2019版一轮复习理数通用版第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用 69页

第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用 教材复习课 “基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过 指数与对数的基本运算 [过双基] 一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a)n＝a. (2)当 n 为奇数时，n an＝a. (3)当 n 为偶数时，n an＝|a|＝ a a≥0， －a a<0. (4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂： ①正分数指数幂：am n ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n >1)． ②负分数指数幂：a－m n ＝ 1 am n ＝ 1 n am (a>0，m，n∈N*，且 n >1)． ③0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 二、对数及对数运算 1．对数的定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 x＝loga N， 其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数． 2．对数的性质 (1)loga1＝0，logaa＝1. (2)alogaN＝N，logaaN＝N. (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1，M >0，N >0，那么 (1)loga(M N)＝logaM＋loga N. (2)loga M N ＝logaM－loga N. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． (4)换底公式 logab＝logmb logma(a>0 且 a≠1，b>0，m>0，且 m≠1)． 1．化简 a 2 3 ·b－1 1 2 ·a 1 2 ·b 1 3 6 a·b5 (a>0，b>0)的结果是( ) A．a B．ab C．a2b D.1 a 解析：选 D 原式＝ a 3 1 b 1 2 a 1 2 b 1 3 a 1 6 b 5 6 ＝a  1 11 3 62 ·b  1 51 3 62 ＝1 a. 2．若 x＝log43，则(2x－2－x)2＝( ) A.9 4 B.5 4 C.10 3 D.4 3 解析：选 D 由 x＝log43，得 4x＝3，即 4－x＝1 3 ，(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋1 3 ＝4 3. 3. log232－4log23＋4＋log2 1 3 ＝( ) A．2 B．2－2log23 C．－2 D．2log23－2 解析：选 B log232－4log23＋4＋log2 1 3 ＝ log23－22－log23＝2－log23－log23＝2－ 2log23. 4．已知 f(x)＝2x＋2－x，若 f(a)＝3，则 f(2a)＝( ) A．11 B．9 C．7 D．5 解析：选 C 由题意可得 f(a)＝2a＋2－a＝3，则 f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝7. [清易错] 1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根 号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号． 2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简 －x3 x 的结果是( ) A．－ －x B. x C．－ x D. －x 解析：选 A 依题意知 x<0，故 －x3 x ＝－ －x3 x2 ＝－ －x. 2．若 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则x y 的值为________． 解析：∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)， ∴xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0， 即(x－y)(x－4y)＝0，解得 x＝y 或 x＝4y. 又 x>0，y>0，x－2y>0， 故 x＝y 不符合题意，舍去． 所以 x＝4y，即x y ＝4. 答案：4 二次函数 [过双基] 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 －∞，－ b 2a 上单调递减； 在 － b 2a ，＋∞ 上单调递增 在 －∞，－ b 2a 上单调递增； 在 － b 2a ，＋∞ 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线 x＝－ b 2a 对称 1．若二次函数 y＝－2x2－4x＋t 的图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 解析：选 C ∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得 t＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数 f(x)＝x2－ax－3 在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数 a 的取值范围为( ) A．[8，＋∞) B．(－∞，8] C．[4，＋∞) D．[－4，＋∞) 解析：选 A 函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝a 2 ，由题意得a 2 ≥4，解得 a≥8. 3．(2017·宜昌二模)函数 f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是( ) A．[－20,4] B．(－20,4) C. －20，9 2 D. －20，9 2 解析：选 C 由函数 f(x)＝－2x2＋6x 可知，二次函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x ＝3 2 ，当－2≤x<3 2 时，函数 f(x)单调递增，当3 2 ≤x≤2 时，函数 f(x)单调递减，∴f(x)max＝f 3 2 ＝－2×9 4 ＋6×3 2 ＝9 2 ，又 f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数 f(x)的值域为 －20，9 2 . [清易错] 易忽视二次函数表达式 f(x)＝ax2＋bx＋c 中的系数 a≠0. 若二次函数 f(x)＝ax2－4x＋c 的值域为[0，＋∞)，则 a，c 满足的条件是________． 解析：由已知得 a>0， 4ac－16 4a ＝0， ⇒ a>0， ac－4＝0. 答案：a>0，ac＝4 幂函数 [过双基] 1．幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数． 2．常见的 5 种幂函数的图象 3．常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x1 2 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0]减， [0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0， ＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 1．幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是( ) 解析：选 C 令 f(x)＝xα，则 4α＝2， ∴α＝1 2 ，∴f(x)＝x1 2.故 C 正确． 2．(2018·贵阳监测)已知幂函数 y＝f(x)的图象经过点 1 3 ， 3 ，则 f 1 2 ＝( ) A.1 2 B．2 C. 2 D. 2 2 解析：选 C 设幂函数的解析式为 f(x)＝xα，将 1 3 ， 3 代入解析式得 3－α＝ 3，解得α ＝－1 2 ，∴f(x)＝x－1 2 ，f 1 2 ＝ 2，故选 C. 3．若函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数 m 的 值是( ) A．－1 B．2 C．3 D．－1 或 2 解析：选 B ∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又 f(x)在 x∈(0，＋∞)上是增函数，所以 m＝2. [清易错] 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第 二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂 函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则 m 的值为 ( ) A．－10，且 a≠1) a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 当 x＝0 时，y＝1，即过定点(0,1) 当 x＞0 时，y＞1；当 x＜0 时， 0＜y＜1 当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＜0 时，y＞1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 1．函数 f(x)＝ax－2＋1(a>0，且 a≠1)的图象必经过点( ) A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2) 解析：选 D 由 f(2)＝a0＋1＝2，知 f(x)的图象必过点(2,2)． 2．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) 解析：选 A 要使 f(x)有意义须满足 1－2x≥0，即 2x≤1，解得 x≤0. 3．函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( ) 解析：选 C 当 x＝1 时，y＝a1－a＝0，所以函数 y＝ax－a 的图象过定点(1,0)，结合选 项可知选 C. 4．设 a＝ 3 5 2 5 ，b＝ 2 5 3 5 ，c＝ 2 5 2 5 ，则 a，b，c 的大小关系是( ) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选 A 构造指数函数 y＝ 2 5 x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得 b0 时，有 3 5 x> 2 5 x，故 3 5 2 5> 2 5 2 5 ，即 a>c， 故 a>c>b. 5．下列四类函数中，具有性质“对任意的 x>0，y>0，函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)f(y)” 的是( ) A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．余弦函数 解析：选 C 由指数运算的规律易知，ax＋y＝ax·ay，即令 f(x)＝ax，则 f(x＋y)＝f(x)f(y)， 故该函数为指数函数． [清易错] 指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关，要特别注意区分 a>1 或 00，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ，则 a 的值为 ________． 解析：当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数， f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a. ∴a2－a＝a 2.即 a(2a－3)＝0. ∴a＝0(舍去)或 a＝3 2>1.∴a＝3 2. 当 00，且 a≠1) a>1 01 时，y∈(0，＋∞) 当 x>1 时，y∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 1．