高中数学（人教版a版选修2-1）配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 6页

第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 课时目标 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示． 2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义． 2．几类特殊向量 (1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量． (3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的 有向线段表示同一向量或相等向量． (4)相反向量：与向量 a 长度______而方向________的向量，称为 a 的相反向量，记为 ________． 3．空间向量的加减法与运算律 空间向量 的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB→ ＝OA→ ＋AB→＝__________；CA→＝OA→ －OC→ ＝________. 加法运 算律 (1)交换律：a＋b＝________ (2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.； 一、选择题 1．下列命题中，假命题是( ) A. 向量AB→与BA→的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 0 D．共线的单位向量都相等 2.如图所示，平行四边形 ABCD 的对角线的交点为 O，则下列等式成立的是( ) A. OA→ ＋OB→ ＝AB→ B. OA→ ＋OB→ ＝BA→ C. AO→ －OB→ ＝AB→ D. OA→ －OB→ ＝CD→ 3.已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点且 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ =0，则AO→ 等于( ) A. OB→ B. OC→ C. OD  D.2 OD  4.已知向量AB→，AC→，BC→满足|AB→|＝|AC→|＋|BC→|，则( ) A. AB→＝AC→＋BC→ B. AB→＝－AC→－BC→ C. AC→与BC→同向 D. 与AC→与CB→同向 5.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，向量表达式DD1 → -AB→+BC→化简后的结果是( ) A. BD1 → B. 1D B  C. 1B D  D. 1DB  6．平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F，G，H，P，Q 分别是 A1A，AB，BC，CC1， C1D1，D1A1 的中点，则( ) A. EF ＋GH→ ＋PQ→ ＝0 B. EF －GH→ －PQ→ ＝0 C. EF ＋GH→ －PQ→ ＝0 D. EF －GH→ ＋PQ→ ＝0 二、填空题 7.在平行六面体 ABCD－A’B’C’D’中，与向量 ' 'A B  的模相等的向量有________个． 8.若 G 为△ABC 内一点，且满足 AG  ＋BG→ ＋CG→ ＝0，则 G 为△ABC 的________．(填“外 心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假： ①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等； ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题 10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． ①向量AB→与CD→ 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB→＝DC→ ； ⑤模为 0 是一个向量方向不确定的充要条件． 11.如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC,BD,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中点，请 化简：AB→＋BC→＋CD→ ，(2)AB→＋GD→ ＋EC→，并标出化简结果的向量． 能力提升 12.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC→＝a，BD→ ＝b，则AF→等于( ) A.1 4a＋1 2b B.1 3a＋2 3b C.1 2a＋1 4b D.2 3a＋1 3b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、 共起点、共终点等． 2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法． 3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则 要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两 向量有共同的起点． 4．a－b 表示的是由 b 的终点指向 a 的终点的一条有向线段． 第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算 知识梳理 1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段 ②AB→ 2．(1)长度为 0 0 (2)模为 1 (3)相同 相等 (4)相等 相反 －a 3．a＋b a－b (1)b＋a (2)a＋(b＋c) 作业设计 1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．] 2．D [OA→ －OB→ ＝BA→ ＝CD→ .] 3．C [∵D 为 BC 边中点，∴OB→ ＋OC→ ＝2OD→ ， ∴OA→ ＋OD→ ＝0，∴AO→ ＝OD→ .] 4．D [由|AB→ |＝|AC→ |＋|BC→ |＝|AC→ |＋|CB→ |，知 C 点在线段 AB 上，否则与三角形两边之和 大于第三边矛盾，所以AC→ 与CB→ 同向．] 5．A [如图所示， ∵DD1 → ＝AA1 → ，DD→ 1－AB→ ＝AA1 → －AB→ ＝BA1 → ， BA1 → ＋BC→＝BD→ 1， ∴DD1 → －AB→ ＋BC→＝BD1 → .] 6．A [观察平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 可知，向量EF→，GH→ ，PQ→ 平移后可以首尾相连， 于是EF→＋GH→ ＋PQ→ ＝0.] 7．7 解析 |D'C'→ |＝|DC→ |＝|C'D'→ |＝|CD→ |＝|BA→| ＝|AB→ |＝|B'A'→ |＝|A'B'→ |. 8．重心 解析 如图，取 BC 的中点 O，AC 的中点 D，连结 OG、DG.由题意知AG→ ＝－BG→ －CG→ ＝GB→ ＋GC→ ＝2GO→ ，同理BG→ ＝2GD→ ，故 G 为△ABC 的重心． 9．3 解析 ①真命题；②假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真 命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量 可用有向线段来表示，但并不是有向线段． 10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不 要求两个向量 AB ， CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为 1，但方 向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的．④正确．⑤正确． 11．解 (1) AB→＋BC→＋CD→ ＝AC→＋CD→ ＝AD→ . (2)∵E，F，G 分别为 BC，CD，DB 的中点． ∴BE→＝EC→，EF→＝GD→ . ∴AB→＋GD→ ＋EC→ ＝AB→＋EF→＋BE→＝AF→. 故所求向量AD→ ，AF→，如图所示． 12．D [AF→＝AC→＋CF→＝a＋2 3CD→ ＝a＋1 3(b－a)＝2 3a＋1 3b.] 13．证明 如图所示，平行六面体 ABCD—A′B′C′D′，设点 O 是 AC′的中点， 则AO→ ＝1 2AC'→ ＝1 2(AB→＋AD→ ＋AA'→ )． 设 P、M、N 分别是 BD′、CA′、DB′的中点． 则 AP ＝AB→＋BP→＝AB→＋1 2BD'→ ＝AB→＋1 2(BA→＋BC→＋BB'→ ) ＝AB→＋1 2(－AB→＋AD→ ＋AA'→ ) ＝1 2(AB→＋AD→ ＋AA'→ )． 同理可证：AM→ ＝1 2(AB→＋AD→ ＋AA'→ ) AN→＝1 2(AB→＋AD→ ＋AA'→ )． 由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．