的最大值为 1250 3 m2． 答：假山区域面积的最大值为 1250 3 m2． …… 14 分 方法二： （1）设 AM=x m，AN=y m，半圆的直径 2r，半圆的圆心为 O． 在直角三角形 AMN 中，∠MAN=π 2 ，所以 MN=2r= 2 2x y ． 因为假山区域面积为 400 m2， 所以 1 2AM·AN=1 2xy= 400，所以 xy=800， …… 2 分 所以喷泉区域面积 S 喷泉= 2π ( )2 2 MN = 2 2π π( 2 200π8 8x y xy  )≥ ， 数学参考答案与评分细则 第 6页（共 16页） （第 18 题） y x F D CB A O 当且仅当 20 2x y  时，取等号．此时 r =20． …… 5 分 因为点 O 到 CD 的距离 d1=AD－1 2AM，点 O 到 BC 的距离 d2=AB－1 2AN， 所以 d1=75－ 2 x =75－10 2＞20=r，即 d1＞r， d2=100－ 2 y =50－10 2＞20=r，即 d2＞r． 所以以 MN 为直径的半圆区域一定在矩形广场内． 所以当 20 2x y  时，S 喷泉取得最小值 200π m2． 答：喷泉区域面积的最小值为 200π m2． …… 7 分 （2）由（1）知，若 MN=100 m，则 2 2 10000x y  ． 所以点 O 到 CD 的距离 1 75 2 xd   ． 因为以 MN 为直径的半圆区域在矩形广场内， 所以 d1≥r，即 75 502 x ≥ ，所以 50x ≤ ， 注意到，在边 AD，AB 上分别取点 M，N，构成△AMN， 所以 0 50x ≤ ． …… 9 分 所以假山区域面积 S 假山=1 2AM·AN=1 2xy= 21 100002 x x …… 11 分 2 4 2 21 110000 ( 5000) 250000002 2x x x      ， 所以当 50x  时，假山区域面积取得最大值为 1250 3 m2． 答：假山区域面积的最大值为 1250 3 m2． …… 14 分 18．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 1 : 19 5 yxC   与 22 2 2 1(0 6)36 yxC bb    : 的离心率 相等．椭圆 1C 的右焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 1C 交于 A B， 两点，射线 OB 与椭圆 2C 交于 点C ．椭圆 2C 的右顶点为 D． （1）求椭圆 2C 的标准方程； （2）若 ABO△ 的面积为 10 ，求直线 AB 的方程； （3）若 2AF BF ，求证：四边形 AOCD 是平行四边形． 数学参考答案与评分细则 第 7页（共 16页） 【解】（1）由题意知，椭圆 1C 的长轴长 12 6a  ，短轴长 12 2 5b  ，焦距 2 2 1 1 12 2 4c a b   ， 椭圆 2C 的长轴长 22 12a  ，短轴长 2b ，焦距 2 22 2 36c b  ． 因为椭圆 1C 与 2C 的离心率相等， 所以 1 2 1 2 c c a a ，即 2362 3 6 b ， …… 2 分 因为 0 6b  ，所以 2 20b  ， 所以椭圆 2C 的标准方程为 22 136 20 yx   ． …… 3 分 （2）因为椭圆 1C 右焦点为 (2 0)F ， ，且 A O B， ， 三点不共线， 设直线 AB 的方程为 2x my  ，联立 22 19 5 yx   ， 消 x 得， 2 2(5 9) 20 25 0m y my    ． 设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ， 2 2(20 ) 100(5 9) 0m m     ， 所以 2 2 2 1 2 2 2 20 (20 ) 4(5 9) ( 25) 20 30 1 2(5 9) 2(5 9) m m m m my m m           ， ， 即 1 2 1 22 2 20 25 5 9 5 9 my y y ym m      ， ． （方法一）因为 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2ABO AOF BOFS S S OF y OF y OF y y y y          5 分 2 1 2 1 2( 4y y y y   2 2 2 20 100( ) 105 9 5 9 m m m     ， 化简得 425 9m  ，所以 15 5m   ， 所以直线 AB 的方程为 15 25x y   ， 即5 15 10 0x y   ． …… 8 分 （方法二） 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 ( )( ) ( ) (1 ) 1( ) x xAB x x y y y y m y yy y           ． 