若函数 f(x)＝loga(3x－2)(a>0，且 a≠1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是( ) A. 0，2 3 B. 2 3 ，0 C．(1,0) D．(0,1) 答案：C 2．已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( ) 解析：选 B 由题意知，y＝ax 的定义域为 R，y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，故排 除 A、C；当 01 时，y＝ax 在 R 上单调递增，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，结合 B、D 图象知，B 正 确． 3．函数 y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数 y＝log2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 y＝ log2|x|的图象，再将图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝log2|x＋1| 的图象(如图所示)．由图知，函数 y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞， －1)，单调递增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－∞，－1) (－1，＋∞) 4．函数 f(x)＝loga(x2－2x－3)(a>0，a≠1)的定义域为________． 解析：由题意可得 x2－2x－3>0，解得 x>3 或 x<－1，所以函数的定义域为{x|x>3 或 x< －1}． 答案：{x|x>3 或 x<－1} [清易错] 解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数 y＝ log2 3 2x－1 的定义域是( ) A．[1,2] B．[1,2) C. 1 2 ，1 D. 1 2 ，1 解析：选 D 要使函数有意义，则 log2 3 2x－1≥0， 2x－1>0， 解得1 20，且 a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a 的值为 ________． 解析：当 a>1 时，函数 y＝logax 在[2,4]上是增函数，所以 loga4－loga2＝1，即 loga2＝ 1，所以 a＝2. 当 00， 满足 f(x)＝1 的 x 的值为( ) A．1 B．－1 C．1 或－2 D．1 或－1 解析：选 D 由题意，方程 f(x)＝1 等价于 x≤0， 2－x－1＝1 或 x>0， x1 2 ＝1， 解得 x＝－1 或 1. 2．函数 f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( ) 解析：选 B 令 x＝1，x－1＝0，显然 f(x)＝ln|x－1|无意义，故排除 A；由|x－1|>0 可 得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除 D；由复合函数的单调性可知 f(x)在(1，＋ ∞)上是增函数，故排除 C，选 B. 3．(2018·郑州模拟)设 abc>0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( ) 解析：选 D 结合二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象知： 当 a<0，且 abc>0 时，若－ b 2a<0，则 b<0，c>0，故排除 A， 若－ b 2a>0，则 b>0，c<0，故排除 B. 当 a>0，且 abc>0 时，若－ b 2a<0，则 b>0，c>0，故排除 C， 若－ b 2a>0，则 b<0，c<0，故选项 D 符合． 4．设 a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝log20.3，则 a，b，c，d 的大小关系是( ) A．d2，d＝log20.3<0， 由指数函数的性质可知 00)． ∵函数 y＝(t＋1)2 在(0，＋∞)上递增， ∴y>1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选 B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y＝ x，xy≥0， y，xy<0， 例如：3 4＝3，(－2) 4＝4，则 函数 f(x)＝x2 (2x－x2)的最大值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选 D 由题意可得 f(x)＝x2 (2x－x2)＝ x2，0≤x≤2， 2x－x2，x>2 或 x<0， 当 0≤x≤2 时， f(x)∈[0,4]；当 x>2 或 x<0 时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数 f(x)的最大值为 4，故选 D. 7．已知函数 f(x)＝lg 2 1－x ＋a 是奇函数，且在 x＝0 处有意义，则该函数为( ) A．(－∞，＋∞)上的减函数 B．(－∞，＋∞)上的增函数 C．(－1,1)上的减函数 D．(－1,1)上的增函数 解析：选 D 由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝lg 2 1－x －1 ＝lgx＋1 1－x ， 令x＋1 1－x >0，则－10， 9－4a≥0， 解得 a≤9 4.故选 A. 二、填空题 9．(2018·连云港调研)当 x>0 时，函数 y＝(a－8)x 的值恒大于 1，则实数 a 的取值范围是 ________． 解析：由题意知，a－8>1，解得 a>9. 答案：(9，＋∞) 10．若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)＝3f(2)，则 f 1 2 的值等于________． 解析：设 f(x)＝xα， 又 f(4)＝3f(2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log23， ∴f 1 2 ＝ 1 2 log23＝1 3. 答案：1 3 11．若函数 f(x)＝ e1－x，x≤1， lnx－1，x>1， 则使得 f(x)≥2 成立的 x 的取值范围是________． 解析：由题意，f(x)≥2 等价于 x≤1， e1－x≥2 或 x>1， lnx－1≥2， 解得 x≤1－ln 2 或 x≥1＋e2， 则使得 f(x)≥2 成立的 x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e2，＋∞) 12．若对任意 x∈ 0，1 2 ，恒有 4x0 且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是________． 解析：令 f(x)＝4x，则 f(x)在 0，1 2 上是增函数，g(x)＝logax，当 a>1 时，g(x)＝logax 在 0，1 2 上是增函数，且 g(x)＝logax<0，不符合题意；当 00，a≠1)，且 f(2)－f(4)＝1. (1)若 f(3m－2)>f(2m＋5)，求实数 m 的取值范围； (2)求使 f x－4 x ＝log1 23 成立的 x 的值． 解：(1)由 f(2)－f(4)＝1，得 a＝1 2. ∵函数 f(x)＝log1 2x 为减函数且 f(3m－2)>f(2m＋5)， ∴0<3m－2<2m＋5，解得2 30 恒成立，求实数 m 的取值 范围． 解：(1)∵函数 f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)， ∴a－ 2 2x＋1 ＝－a＋ 2 2－x＋1 ， ∴2a＝ 2·2x 2x＋1 ＋ 2 2x＋1 ＝2， ∴a＝1. (2)f(x)在 R 上为单调递增函数． 证明如下：设任意 x1，x2∈R，且 x10， ∴f(x1)0 恒成立， ∴f[t2－(m－2)t]>－f(t2－m＋1)＝f(m－t2－1)， ∴t2－(m－2)t>m－1－t2 对 t∈R 恒成立， 化简得 2t2－(m－2)t－m＋1>0， ∴Δ＝(m－2)2＋8(m－1)<0， 解得－2－2 23－2a>0 或 3－2a0)，将点 D(1,1)代入得，a＝1 4 ， 即 y＝1 4(x－3)2. 2．已知二次函数 f(x)是偶函数，且 f(4)＝4f(2)＝16，则函数 f(x)的解析式为________． 解析：由题意可设函数 f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则 f(4)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得 a＝1，c＝0，故 f(x)＝x2. 答案：f(x)＝x2 二次函数的图象与性质 高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等 式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与 性质的应用. 常见的命题角度有： 1二次函数的图象与性质； 2二次函数的最值问题. 角度一：二次函数的图象与性质 1．(2018·武汉模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋2ax＋b(1f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)与 f(x2)的大小关系不能确定 解析：选 A f(x)的对称轴为 x＝－1，因为 10(1f(x1)； 若－1≤x1－2，又因为 f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以 f(x1)0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线 x＝1.所以 f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)时，有 0≤m≤2. [方法技巧] 解决二次函数图象与性质问题的 2 个注意点 (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一 不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解． 角度二：二次函数的最值问题 3．已知二次函数 f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求 f(x)的最小值． 解：(1)当 a>0 时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为 x＝1 a. ①当1 a ≤1，即 a≥1 时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内， ∴f(x)在 0，1 a 上递减，在 1 a ，1 上递增． ∴f(x)min＝f 1 a ＝1 a －2 a ＝－1 a. ②当1 a>1，即 01 时，函数图象如图(3)，函数 f(x)在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为 f(a) ＝a2－2a＋2. 综上可知，g(a)＝ a2＋1，a<0， 1，0≤a≤1， a2－2a＋2，a>1. [方法技巧] 二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对 称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对 称轴与所给区间的相对位置关系． 1．(2016·全国卷Ⅲ)已知 a＝2 4 3 ，b＝4 2 5 ，c＝25 1 3 ，则( ) A．b4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即 b2>4ac，①正确；对 称轴为 x＝－1，即－ b 2a ＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b ＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a， 即 5a0， f－1＝x2－5x＋6>0， 解得 x<1 或 x>3. 5．若函数 f(x)＝mx2－2x＋3 在[－1，＋∞)上递减，则实数 m 的取值范围为( ) A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－∞，－1] D．[－1,0] 解析：选 D 当 m＝0 时，f(x)＝－2x＋3 在 R 上递减，符合题意； 当 m≠0 时，函数 f(x)＝mx2－2x＋3 在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴 x＝1 m ≤－1，且 m<0， 解得－1≤m<0， 综上，实数 m 的取值范围为[－1,0]． 6．设函数 f(x)＝ x2－4x＋6，x≥0， x＋6，x<0， 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 解析：选 A ∵f(1)＝3，∴不等式 f(x)>f(1)，即 f(x)>3. ∴ x≥0， x2－4x＋6>3 或 x<0， x＋6>3， 解得 x>3 或－3b，c>d.若 f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为 c，d， 则下列不等式正确的是( ) A．a>c>b>d B．a>b>c>d C．c>d>a>b D．c>a>b>d 解析：选 D f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又 f(a)＝f(b)＝2 017，c，d 为函数 f(x)的零点，且 a>b，c>d, 所以 可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，由图可知 c>a>b>d，故选 D. 8．(2017·浙江高考)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0,1]上的最大值是 M，最小值是 m， 则 M－m( ) A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关 解析：选 B f(x)＝ x＋a 2 2－a2 4 ＋b， ①当 0≤－a 2 ≤1 时，f(x)min＝m＝f －a 2 ＝－a2 4 ＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1 ＋a＋b}， ∴M－m＝max a2 4 ，1＋a＋a2 4 与 a 有关，与 b 无关； ②当－a 2<0 时，f(x)在[0,1]上单调递增， ∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a 与 a 有关，与 b 无关； ③当－a 2>1 时，f(x)在[0,1]上单调递减， ∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a 与 a 有关，与 b 无关． 综上所述，M－m 与 a 有关，但与 b 无关． 二、填空题 9．已知幂函数 f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是 偶函数，则 m 的值为________． 解析：∵幂函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即 m2－2m－3<0，解得－10)对任意实数 t，在闭区间[t－1，t ＋1]上总存在两实数 x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8 成立，则实数 a 的最小值为________． 解析：由题意可得，当 x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1] 关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min 取得最小值，即 f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－ f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得 a≥8，所以实数 a 的最小值为 8. 答案：8 12．设函数 f(x)＝ x3，x≤a， x2，x>a， 若存在实数 b，使得函数 y＝f(x)－bx 恰有 2 个零点，则 实数 a 的取值范围为_______． 解析：显然 x＝0 是 y＝f(x)－bx 的一个零点； 当 x≠0 时，令 y＝f(x)－bx＝0 得 b＝fx x ， 令 g(x)＝fx x ＝ x2，x≤a， x，x>a， 则 b＝g(x)存在唯一一个解． 当 a<0 时，作出函数 g(x)的图象，如图所示， 显然当 a0 时，作出函数 g(x)的图象，如图所示， 若要使 b＝g(x)存在唯一一个解，则 a>a2，即 04 时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0， ∴a≤7 3. 又 a>4，∴a 不存在． (2)当－2≤－a 2 ≤2，即－4≤a≤4 时， g(a)＝f －a 2 ＝－a2 4 －a＋3≥0， ∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4， ∴－4≤a≤2. (3)当－a 2>2，即 a<－4 时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7. 又 a<－4，∴－7≤a<－4. 综上可知，a 的取值范围为[－7,2]． 1．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象经过点 A(m1，f(m1))和点 B(m2，f(m2))，f(1) ＝0.若 a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，则( ) A．b≥0 B．b<0 C．3a＋c≤0 D．3a－c<0 解析：选 A 由 f(1)＝0 可得 a＋b＋c＝0，若 a≤0，由 a>b>c，得 a＋b＋c<0，这与 a ＋b＋c＝0 矛盾，故 a>0，若 c≥0，则有 b>0，a>0，此时 a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c＝0 矛盾； 所以 c<0 成立，因为 a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，所以(a＋f(m1))(a＋f(m2))＝0， 所以 m1，m2 是方程 f(x)＝－a 的两个根，Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，而 a>0， c<0，所以 3a－c>0，所以 b≥0. 2．设函数 f(x)＝2ax2＋2bx，若存在实数 x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数 a，b，均 有 f(x0)＝a＋b 成立，则 t 的取值范围是________． 解析：因为存在实数 x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数 a，b，均有 f(x0)＝a＋b 成立， 所以 2ax2＋2bx＝a＋b 等价于(2x－1)b＝(1－2x2)a. 当 x＝1 2 时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故 x≠1 2 ； 当 x≠1 2 时，(2x－1)b＝(1－2x2)a 等价于b a ＝1－2x2 2x－1 ， 设 2x－1＝k，因为 x≠1 2 ，所以 k≠0，则 x＝k＋1 2 ， 则b a ＝1－2 k＋1 2 2 k ＝1 2 1 k －k－2 . 设 g(k)＝1 2 1 k －k－2 ， 则函数 g(k)在(－1,0)，(0,2t－1)上的值域为 R. 又因为 g(k)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以 g(k)在(－1，0)，(0,2t－1)上单调递减， 故当 k∈(－1,0)时，g(k)g(2t－1)＝1 2 1 2t－1 －2t－1 ，故要使值域为 R，则 g(2t－1)1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二) 指数函数的 2 类考查点——图象、性质 [全国卷 5 年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 指数函数的图象 5 年 3 考 指数函数图象的应用 指数函数的性质 5 年 3 考 比较大小、求值 指数函数的图象及应用 [典例] (1)函数 f(x)＝ ex·x2 e2x＋1 的大致图象是( ) (2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程 2x－a＝ 1 x－1 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,2) D．(0,1) [解析] (1)因为 f(－x)＝ e－x·x2 e－2x＋1 ＝ ex·x2 1＋e2x ＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，所以排除 A、 D 项．当 x＝0 时，y＝0，故排除 B 项，选 C. (2)在同一坐标系内分别作出函数 y＝ 1 x－1 和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a∈(0,2)时 符合要求． [答案] (1)C (2)C [方法技巧] 指数函数图象问题的求解策略 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， －1，1 a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变 换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数 f(x)＝2|x－1|的图象是( ) 解析：选 B 由题意得 f(x)＝ 2x－1，x≥1， 1 2 x－1，x<1， 结合图象知，选 B. 2．(2018·衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________． 解析：曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1 与直线 y ＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]． 答案：[－1,1] 指数函数的性质 角度一：比较大小或解不等式 1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A． B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D． 解析：选 B A 中，∵函数 y＝1.7x 在 R 上是增函数，2.5<3，∴，故 A 错误； B 中，∵y＝0.6x 在 R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故 B 正确； C 中，∵0.8－1＝1.25， ∴问题转化为比较 ∵y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1<0.2， ∴， 即 0.8－0.1<1.250.2，故 C 错误； D 中， ∵,0<， ∴，故 D 错误． 2．(2018·绍兴模拟)设偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( ) A．{x|x<－2 或 x>4} B．{x|x<0 或 x>4} C．{x|x<0 或 x>6} D．{x|x<－2 或 x>2} 解析：选 B ∵f(x)为偶函数， 当 x<0 时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4. ∴f(x)＝ 2x－4，x≥0， 2－x－4，x<0， 若 f(x－2)>0， 则有 x－2≥0， 2x－2－4>0 或 x－2<0， 2－x＋2－4>0， 解得 x>4 或 x<0. [方法技巧] (1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一 指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大 小． (2)有关指数不等式问题，应注意 a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题 3．已知 0≤x≤2，则 y＝4x－1 2 －3·2x＋5 的最大值为________． 