因为点 D 到直线 AB 的距离为 2 2 1 d m   ， 所以 1 2 1 2ABOS AB d y y     ． …… 5 分 以下同方法一． （3）（方法一）因为 2AF BF ，所以 2AF FB  ． 因为 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ， (2 0)F ， ，所以 1 1 2 2(2 , ) 2( 2, )x y x y    ， 数学参考答案与评分细则 第 8页（共 16页） 所以 1 2 1 2 6 2 2 . x x y y      ， …… 10 分 因为 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 在椭圆 22 19 5 yx   上， 所以 2 2 1 1 2 2 2 2 19 5 19 5 x y x y       ， ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 (6 2 ) 4 19 5 19 5 x y x y        ， ， 消 2y ，得 2 21 8x  ． 代入 2 2 2 2 19 5 x y  ，由对称性不妨设 1 20 0y y ， ，所以 2 5 3 8y   ， 从而得， 1 1 5 33 4 4x y ， ， 即 5 3 5 33 21( ) ( )4 4 8 8A B ， ， ， ． …… 12 分 所以 5 3 21ock   ，直线OC 的方程为 5 3 21y x  ， 联立 22 136 20 yx   ，得 2 441 16x  ． 由题知 0x  ，所以 5 321 4 4x y  ， ，所以 5 321( )4 4C ， ． …… 14 分 又 (6 0)D ， ，所以 5 3 3OA CDk k  ． 又因为 OA CD， 不共线，所以 OA CD ， 又 5 3 21OC ADk k   ，且 OC AD， 不共线，所以 OC AD ． 所以四边形 AOCD 是平行四边形． …… 16 分 （方法二）设直线 OC 的方程为 y kx ， 由 2 25 9 45x y y kx      ， ， 得 2 2(5 9 ) 45k x  ， 所以 2 3 5= 5+9Bx k  ． …… 10 分 又由 2 25 9 180x y y kx      ， ， 得 2 2(5 9 ) 180k x  ， 所以 2 6 5= 5+9Cx k  ． 又因为 B C， 在点 O 的同侧， 所以 =2C Bx x ． …… 12 分 数学参考答案与评分细则 第 9页（共 16页） 设 1 1( )B x y， ，则 1 1(2 2 )C x y， ， (6 0)D ， ． 因为 2AF FB ，所以 1 1(6 2 2 )A x y ， ， 所以 1 1(6 2 2 )OA x y   ， ， 1 1(6 2 2 )CD x y   ， ， 所以 OA CD  ． 又因为 A O C D， ， ， 四点不共线，所以四边形 AOCD为平行四边形．…… 16 分 （方法三）由方法二得， 2OC OB ． …… 10 分 因为 (2 0) (6 0)F D， ， ， ，所以 2FD OF ． 又因为 2AF FB ，所以 // 2OB AD AD OB， ． …… 14 分 所以 //OC AD OC AD， ， 所以四边形 AOCD 为平行四边形． …… 16 分 19．（本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) (1 ln )f x x x m   （ mR ）. （1）求曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线方程； （2）设 ( )( ) f xg x xx  ，求函数 ( )y g x 的单调区间； （3）若 ( )f x mx≥ 对任意的 (0 )x  ， 恒成立，求满足题意的所有整数 m 的取值集合． 【解】（1） ( ) 2 lnf x x   ，所以 (1) 2f   ， 所以所求切线方程为 1 2( 1)y m x    ，即 =2 + 1y x m  ． …… 2 分 （2）由已知， ( )( ) =1+lnf x mg x x x xx x    ， 所以 2 2 2 1( ) 1m x x mg x x x x       ． 