解析：令 t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4， 又 y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝1 2t2－3t＋5＝1 2(t－3)2＋1 2 ，∵1≤t≤4，∴t＝1 时，ymax＝5 2. 答案：5 2 [方法技巧] 形如 y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且 a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令 t＝ax 转化为 y＝ t2＋bt＋c 的最值问题，注意根据指数函数求 t 的范围． 角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，且 a≠1)，满足 f(1)＝1 9 ，则 f(x)的单调递减区间是( ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：选 B 由 f(1)＝1 9 ，得 a2＝1 9 ，解得 a＝1 3 或 a＝－1 3(舍去)，即 f(x)＝ 1 3 |2x－4|.由于 y ＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以 f(x)在(－∞，2]上递增，在[2， ＋∞)上递减，故选 B. 5．已知函数 f(x)＝a|x＋1|(a>0，且 a≠1)的值域为[1，＋∞)，则 f(－4)与 f(1)的大小关系是 ________________． 解析：∵|x＋1|≥0，函数 f(x)＝a|x＋1|(a>0，且 a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数 f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线 x＝－1 对称，则函数在(－∞， －1)上是减函数，故 f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)． 答案：f(－4)>f(1) [方法技巧] 与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成， 要注意数形结合思想的运用． 角度四：与指数函数有关的最值与参数问题 6．设 x，y∈R，a>1，b>1，若 ax＝by＝3，a＋b＝2 3，则1 x ＋1 y 的最大值为( ) A．2 B.3 2 C．1 D.1 2 解析：选 C 由 ax＝by＝3，可得 a＝31 x ，b＝31 y ， 所以 2 3＝a＋b＝31 x ＋31 y ≥2 31 x ＋1 y ， 则1 x ＋1 y ≤1，当且仅当 x＝y 时，等号成立． 故1 x ＋1 y 的最大值为 1. 7．已知函数 f(x)＝ 2x－1，x>0， －x2－2x，x≤0， 若函数 g(x)＝f(x)＋3m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是________． 解析：因为函数 g(x)＝f(x)＋3m 有 3 个零点，所以函数 y＝f(x) 的图象与直线 y＝－3m 有三个不同的交点，作出函数 y＝f(x)＝ 2x－1，x>0， －x2－2x，x≤0 的图象如图所示，则 0<－3m<1，所以－1 3－1，选 D. 法二：由 2x(x－a)<1 得 a>x－ 1 2x. 令 f(x)＝x－ 1 2x ，即 a>f(x)有解，则 a>f(x)min. 又 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以 f(x)>f(0)＝－1， 所以 a>－1，选 D. 2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ x＋1，x≤0， 2x，x>0， 则满足 f(x)＋f x－1 2 >1 的 x 的取值范 围是________． 解析：由题意知，可对不等式分 x≤0,01 2 讨论． 当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋1 2>1，解得 x>－1 4 ， ∴－1 41，显然成立． 当 x>1 2 时，原不等式为 2x＋2x－1 2>1，显然成立． 综上可知，x 的取值范围是 －1 4 ，＋∞ . 答案： －1 4 ，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式 2x2－x＜4 的解集为________． 解析：∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22， ∴x2－x＜2，即 x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2. 答案：{x|－1＜x＜2} 4．(2015·山东高考)已知函数 f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a ＋b＝________. 解析：当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得 a－1＋b＝－1， a0＋b＝0 无解． 当 0b>1.又∵c＝2log52＝log54<1，∴c0，且 a≠1)的图象恒过点 A，下列函数中图象 不经过点 A 的是( ) A．y＝ 1－x B．y＝|x－2| C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x) 解析：选 A 由题知 A(1,1)．把点 A(1,1)代入四个选项，选项 A，y＝ 1－x的图象不经 过点 A. 5．(2018·广西质量检测)若 xlog52≥－1，则函数 f(x)＝4x－2x＋1－3 的最小值为( ) A．－4 B．－3 C．－1 D．0 解析：选 A ∵xlog52≥－1，∴2x≥1 5 ，则 f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2 －4.当 2x＝1 时，f(x)取得最小值－4. 6．已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 解析：选 D 作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又 af(c)>f(b)， 结合图象知 f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1， ∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a， f(c)＝|2c－1|＝2c－1. 又 f(a)>f(c)，即 1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2. 7．(2018·东北三校联考)若关于 x 的方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是( ) A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C．(1，＋∞) D. 0，1 2 解析：选 D 方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y＝|ax－1|与 y＝2a 有两个交点． ①当 01 时，如图②，而 y＝2a>1 不符合要求． ∴00，且 a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值 为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝________. 解析：若 a>1，有 a2＝4，a－1＝m，此时 a＝2，m＝1 2 ，此时 g(x)＝－ x为减函数，不合 题意．若 00，a≠1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)．若不等式 1 a x＋ 1 b x－m≥0 在 x∈(－∞，1]上恒成立，则实数 m 的最大值 为________． 解析：把 A(1,6)，B(3,24)代入 f(x)＝b·ax，得 6＝ab， 24＝b·a3， 结合 a>0，且 a≠1，解得 a＝2， b＝3， 要使 1 2 x＋ 1 3 x≥m 在 x∈(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数 y＝ 1 2 x＋ 1 3 x 在(－∞，1]上的最小值不小于 m 即可． 因为函数 y＝ 1 2 x＋ 1 3 x 在(－∞，1]上为减函数， 所以当 x＝1 时， y＝ 1 2 x＋ 1 3 x 有最小值5 6. 所以只需 m≤5 6 即可． 所以 m 的最大值为5 6. 答案：5 6 12．(2018·湖南八校联考)对于给定的函数 f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，且 a≠1)，下面给出 五个命题，其中真命题是________．(填序号) ①函数 f(x)的图象关于原点对称； ②函数 f(x)在 R 上不具有单调性； ③函数 f(|x|)的图象关于 y 轴对称； ④当 01 时，函数 f(|x|)的最大值是 0. 解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①是真命题；当 a>1 时，f(x)在 R 上为增函数，当 01 时，f(|x|)在(－ ∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当 x＝0 时，y＝f(|x|)的最小值为 0，⑤是假 命题．综上，真命题是①③④. 答案：①③④ 三、解答题 13．已知函数 f(x)＝m·4x＋1 2x 是偶函数． (1)求实数 m 的值； (2)若关于 x 的不等式 2k·f(x)>3k2＋1 在(－∞，0)上恒成立，求实数 k 的取值范围． 解：(1)因为函数 f(x)＝m·4x＋1 2x 是定义在 R 上的偶函数，所以有 f(－x)＝f(x)， 即m·4－x＋1 2－x ＝m·4x＋1 2x ， 即m＋4x 2x ＝m·4x＋1 2x ，故 m＝1. (2)因为 f(x)＝4x＋1 2x >0,3k2＋1>0，且 2k·f(x)>3k2＋1 在(－∞，0)上恒成立， 故原不等式等价于 2k 3k2＋1> 1 fx 在(－∞，0)上恒成立， 又因为 x∈(－∞，0)， 所以 f(x)∈(2，＋∞)，从而 1 fx ∈ 0，1 2 ， 故 2k 3k2＋1 ≥1 2 ，解得1 3 ≤k≤1， 所以实数 k 的取值范围为 1 3 ，1 . 14．设函数 f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数． (1)求 k 的值； (2)若 f(1)<0，试判断 y＝f(x)的单调性(不需证明)，并求使不等式 f(x2＋tx)＋f(4－x)<0 恒 成立的 t 的取值范围； (3)若 f(1)＝3 2 ，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求 g(x)在[1，＋∞)上的最小值． 解：(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数，∴f(0)＝0， ∴1－(k－1)＝0，∴k＝2. (2)由(1)知 f(x)＝ax－a－x(a>0，且 a≠1)， ∵f(1)<0，∴a－1 a<0. 又 a>0，且 a≠1，∴0x－4，即 x2＋(t－1)x＋4>0 恒成立， ∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3a>0，c>b>0.若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，则 下列结论中正确的个数是( ) ①对于∀x∈(－∞，1)，都有 f(x)>0； ②存在 x>0，使 ax，bx，cx 不能构成一个三角形的三边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则存在 x∈(1,2)，使 f(x)＝0. A．3 B．2 C．1 D．0 解析：选 A ①因为 a，b，c 是△ABC 的三条边长，所以 a＋b>c，因为 c>a>0，c>b>0， 所以 0cx a c ＋b c －1 ＝ cx·a＋b－c c >0，故①正确； ②令 a＝2，b＝3，c＝4，则 a，b，c 可以构成三角形，但 a2＝4，b2＝9，c2＝16 却不能 构成三角形，所以②正确； ③已知 c>a>0，c>b>0，若△ABC 为钝角三角形，则 a2＋b2－c2<0，因为 f(1)＝a＋b－c>0， f(2)＝a2＋b2－c2<0，根据零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在 x∈(1,2)， 使 f(x)＝0，故③正确． 