当 0m≤ 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 的单调递增区间为 (0 ) ， ； …… 4 分 当 0m  时，令 ( )=0g x ，得 1 1 4 2 mx    或 1 1 4 2 mx    （舍去）， 1 1 4(0 )2 mx    ， 时， ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 单调递减； 1 1 4( + )2 mx    ， 时， ( ) 0g x  ，函数 ( )g x 单调递增． …… 7 分 综上，当 0m≤ 时， ( )g x 的单调递增区间为 (0 ) ， ； 当 0m  时，函数的单调递减区间为 1 1 4(0 )2 m  ， ， 数学参考答案与评分细则 第 10页（共 16页） 函数的单调递增区间为 1 1 4( + )2 m   ， ． …… 8 分 （3）由已知 (1 ln ) 0x x mx m   ≥ 对 (0 )x   ， 成立， 设 ( ) (1 ln )g x x x mx m    ， 令 ( ) ln 2 0g x x m     ，得 2emx  . 当 2(0 e )mx  ， 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减； 当 2(e + )mx  ， 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增. 所以  2 2 min( ) g(e ) em mg x m    . …… 10 分 设 2( ) emh m m   ，令 2( ) 1 e 0mh m     ，得 2m  . 当 ( 2)m ， 时， ( ) 0h m  ， ( )h m 单调递增； 当 (2 + )m ， 时， ( ) 0h m  ， ( )h m 单调递减. …… 12 分 又 1 0 2(0) 0 (1) 1 e 0 (2) 2 e 0 (3) 3 e 0 (4) 4 e 0h h h h h            ， ， ， ， ， 所以满足题意的整数 m 构成的集合为 1 2 3， ， . …… 16 分 20．（本小题满分 16 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， ( )n n n Sb na  N ．若 nb 是公差不为 0 的等差数列， 且 2 7 11b b b ． （1）求数列 nb 的通项公式； （2）证明：数列 na 是等差数列； （3）记 2 n n n a Sc  ，若存在 1 2k k  N， （ 1 2k k ），使得 1 2k kc c 成立，求实数 1a 的取值范围． 【解】（1）设等差数列 nb 的公差为 d ，因为 1 1 1 1Sb a  ，所以 1 ( 1)nb n d   ． 由 2 7 11b b b 得， (1 )(1 6 ) 1 10d d d    ，即 22 0d d  ， 因为 0d  ，所以 1 2d  ，从而 1 ( 1)2nb n  . …… 3 分 （2）由（1）知， 1 ( 1)2 n n S na   ， n N ， 即有 2 ( 1)n nS n a  ， ① 所以 1 12 ( 2)n nS n a   ， ② 数学参考答案与评分细则 第 11页（共 16页） ②-①得， 1 12 ( 2) ( 1)n n na n a n a     ，整理得 1 ( 1)n nna n a   ． …… 5 分 两边除以 ( 1)n n  得， 1 01 n na a n n    （ n N ）， 所以数列 na n     是常数列． 所以 1 11 na a an   ，即 1na na ， 所以 1 1n na a a   ， 所以数列 na 是等差数列． …… 8 分 （3） 因为 n n n Sb a ，所以 1 ( 1)1 2 2n n n nnS a a  ， 所以 1 1 1 ( 1) 22 n n n a na S n n ac    ． 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) 1( )22 2 2 2n n na a na na a n n a n n a n n a nc c n               ， 当 n N 时， 2 11 12 2 3 n n n       ， ． …… 10 分 显然 1 0a  ， ①若 1 0a  ，则 1 1 12a  ， 1 1 022a n n  恒成立， 所以 1 0n nc c   ，即 1n nc c  ， n N ， 所以 nc 单调递减，所以不存在 1 2k kc c ； ②若 1 2log 3a  ，则 1 1 1 32a  ， 1 1 022a n n  恒成立， 所以 1 0n nc c   ，即 1n nc c  ， n N ， 所以 nc 单调递减，所以不存在 1 2k kc c ； …… 12 分 ③若 1 2log 3a  ，则 1 1 1 32a  ，所以当 1n  ， 1 1 022a n n  成立， 所以存在 1 2c c ． ④若 1 20 log 3a  ，则 1 1 1 13 2a  ． 当 1 2 2 1an   ，且 n N 时， 1n nc c  ， nc 单调递增； 当 1 2 2 1an   ，且 n N 时， 1n nc c  ， nc 单调递减， 数学参考答案与评分细则 第 12页（共 16页） 不妨取 0 1 2 0 0 0 2log ( 2)ka k kk  N ， ≥ ，则 0 0 1k kc c  ． 综上，若存在 1 2k k  N， ，使得 1 2k kc c 成立，则 1a 的取值范围是 2(0 log 3]， ． 16 分 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 1 1 4 a     A 的一个特征值为 2． （1）求实数 a 的值； （2）求矩阵 A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 【解】（1）由已知，矩阵 A 的特征多项式为 1( ) ( 1)( 4)1 4 af a          ， 令 ( ) 0f   得， 2 5 4 0a     ． 因为矩阵 A 的一个特征值为 2，所以上述方程有一个实数解 =2 ， 所以 2a  ． …… 5 分 （2）由（1）得， 2 5 6=0   ，解得 1 22 3  ， ， 所以另一个特征值为 =3 ． 设其对应的一个特征向量为 x y      ， 则 1 2 31 4 x x y y                ，取 1x  ，则 1y  ． 所以矩阵 A 的另一个特征值为 3，其对应的一个特征向量为 1 1      . …… 10 分 B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 2 2 2 x m t y t      ， （t 为参数），椭圆 C 的参数方程 为 2cos sin x y      ， （ 为参数）．若直线 l 被椭圆 C 所截得的弦长为 4 2 5 ，求实数 m 的值． 数学参考答案与评分细则 第 13页（共 16页） 【解】将椭圆 C 的参数方程为 2cos sin x y      ，（ 为参数）化为普通方程为 2 2 14 x y  ． 3 分 将直线 l 的参数方程代入椭圆方程得 2 22 2+4 ( ) 4 02 2m t t   （ ） ， 即 2 25 2 4 02 t mt m    ． 由 2 25=2 4 ( 4) 02m m     ， 5 5m   ， 且 2 1 2 1 2 2( 4)2 2 5 5 mmt t t t    ， ， 所以 2 222 2 1 2 1 2 1 2 8( 4) 8(20 4 )8) ) 4 25 5 25 m mmt t t t t t        （ （ ． …… 8 分 因为直线 l 截椭圆所得弦长为 4 2 5 ， 所以 28(20 4 ) 32=25 25 m ， 2m   ，符合 0  ． 所以 2m   ． …… 10 分 C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 若实数 a，b，c 满足 7a b c   ，求证： 2 2 24 9 36a b c  ≥ ． 【证】因为 2 2 21 11 ( ) ( )2 3      2 2 2 21 1( 4 9 ) ( 2 3 )2 3a b c a b c     ≥ ， …… 5 分 所以 2 2 2 2 ( )4 9 1 11+ +4 9 a b ca b c    ≥ ． 又 7a b c   ， 所以 2 2 24 9 36a b c  ≥ ． …… 10 分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 已知直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长均相等，且 60BAD  ， M 是侧棱 1DD 的中点， N 是棱 1 1C D 上的点． （1）求异面直线 1BD 与 AM 所成角的余弦值； （2）若二面角 M AC N- - 的大小为 4  ， 试确定点 N 的位置． （第 22 题） A B CD A1 D1 C1 B1 M N 数学参考答案与评分细则 第 14页（共 16页） A B CD A1 D1 C1 B1M N x z y E 【解】连结 BD ，取 AB 的中点 E ． 因为直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长均相等， 所以底面 ABCD 是菱形． 又 60BAD  ，所以△ABD 是正三角形， 所以 DE AB ， 因为 //AB DC ，所以 DE DC ． 因为直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1D D  平面 ABCD ， DC DE ， 平面 ABCD ， 所以 1D D DC ， 1D D DE ． …… 2 分 分别以直线 1DE DC DD， ， 为 x y z， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）设直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长均为 2，则 (0 0 0)D ，， ， ( 3 1 0)A ， ， ， ( 3 1 0)B ，， ， (0 2 0)C ，， ， 1(0 0 2)D ，， ， (0 0 1)M ，， ． 