2．(2018·广东五校联考)已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x1∈[0,1]，总存在唯一 的 x2∈[－1,1]，使得 x1＋x22ex2－a＝0 成立，则实数 a 的取值范围是( ) A．[1，e] B．(1，e] C. 1＋1 e ，e D. 1＋1 e ，e 解析：选 C 令 f(x1)＝a－x1，则 f(x1)＝a－x1 在 x1∈[0,1]上单调递减，且 f(0)＝a，f(1) ＝a－1.令 g(x2)＝x22ex2，则 g′(x2)＝2x2ex2＋x22ex2＝x2ex2(x2＋2)，且 g(0)＝0，g(－1)＝1 e ，g(1) ＝e.若对任意的 x1∈[0,1]，总存在唯一的 x2∈[－1,1]，使得 x1＋x22ex2－a＝0 成立，即 f(x1) ＝g(x2)，则 f(x1)＝a－x1 的最大值不能大于 g(x2)的最大值，即 f(0)＝a≤e，因为 g(x2)在[－1,0] 上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当 g(x2)∈ 0，1 e 时，存在两个 x2 使得 f(x1)＝g(x2)．若 只有唯一的 x2∈[－1,1]，使得 f(x1)＝g(x2)，则 f(x1)的最小值要比1 e 大，所以 f(1)＝a－1>1 e ， 即 a>1＋1 e ，故实数 a 的取值范围是 1＋1 e ，e ，故选 C. 3．(2018·湖南六校联考)已知实数 a>0，函数 f(x)＝ ex－1＋a 2 ，x≤0， ex－1＋a 2x2－a＋1x＋a 2 ，x>0， 若 关于 x 的方程 f[－f(x)]＝e－a＋a 2 有三个不等的实根，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1，2＋2 e B. 2，2＋2 e C. 1，1＋1 e D. 2，2＋1 e 解析：选 B 当 x≤0 时，令 f(x)＝e－a＋a 2 ，即 ex－1＝e－a，得 x＝1－a； 当 x>0 时，令 f(x)＝e－a＋a 2 得 ex－1＋a 2x2－(a＋1)x＋a 2 ＝e－a＋a 2 ，显然方程无解， 所以 1－a≤0，即 a≥1， 因为 f[－f(x)]＝e－a＋a 2 ， 所以－f(x)＝1－a，即 f(x)＝a－1， 所以方程 f(x)＝a－1 有三解， 当 x≤0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且当 x→－∞时，f(x)→a 2 ， 当 x>0 时，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1， 所以 f′(x)是增函数，且 f′(1)＝0， 所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又 f(1)＝0，当 x→＋∞时，f(x)→＋∞， 作出 f(x)的大致图象如图所示， 因为方程 f(x)＝a－1 有三解， 所以a 20 B．a＋b>1 C．2a＋b>0 D．2a＋b>1 [解析] (1)由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于 y 轴对称．设 g(x)＝ loga|x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象，然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x<0 时 g(x)的图 象，最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A. (2)作出函数 f(x)＝|ln (x＋1)|的图象如图所示，由 f(a)＝f(b)，得－ln(a ＋1)＝ln (b＋1)，即 ab＋a＋b＝0.所以 0＝ab＋a＋b<a＋b2 4 ＋a＋b， 即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－10， ∴a＋b＋4>0.∴a＋b>0.故选 A. [答案] (1)A (2)A [方法技巧] 应用对数型函数的图象可求解的 2 类问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [即时演练] 1．函数 y＝ln 1 |2x－3| 的图象大致为( ) 解析：选 A 易知 2x－3≠0，即 x≠3 2 ，排除 C、D.当 x>3 2 时，函数为减函数，当 x<3 2 时， 函数为增函数，所以选 A. 2．若 log6a＝log7b，则 a，b,1 的大小关系可能是( ) A．a>b>1 B．b>1>a C．a>1>b D．1>a>b 解析：选 D 作出函数 y＝log6x 与 y＝log7x 的大致图象如图所示， 因为 log6a＝log7b，所以由图象可得 12， 若 a，b，c，d 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)， 则 a＋b＋c＋d 的取值范围为________． 解析：作出函数 f(x)的图象，如图所示，令 a2 ab＝2，当 f(a)＝f(b)＝1 时，可得 a＋b＝5 2 ， 所以 22 时，f(x)＝1 3x2－8 3x＋5 的对称轴为 x＝4，又 f(2)＝1 3 ×22－8 3 ×2＋5＝1， 且 f(c)＝f(d)，所以 c＋d＝8，所以 a＋b＋c＋d∈ 10，21 2 . 答案： 10，21 2 对数函数的性质及应用 对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查， 难度低、中、高档都有. 常见的命题角度有： 1比较大小与求值； 2与对数函数有关的单调性； 3由对数的单调性求参数或自变量的取值范围； 4对数函数性质的综合问题. 角度一：比较大小与求值 1．若 a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选 A 由指数函数的性质可得 a＝30.3>1， 由对数函数的性质可得 b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0， 所以 a>b>c. 2．设函数 f(x)＝ log2x，x＞0， log 1 2 －x，x＜0， 若 f(a)＞f(－a)，则实数 a 的取值范围是 ________________． 解析：由 f(a)＞f(－a)得 a＞0， log2a＞log 1 2 a 或 a＜0， log 1 2 －a＞log2－a， 即 a＞0， log2a＞－log2a 或 a＜0， －log2－a＞log2－a. 解得 a＞1 或－1＜a＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) [方法技巧] 对数函数值大小比较的 3 种方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量过 渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行 “比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 角度二：与对数函数有关的单调性 3．若函数 f(x)＝loga x2＋3 2x (a>0，a≠1)在区间 1 2 ，＋∞ 内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单调 递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D. 1 2 ，＋∞ 解析：选 A 令 M＝x2＋3 2x，当 x∈ 1 2 ，＋∞ 时，M∈(1，＋∞)，因为 f(x)>0，所以 a>1. 所以函数 y＝logaM 为增函数，又 M＝ x＋3 4 2－ 9 16 ，因此 M 的单调递增区间为 －3 4 ，＋∞ . 又 x2＋3 2x>0，所以 x>0 或 x<－3 2.所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 4．函数 f(x)＝log 1 2 (x2－2x)的单调递减区间是________． 解析：由题意得，x2－2x>0，则 x<0 或 x>2， 即函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 令 t＝x2－2x，则原函数可化为 y＝log 1 2 t， 因为 y＝log 1 2 t 是减函数，t＝x2－2x 在(2，＋∞)上是增函数， 所以函数 f(x)＝log 1 2 (x2－2x)的单调递减区间是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) [方法技巧] 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 角度三：由对数的单调性求参数或自变量的取值范围 5．函数 f(x)＝loga(ax－3)(a>0，且 a≠1)在[1,3]上单调递增，则 a 的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(0,1) C. 0，1 3 D．(3，＋∞) 解析：选 D 由于 a>0，且 a≠1， ∴u＝ax－3 为增函数， ∴若函数 f(x)为增函数，则 f(x)＝logau 必为增函数， 因此 a>1. 又 u＝ax－3 在[1,3]上恒为正， ∴a－3>0，解得 a>3，∴a 的取值范围为(3，＋∞)． 6．已知不等式 logx(2x2＋1)3x>1 ①或 x>1， 2x2＋1<3x<1 ②，解不等式组①得1 30， 1＋x 1－x <1， 解得－10，解得－b0)．又奇函数定义域关于原点对称，故 b＝1.所以 f(x) ＝loga 1－x 1＋x (01， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. ∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝ 2 logk2 － 3 logk3 ＝2logk3－3logk2 logk2·logk3 ＝logk32－logk23 logk2·logk3 ＝ logk 9 8 logk2·logk3 >0， ∴2x>3y； ∵3y－5 z＝3log3k－5log5k＝ 3 logk3 － 5 logk5 ＝3logk5－5logk3 logk3·logk5 ＝logk53－logk35 logk3·logk5 ＝ logk 125 243 logk3·logk5 <0， ∴3y<5 z； ∵2x－5 z＝2log2k－5log5k＝ 2 logk2 － 5 logk5 ＝2logk5－5logk2 logk2·logk5 ＝logk52－logk25 logk2·logk5 ＝ logk 25 32 logk2·logk5 <0， ∴5 z >2x.∴5 z >2x>3y. 2．(2016·全国卷Ⅰ)若 a>b>1,00，所以 y＝xc 为增函数，又 a>b>1， 所以 ac>bc，A 错．对于选项 B，abcf(2x－1)成立的 x 的取值 范围是( ) A. 1 3 ，1 B. －∞，1 3 ∪(1，＋∞) C. －1 3 ，1 3 D. －∞，－1 3 ∪ 1 3 ，＋∞ 解析：选 A ∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－ 1 1＋－x2 ＝f(x)，∴函数 f(x)为偶函数． ∵当 x≥0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2 ， 在(0，＋∞)上 y＝ln(1＋x)递增，y＝－ 1 1＋x2 也递增， 根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔ 1 30 恒成立．当 m＝0 时，3>0，符合题意；当 m≠0 时，只需 m>0， Δ＝－2m2－12m<0， 解得 02>log23>log45>0，所以 b0，且 a≠1)的图 象如图所示，则 a，b 满足的关系是( ) A．01.又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于－1 和 0 之间， 即－1f(2) B．f(a＋1)f(2)． 6．已知 a>b>0，a＋b＝1，x＝－ 1 a b，y＝logab 1 a ＋1 b ，z＝logb 1 a ，则 x，y，z 的大小关 系为( ) A．x< z b>0，a＋b＝1，所以 1>a>b>0， 所以1 a>1,04， 所以 x＝－ 1 a b<－1，y＝logab 1 a ＋1 b ＝－1，z＝logb 1 a ∈(－1,0)， 所以 x0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数， ∴g(b)＝2b＋1 b>3，故选 C. 8．设 a，b，c∈R 且 c≠0， x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27 lg x 2a＋b a＋b a－c＋ 1 b＋c a＋2b ＋c 3(c－a) 2(a＋b) b－a 3(a＋b) 若上表中的对数值恰有两个是错误的，则 a 的值为( ) A．lg 2 21 B.1 2lg 3 14 C.1 2lg3 7 D．lg 6 7 解析：选 B 由题意可得 lg 3＝a＋b，lg 9＝2(a＋b)，lg 27＝3(a＋b)正确， lg 5＝a－c＋1⇒lg 2＝c－a， lg 6＝b＋c⇒lg 2＝c－a， lg 8＝3(c－a)⇒lg 2＝c－a，故这三个都正确； 此时，lg 1.5＝lg 3－lg 2＝2a＋b－c≠2a＋b，所以表中 lg 1.5 错误； lg 7＝a＋2b＋c＝(a＋b)＋(b＋c)＝lg 3＋lg 6＝lg 18，显然错误； 故表中 lg 14＝b－a 是正确的． 综上，lg 2＝c－a，lg 3＝a＋b，lg 14＝b－a， 所以 a＝1 2(lg 3－lg 14)＝1 2lg 3 14. 二、填空题 9．若 log2x＝－log2(2y)，则 x＋2y 的最小值是________． 解析：由 log2x＝－log2(2y)，可得 2xy＝1，且 x，y 均为正数，则 x＋2y≥2 x·2y＝2，当 且仅当 x＝2y，即 x＝1，y＝1 2 时，等号成立，故 x＋2y 的最小值是 2. 答案：2 10．(2017·湛江一模)已知函数 f(x)＝loga 2m－1－mx x＋1 (a>0，且 a≠1)是奇函数，则函数 f(x) 的定义域为________． 解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＋f(－x)＝0， 即 loga 2m－1－mx x＋1 ＋loga 2m－1＋mx －x＋1 ＝0， 化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个 x 都成立， 所以 m＝1，此时 f(x)＝loga 1－x 1＋x . 由1－x 1＋x >0，解得－10，且 a≠1)满足对任意的 x1，x2， 当 x11， g a 2 >0， 解得 10 时，f(x)＝lg 2x 2x＋1 ，若对任意实数 t∈ 1 2 ，2 ，都有 f(t＋a)－f(t－1)≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围为________． 解析：设 u＝ 2x 2x＋1 ＝1－ 1 2x＋1 ，其在(0，＋∞)上是增函数，则 f(u)＝lg u 在(0，＋∞)上 是增函数，所以复合函数 f(x)＝lg 2x 2x＋1 在(0，＋∞)上是增函数．又因为 f(x)是定义在 R 上的 偶函数，所以 f(t＋a)－f(t－1)≥0 等价于 f(t＋a)≥f(t－1)，即|t＋a|≥|t－1|，对任意实数 t∈ 1 2 ，2 恒成立，两边平方化简可得 2(a＋1)t＋a2－1≥0 恒成立，令 g(t)＝2(a＋1)t＋a2－1，则 g 1 2 ＝a＋a2≥0， g2＝a2＋4a＋3≥0， 解得 a≤－3 或 a≥0. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞) 三、解答题 13．(2018·枣庄模拟)设 x∈[2,8]时，函数 f(x)＝1 2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且 a≠1)的最大 值是 1，最小值是－1 8 ，求实数 a 的值． 解：f(x)＝1 2(logax＋1)(logax＋2) ＝1 2[(logax)2＋3logax＋2] ＝1 2 logax＋3 2 2－1 8. 当 f(x)取最小值－1 8 时，logax＝－3 2. ∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是关于 logax 的二次函数， ∴f(x)的最大值必在 x＝2 或 x＝8 处取得． 若 1 2 loga2＋3 2 2－1 8 ＝1，则 a＝2－1 3 ， 此时 f(x)取得最小值时，x＝ 2－1 3 －3 2 ＝ 2∉[2,8]，舍去； 若 1 2 loga8＋3 2 2－1 8 ＝1，则 a＝1 2 ， 此时 f(x)取得最小值时，x＝ 1 2 －3 2 ＝2 2∈[2,8]，符合题意．∴a＝1 2. 14．已知 f(log2x)＝ax2－2x＋1－a，a∈R. (1)求 f(x)； (2)解关于 x 的方程 f(x)＝(a－1)·4x； (3)设 h(x)＝2－xf(x)，a≥1 2 时，对任意 x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋1 2 成立，求 实数 a 的取值范围． 解：(1)令 log2x＝t，即 x＝2t， 则 f(t)＝a·(2t)2－2·2t＋1－a， 即 f(x)＝a·22x－2·2x＋1－a. (2)由 f(x)＝(a－1)·4x，化简得 22x－2·2x＋1－a＝0，即(2x－1)2＝a， 当 a<0 时，方程无解， 当 a≥0 时，解得 2x＝1± a， 若 0≤a<1，则 x＝log2(1± a)， 若 a≥1，则 x＝log2(1＋ a)． (3)对任意 x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋1 2 成立，等价于当 x∈[－1,1]时，hmax －hmin≤a＋1 2 ， 由已知得，h(x)＝a·2x＋1－a 2x －2， 令 2x＝t，则 y＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 ， 令 g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 ， ①当 a≥1 时，g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 单调递增， 此时 g(t)max＝g(2)＝3a－1 2 ，g(t)min＝g 1 2 ＝－3a 2 ， g(t)max－g(t)min＝6a－3 2 ≤a＋1 2 ，解得 a≤4 5(舍去)． ②当4 5 ≤a<1 时，g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 单调递增， 此时 g(t)max＝g(2)＝3a－1 2 ，g(t)min＝g 1 2 ＝－3a 2 ， g(t)max－g(t)min＝6a－3 2 ≤a＋1 2 ，解得 a≤4 5 ，∴a＝4 5. ③当1 2 ≤a<4 5 时，g(t)＝at＋1－a t －2，t∈ 1 2 ，2 ， 在 1 2 ， 1 a －1 上单调递减，在 1 a －1，2 上单调递增， 且 g(2)≥g 1 2 ，∴g(t)max＝g(2)＝3a－1 2 ， g(t)min＝g 1 a －1 ＝2 a1－a－2， ∴g(t)max－g(t)min＝3a－1 2 －(2 a1－a－2)≤a＋1 2 即 a≤4 5 ，∴1 2 ≤a<4 5. 综上，实数 a 的取值范围为 1 2 ，4 5 . 1．已知函数 f(x)＝ cos x－π 2 ，x∈[0，π， log2 017 x π ，x∈[π，＋∞， 若存在三个不同的实数 a，b，c，使 得 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 a＋b＋c 的取值范围为________． 解析：当 x∈[0，π)时，f(x)＝cos x－π 2 ＝sin x，∴f(x)在(0，π)上关于 x＝π 2 对称，且 f(x)max ＝1；又当 x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log2 017 x π 是增函数，作出 y＝f(x)的函数图象如图所示． 令 log2 017 x π ＝1 得 x＝2 017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)， ∴a＋b＝π，c∈(π，2 017π)， ∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2 018π)． 答案：(2π，2 018π) 2．(2017·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝ x2，x∈D， x，x∉D， 其中集合 D＝ x|x＝n－1 n ，n∈N* ，则方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数是 ________． 解析：由于 f(x)∈[0,1)，因此只需考虑 1≤x<10 的情况， 在此范围内，当 x∈Q 且 x∉Z 时，设 x＝q p ，q，p∈N*，p≥2 且 p，q 互质． 若 lg x∈Q，则由 lg x∈(0,1)，可设 lg x＝n m ，m，n∈N*，m≥2 且 m，n 互质， 因此 10n m ＝q p ，则 10n＝ q p m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg x∉Q， 故 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等， 只需考虑 lg x 与每个周期内 x∉D 部分的交点． 画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x∉ D 的部分， 且 x＝1 处(lg x)′＝ 1 xln 10 ＝ 1 ln 10<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点，因此方程 f(x)－lg x ＝0 的解的个数为 8. 答案：8 高考研究课(四) 函数图象的 3 个常考方式——作图、识图、用图 [全国卷 5 年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 作图 未考查 识图 5 年 4 考 图的识别与判断 用图 5 年 4 考 函数图象的应用 作 图 [典例] 分别作出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1. [解] (1)y＝ lg x， x≥1， －lg x， 00，故排除 C； y′＝cos x＋ 1 x2 ，显然，当 x∈ 0，π 2 时，y′>0，即函数 y＝sin x－1 x 在 0，π 2 上是增函 数，因此，排除 A，故选 B. (2)法一：如图，设∠MON＝α，由弧长公式知 x＝α，在 Rt△AOM 中， |AO|＝1－t，cosx 2 ＝ |OA| |OM| ＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2x 2 －1＝2(t－1)2－ 1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B. 法二：由题意可知，当 t＝1 时，圆 O 在直线 l2 上方的部分为半圆，所 对应的弧长为π×1＝π，所以 cos π＝－1，排除 A，D；当 t＝1 2 时，如图所 示，易知∠BOC＝2π 3 ，所以 cos2π 3 ＝－1 2<0，排除 C，故选 B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧] 识别函数图象的策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 利用上述方法排除、筛选选项． [即时演练] 1．函数 y＝x5－xex 的图象大致为( ) 解析：选 B 令 x＝2，可得 y＝32－2e2>0，故选 B. 2．函数 y＝1＋x 1－x 的图象大致为( ) 解析：选 A 由 y＝1＋x 1－x ＝ 2 1－x －1，可知 x≠1，y≠－1，故选 A. 3．现有四个函数：①y＝x·sin x，②y＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x 的部分图象如 图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是________． 