所以 1 ( 3 1 2)BD    ， ， ， ( 3 1 1)AM   ，， ． 设异面直线 1BD 与 AM 所成角的大小为 ，则 1 1 1 103 1 2cos cos 5| | | | 2 2 5 BD AMBD AM BD AM                ， ， 所以异面直线 1BD 与 AM 所成角的余弦值为 10 5 ． …… 4 分 （2）由（1）知， ( 3 3 0)AC   ，， ， ( 3 1 1)AM   ，， ． 设平面 AMC 的法向量为 1 1 1 1( )x y z ， ，n ， 则 1 1 AC AM      ， ， n n 即 1 1 0 0 AC AM       ， = ， n n 所以 1 1 1 1 1 3 3 0 3 0. x y x y z        ， 取 1 3x  ，则 1 1y  ， 1 2z  ， 即平面 AMC 的一个法向量为 1 ( 3 1 2) ，，n ． …… 6 分 设 (0 2)N ，， ， 0 2≤ ≤ ，则 (0 2 2)CN   ， ， ． 数学参考答案与评分细则 第 15页（共 16页） 设平面 ACN 的法向量为 2 2 2 2( )x y z ， ，n ， 则 2 2 AC CN      ， ， n n 即 2 2 0 0 AC CN       ， = ， n n 所以 2 2 2 2 3 3 0 ( 2) 2 0. x y y z       ， 取 2 3x  ，则 2 1y  ， 2 2 2z  ， 即平面 ACN 的一个法向量为 2 2( 3 1 )2  ，，n ． …… 8 分 则 1 2 1 2 21 2 3 1 (2 ) 2cos cos4 | | | 22 2 (1 ) 42                 n nn n | n n ， 解得 2  ． 所以当二面角 M AC N- - 的大小为 4  ，点 N 与点 1C 重合． …… 10 分 23．（本小题满分 10 分） 设 2 3 0 1 2 3(1 2 )k k kx a a x a x a x a x       （ 2k k N≥ ， ）． （1）若展开式中第 5 项与第 7 项的系数之比为 3∶8，求 k 的值； （2）设 2 2 2 n nk   （ n N ），且各项系数 0a ， 1a ， 2a ，…， ka 互不相同．现把这 1k  个 不同系数随机排成一个三角形数阵：第 1 列 1 个数，第 2 列 2 个数，…，第 n 列 n 个数． 设 it 是第 i 列中的最小数，其中1 i n≤ ≤ ，且 i n N， ．记 1 2 3 nt t t t    的概率为 nP . 求证： 1 2( 1)!nP n  ． 【解】（1）因为在展开式中第 5 项与第 7 项的系数之比为 3∶8，即 4 4 6 6 2 3 82 k k C C   ，…… 1 分 所以 4 6 3 2 k k C C  ，即 30 3 ( 4)( 5) 2k k   ，所以 2 9 20 20k k   ， 解得 0k  或 9k  ． 因为 2k k  *N≥ ， ，所以 9k  ． …… 3 分 （2）由题意，最小数在第 n 列的概率为 2 2 1 2 n nn n   ， 去掉第 n 列已经排好的 n 个数， 则余下的 ( 1) ( 1) 2 2 n n n nn   个数中最小值在第 1n  列的概率为 ( 1) 2 1 2 n n n n   ，……， 数学参考答案与评分细则 第 16页（共 16页） 余下的数中最小数在第 2 列的概率为 2 3 ， 所以 12 2 2 2 2= 1 3 ( 1) 3 ( 1)! n n nP n n n n n             ． …… 7 分 由于 2 2 22 n nk   ≥ ，所以 2n≥ ． （方法一）由于 0 1 22 (1 1)n n n n n n nC C C C       0 1 2 1 2 2 1 ( 1) ( 2)2n n n n n n n nC C C C C C n      ≥ ≥ ， 所以 2 12 1 ( 1)! ( 1)! 2( 1)! n nC n n n     ，即 1 2( 1)!nP n  ． …… 10 分 （方法二）设 ( 1)2 ( 2 )2 n n n na n n    N≥ ， ， 所以 1 2 1( 2 )n n na a n n n        N≥ ， ． 记 2 1( 2, )n nb n n n     N≥ ，所以 1 2 1 0n n nb b     ， 所以 nb 是递增数列，所以 2 1 0nb b  ≥ ； na 是递增数列，所以 2 1na a ≥ ， 所以 ( 1)2 2 n n n  ，所以 ( 1)2 1 ( 1)! 2( 1)! 2( 1)! n n n n n n     ，即 1 2( 1)!nP n  ．… 10 分