解析：由函数的奇偶性可知，①y＝x·sin x 是偶函数，对应第一个图；④y＝x·2x 既不是 奇函数也不是偶函数，是第二个图；③y＝x·|cos x|是奇函数，当 x>0 时，y＝x·|cos x|≥0，故 图象是第四个图，因此②y＝x·cos x 的图象是第三个图，故正确的排列为①④②③. 答案：①④②③ 图象的应用 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系 提供了“形”的直观性. 常见的命题角度有： 1确定方程根的个数； 2求参数的取值范围； 3求不等式的解集； 4研究函数的性质； 5利用函数对称性求值. 角度一：确定方程根的个数 1．已知 f(x)＝ |lg x|，x>0， 2|x|，x≤0， 则方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 解的个数是________． 解析：方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝1 2 或 1.作出 y＝f(x) 的图象，由图象知方程解的个数为 5. 答案：5 角度二：求参数的取值范围 2．已知函数 y＝|x2－1| x－1 的图象与函数 y＝kx 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围 是________． 解析：由题意，y＝f(x)＝ x＋1，x≥1 或 x≤－1， －x－1，－10)的图象与 g(x)＝cos x＋log2(x＋a)的图 象有交点，则方程 2－x－1 2 ＝log2(x＋a)(x>0)有解，令 y＝2－x－1 2 ，y＝log2(x ＋a)，则这两个函数的图象有交点，分别作出两个函数的图象如图所示，由图象可知当 a≤0 时，两函数在(0，＋∞)上必有一个交点，当 a>0 时，要满足题意，则 log2a<1 2 ，解得 00， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D. 2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数 y＝f(x)的图象与 y＝2x＋a 的图象关于直线 y＝－x 对称，且 f(－ 2)＋f(－4)＝1，则 a＝( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析：选 C 设(x，y)为 y＝f(x)图象上任意一点， 则(－y，－x)在 y＝2x＋a 的图象上， 所以有－x＝2－y＋a， 从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)， 所以 y＝a－log2(－x)， 即 f(x)＝a－log2(－x)， 所以 f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得 a＝2. 3.(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图象大致为( ) 解析：选 B 当 x∈ 0，π 4 时，f(x)＝tan x＋ 4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除 A、 C. 当 x∈ π 4 ，3π 4 时，f π 4 ＝f 3π 4 ＝1＋ 5，f π 2 ＝2 2.∵2 2<1＋ 5，∴f π 2 3，故排除 C、D； 当 x>0 时，f′(x)＝2x－cos x，显然存在 t∈ 0，1 2 ，使 f′(t)＝0，则函数 f(x)上(0，t) 是减函数，在(t,2)上是增函数，故排除 A，故选 B. 2.已知函数 y＝f(x)的图象如图所示，若 f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0，则实数 x 的取 值范围是( ) A．[－2,0] B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 解析：选 A 由题意，f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0 等价于 x2＋2x＋1≥1， lgx2＋10≤1 或 x2＋2x＋1≤1， lgx2＋10≥1， 即 x2＋2x≥0， x2＋10≤10 或 x2＋2x≤0， x2＋10≥10， 解得－2≤x≤0. 3．函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在(－ 1,3)上的解集为( ) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：选 C 作出函数 f(x)的图象如图所示． 当 x∈(－1,0)时，由 xf(x)>0 得 x∈(－1,0)； 当 x∈(0,1)时，由 xf(x)>0 得 x∈∅； 当 x∈(1,3)时，由 xf(x)>0 得 x∈(1,3)． 故 x∈(－1,0)∪(1,3)． 4.若函数 f(x)＝ ax＋b，x<－1， lnx＋a，x≥－1 的图象如图所示，则 f(－3)等于( ) A．－1 2 B．－5 4 C．－1 D．－2 解析：选 C 由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得 a＝2，b＝5，∴f(x)＝ 2x＋5，x<－1， lnx＋2，x≥－1， 故 f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选 C. 5．(2018·齐鲁名校模拟)已知函数 f(x)＝4－x2，函数 g(x)(x∈R 且 x≠0)是奇函数，当 x>0 时，g(x)＝log2x，则函数 f(x)·g(x)的大致图象为( ) 解析：选 D 易证函数 f(x)＝4－x2 为偶函数，又 g(x)是奇函数，所以函数 f(x)·g(x)为奇 函数，其图象关于原点对称，排除 A、B.又当 x>0 时，g(x)＝log2x，当 x>1 时，g(x)>0，当 02 时，f(x)<0，当 00，所以排除 C，故选 D. 6．已知函数 f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与 g(x)＝x＋2 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实 数 a 的取值范围是( ) A. －9 4 ，＋∞ B. －9 4 ，0 C．[－2,0] D．[2,4] 解析：选 D 因为函数 f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与 g(x)＝x＋2 的图象上存在关于 x 轴对称的 点，所以函数 f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与 y＝－x＋2 的图象存在交点，所以 a－x2＝－x＋ 2(1≤x≤2)有解，令 h(x)＝a－x2＋x－2(1≤x≤2)，则 h1≥0， h2≤0， 解得 2≤a≤4，故选 D. 7．(2017·山东高考)已知当 x∈[0,1]时，函数 y＝(mx－1)2 的图象与 y＝ x＋m 的图象有 且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是( ) A．(0,1]∪[2 3，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0， 2 ]∪[2 3，＋∞) D．(0， 2 ]∪[3，＋∞) 解析：选 B 法一：在同一直角坐标系中，分别作出函数 f(x)＝(mx－1)2＝m2 x－1 m 2 与 g(x)＝ x＋m 的大致图象．分两种情形： (1)当 01 时，0< 1 m<1，如图②，要使 f(x)与 g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需 g(1)≤f(1)，即 1＋m≤(m－1)2，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)． 综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)． 法二：若 m＝ 2，则 y＝( 2x－1)2，x∈[0,1]的值域为[0,1]，y＝ x＋ 2，x∈[0,1] 的值域为[ 2，1＋ 2)，所以两个函数图象无交点，故排除 C、D；若 m＝3，则点(1,4)是两 个函数的公共点，故选 B. 8．已知函数 f(x)＝ x2－2，x>0， －3|x＋a|＋a，x<0 的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则 a 的取值范围是( ) A. －17 16 ，－1 B. －17 8 ，－2 C. 1，19 16 D. 1，17 16 解析：选 D 由题意，问题转化为函数 y＝－3|x＋a|＋a(x<0)与 y＝2 －x2(x<0)的图象恰有三个公共点，显然 a≤0 时，不满足条件，当 a>0 时， 画出草图如图，方程 2－x2＝3x＋4a，即 x2＋3x＋4a－2＝0 有两个小于－a 的实数根．结合 图形，有 Δ＝9－44a－2>0， a>2－a2， a>0， ∴10)，其中 10 的解集． 解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即 m＝4. (2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝ xx－4，x≥4， －xx－4，x<4. ∴函数 f(x)的图象如图所示． 由图象知，函数 f(x)有两个零点． (3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]． (4)从图象上观察可知：不等式 f(x)>0 的解集为{x|04}． 14．当 x∈(1,2)时，不等式(x－1)20，且 a≠1)恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：设 f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax(a>0，且 a≠1)， 要使 x∈(1,2)时，不等式(x－1)21 时，如图所示，使 x∈(1,2)时， 不等式(x－1)20， x2＋2x－1，x≤0， 若 f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中 a，b，c，d 互不 相等，则对于命题 p：abcd∈(0,1)和命题 q：a＋b＋c＋d∈[e＋e－1－2，e2＋e－2－2)真假的判 断，正确的是( ) A．p 假 q 真 B．p 假 q 假 C．p 真 q 真 D．p 真 q 假 解析：选 A 不妨设 a0，即 a≥b，且 a>0，表示的平面区域为图中阴影部分所示，面积 S＝ 1 2 ×3×3－1 2 ×2×1＝7 2 ， 所以函数 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率 P＝ 7 2 8 ＝ 7 16. 高考研究课(五) 函数零点的命题 3 角度——求个数、定区间、求参数 [全国卷 5 年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 函数零点的个数 未考查 函数零点定区间 未考查 已知函数零点 求参数值或范围 5 年 2 考 已知零点求参数值或范围 判断函数零点的个数 [典例] (1)函数 f(x)＝ x2＋x－2，x≤0， －1＋ln x，x＞0 的零点个数为( ) A．3 B．2 C．7 D．0 (2)(2018·郑州质量预测)已知函数 f(x)＝ 1 2 x－cos x，则 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] (1)用“直接法”解题 由 f(x)＝0 得 x≤0， x2＋x－2＝0 或 x＞0， －1＋ln x＝0， 解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点． (2)用图象法解题 作出 g(x)＝ 1 2 x 与 h(x)＝cos x 的图象，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为 3，所以函 数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C. [答案] (1)B (2)C [方法技巧] 函数零点个数的 3 种判断方法 直接求零点 令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 零点存在性 定理 利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才 能确定函数有多少个零点 利用图象交 点的个数 画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几 个不同的值，就有几个不同的零点 [即时演练] 1．函数 f(x)＝sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选 C 令 f(x)＝0，得πcos x＝kπ(k∈Z)⇒cos x＝k(k∈Z)，所以 k＝0,1，－1.若 k ＝0，则 x＝π 2 或 x＝3π 2 ；若 k＝1，则 x＝0 或 x＝2π；若 k＝－1，则 x＝π，故零点个数为 5. 2．若偶函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数 g(x)＝f(x) －lg|x|的零点个数为( ) A．14 B．16 C．18 D．20 解析：选 C 函数 g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数，即为函数 y＝f(x)的图象与 y＝lg|x|的图 象的交点个数，由偶函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，且当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，作出函数 y ＝f(x)的图象与 y＝lg|x|的图象如图所示，由图象可知，交点个数为 18. 3．函数 f(x)＝ex＋1 2x－2 的零点个数为________． 解析：∵f′(x)＝ex＋1 2>0，∴f(x)在 R 上单调递增， 又 f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－3 2>0， ∴函数 f(x)在定义域内有零点且只有一个． 答案：1 确定零点所在区间 [典例] (2018·温州十校联考)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为 ( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) [解析] 法一：用“零点存在性定理”解题 ∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0， f(2)＝ln 2>0， ∴f(1)·f(2)<0， ∵函数 f(x)＝ln x＋x－2 的图象是连续的， ∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)． 法二：用“数形结合法”解题 函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标所在 的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)． [答案] B [方法技巧] 确定函数 f(x)的零点所在区间的 2 种常用方法 零点存在 性定理 首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形结合 法 通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 [即时演练] 1．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 可以判断方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根所在的区间是( ) A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1) C．(－1,1)和(1,2) D．(－1,3)和(4，＋∞) 解析：选 A 由表格可得二次函数 f(x)的对称轴为 x＝1 2 ，a＞0.又∵f(－3)·f(－1)＜0， f(2)·f(4)＜0 可得 f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根所 在区间是(－3，－1)和(2,4)． 2．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(－1,1)内有零点的函数是( ) A．y＝－x3 B．y＝2x－1 C．y＝x2－1 2 D．y＝log2(x＋2) 解析：选 B 由函数在定义域内是增函数，排除 A、C；y＝log2(x＋2)，当 x＝－1 时，y ＝0，所以函数在区间(－1,1)内没有零点，排除 D，故选 B. 已知函数零点求参数值或范围 已知函数零点求参数值或范围是常考内容，主要考查零点的应用及数形结合思想与等价 转化思想的应用. 常见的命题角度有： 1已知零点求参数值； 2已知零点个数求参数范围； 3二次函数的零点应用问题. 角度一：已知零点求参数值 1．(2018·吉林模拟)函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点位于区间(n，n＋1)( n∈N)内，则 n＝ ________. 解析：求函数 f(x)＝3x－7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为 f(2)＝－1＋ln 2，由于 ln 21，所以 f(3)>0， 所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内，故 n＝2. 答案：2 角度二：已知零点个数求参数范围 2．已知函数 f(x)＝ a·ex，x≤0， －ln x，x>0， 其中 e 为自然对数的底数，若关于 x 的方程 f(f(x)) ＝0 有且只有一个实数解，则实数 a 的取值范围为( ) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1) C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：选 B 由 f(f(x))＝0 得 f(x)＝1，作出函数 f(x)的图象，如图 所示，当 a<0,01， 函数 g(x)＝2－f(x)，若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是________． 解析：作出函数 f(x)的图象，如图所示，因为 g(x)＝2－f(x)， 所以 f(x)－g(x)＝2(f(x)－1)＝0，所以 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点， 即函数 f(x)的图象与直线 y＝1 有 4 个不同的交点，所以观察图象 可得 a>1， a－2≤1， 1－a2>1， 解得 20，则 a(ex－1＋e－x＋1)≥2a， 要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝1 2. 若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一． 综上所述，a＝1 2. 2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0＞0， 则 a 的取值范围为( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：选 B 当 a＝0 时，f(x)＝－3x2＋1 有两个零点，不符合题意，故 a≠0.f′(x)＝3ax2 －6x＝3x(ax－2)，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2 a ，由题意得 a<0 且 f 2 a >0，解得 a<－2，选 B. 3．(2014·山东高考)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等 的实根，则实数 k 的取值范围是( ) A. 0，1 2 B. 1 2 ，1 C．(1,2) D．(2，＋∞) 解析：选 B 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象 如图所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的 图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大 于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题意，故1 20，因此 f(x)零点所在的区间是 1 3 ，1 2 . 2．(2018·吉林白山模拟)已知函数 f(x)＝ 2x，x>1， x2＋4x＋2，x≤1， 则函数 g(x)＝f(x)－x 的零 点为( ) A．0 B．－1，－2 C．－1,0 D．－2，－1,0 解析：选 B 当 x>1 时，g(x)＝f(x)－x＝0，则 2x－x＝0.∵x>1，∴此时方程无解；当 x≤1 时，g(x)＝f(x)－x＝x2＋3x＋2＝0，则 x1＝－1 或 x2＝－2.综上，函数 g(x)的零点为－1， －2. 3．已知函数 f(x)＝ 1 5 x－log3x，若 x0 是函数 y＝f(x)的零点，且 0f(x0)．又 x0 是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)＝0，所以 f(x1)>0，即此时 f(x1)的值恒为正 值，选 A. 4．(2018·玉溪统考)已知函数 f(x)＝ x＋2，x>a， x2＋5x＋2，x≤a， 函数 g(x)＝f(x)－2x 恰有三个 不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．[－1,1) B．[0,2] C．[－2,2) D．[－1,2) 解析：选 D 由题意知 g(x)＝ 2－x，x>a， x2＋3x＋2，x≤a， 因为 g(x)有三个不同的零点，所以 2－x＝0 在 x>a 时有一个解，由 x＝2 得 a<2；由 x2＋3x＋2＝0 得 x＝－1 或 x＝－2，则由 x≤a 得 a≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)，所以选 D. 5．若 y＝f(x)是定义在 R 上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x＋2)是偶函数；③当 00，且函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x) 的零点在区间(0,1)内，即 00，且函数 g(x)在(0，＋∞)上是 增函数，因此函数 g(x)的零点在区间(1,2)内，即 1f(1)>0，g(a)1， 则函数 g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为________． 解析：函数 g(x)＝f(x)－ex 的零点个数即为函数 y＝f(x)与 y＝ex 的图象的交点个数．作出函数图象可知有 2 个交点，即函数 g(x)＝f(x) －ex 有 2 个零点． 答案：2 10．函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实 数 a 的取值范围是________． 解析：当 a＝0 时，函数 f(x)＝1 在(－1,1)上没有零点，所以 a≠0.因为函数 f(x)是单调函 数，要满足题意，只需 f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得1 30， f0＝2m＋1<0， f1＝4m＋2<0， f2＝6m＋5>0， 解得 m<－1 2 ， m>－5 6. 即－5 63 时，显然不符合． 所以 a 的取值集合为 －9 5 ，5＋3 33 8 . 答案： －9 5 ，5＋3 33 8 三、解答题 13．(2018·信阳模拟)已知函数 f(x)＝log2(2x＋1)． (1)求证：函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； (2)若 g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于 x 的方程 g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求 m 的取 值范围． 解：(1)证明：∵函数 f(x)＝log2(2x＋1)， 任取 x10， g2<0， g4>0 ⇒ 5＋m>0， 2－2m<0， 10－4m>0， 解得 10 时，因为临界位置为 y＝m(x＋1)过点(0,2)和(1,0)，分别求出 这两个位置的斜率 k1＝2 和 k2＝0，此时 m∈[0,2)； 当 m<0 时，过点(－1,0)向函数 g(x)＝ 1 x＋1 －3，－1