四川省成都市新津中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 19页

www.ks5u.com 新津中学高2019级高一上12月月考 数学 一、选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，是由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，故可以排除A，再找出集合A与集合B所共有的元素，即可得出答案。‎ ‎【详解】根据题意，是一个集合，而不是一个元素，故选项A错误；，其中属于集合A且属于集合B的元素只有2，故由元素2组成的集合为，因此选项C、D错误。‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的相关知识以及交集的概念，应特别注意，两个集合取交集的结果仍为集合。‎ ‎2.与角终边相同的角是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用终边相同角的关系，根据k的取值进行求解.‎ ‎【详解】与角终边相同的角是 当k=-4时，，所以与角终边相同的角是210°.‎ 故答案为B ‎【点睛】本题主要考查终边相同的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.已知角的终边过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边过点，可得，再根据计算求得结果.‎ ‎【详解】已知角的终边经过点，，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎4.已知，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先通过换元法求出函数的定义域，再把看作一个整体，即看作 ，利用的范围求出的范围，即可求出答案。‎ ‎【详解】由题意可知，令，则，‎ ‎，‎ ‎，解得 令，解得 函数的定义域为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查通过换元法求函数的定义域，若函数的定义域为，则函数 的定义域是满足的的解集。‎ ‎5.设在映射f下的象是，则在f下，象的原象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设其原象为，则应满足，解得，的值即可。‎ ‎【详解】根据题意，设它的原象为，则它在映射下的象是，即满足，‎ 解得，‎ 所以它的原象为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查映射的相关知识以及象与原象的概念。‎ ‎6.计算：( )‎ A. B. 1 C. -1 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式化简，结合特殊角三角值求解即可．‎ ‎【详解】＝（﹣cos）‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，诱导公式的应用，是基础题．‎ ‎7.已知函数，则下列等式成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，首先求出函数的周期为，可排除A选项，再判断函数为偶函数，可排除B选项，最后由三角函数诱导公式可排除D选项。‎ ‎【详解】根据题意可知：为周期函数，其周期为=，即，‎ 故选项A错误。 ‎ 且 ，故 为偶函数，即， ‎ 故选项C正确，选项B错误。‎ 由题意可知，，‎ 故选项D错误。‎ 故选：C ‎【点睛】本次主要考查通过三角函数的周期性和奇偶性判定结论正确与否，以及考查同学们对三角函数诱导公式的应用的熟练程度。‎ ‎8.把函数的图象向左平移后，所得函数的解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，可以根据函数图像的变换规律得出结论。‎ ‎【详解】根据题意，把函数的图像向左平移后，所得到的函数的解析式为：‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查由的图像得到（其中）的图像的过程。‎ ‎9.函数图象的一部分如图所示，则的解析式可以为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的最值求出A和k,根据周期求出ω，通过排除即可得到选项.‎ ‎【详解】设函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+k，‎ 由图象知函数的周期T＝2×（9﹣3）＝12，‎ 即，则，排除A，C，‎ 函数的最大值为7.5，最小值为0.5，‎ 则，解得k＝4，A＝3.5，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查已知部分图像求解析式，已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的图象求解析式，(1). (2)由函数的周期T求.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.‎ ‎10.设函数的值域为R，则常数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于已知中给定函数是分段函数，因此求解值域要分别求解值域，再取其并集，那么可知，当x>2时，f(x)>,当x,则根二次函数的性质，那么f(x)=，那么值域为R，可知并集为R，因此利用数轴法表示得到a的范围是，故选C.‎ 考点：本试题主要是考查了分段函数的值域．‎ 点评：解决该试题的关键是理解分段函数的值域是各段函数值域的并集．同时要熟练的运用对数函数和二次函数的性质得到值域，属于中档题．‎ ‎11.已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据底数大于零且不为1得到在为减函数，根据的单调性得到，再根据真数大于零的要求得到实数的取值范围．‎ ‎【详解】设， 在上是增函数，‎ ‎，即，解得， 实数的取值范围是 ，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.对于与对数函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求.‎ ‎12.已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 求得2＜x＜4时f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，求得0＜m＜ln2，x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4，x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1，，运用数形结合思想和参数分离，以及换元法，可得k的范围．‎ ‎【详解】当2＜x＜4时，0＜4﹣x＜2，所以f（x）＝f（4﹣x）＝|ln（4﹣x）|，‎ 由此画出函数f（x）的图象 由题意知，f（2）＝ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4，‎ x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1，，‎ 由，‎ 可知，，‎ 得，‎ 设t＝x1+x2，则 又在上单调递增，所以 ‎∴，即 ‎∴实数的最大值为 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查函数方程的转化思想，以及不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和换元的方法，考查运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13.已知函数是定义在上的单调递增函数，且.则m的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，是定义在上的单调递增函数，则对于任意 ，若 ，则。‎ ‎【详解】根据题意，函数是定义在上的单调递增函数，对于任意 ，若 ，则，又因为，所以，‎ 解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，通过函数值的大小关系得出自变量的大小关系，进而求参数范围。‎ ‎14.已知，且，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由θ的范围，得到cosθ＜sinθ，进而得到所求式子的值为负数，然后把所求式子平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将sinθcosθ的值代入，开方即可得到值．‎ ‎【详解】由θ，根据函数正弦及余弦函数图象得到cosθ＜sinθ，即cosθ﹣sinθ＜0，‎ ‎∵sinθcosθ，‎ ‎∴（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2，‎ 则cosθ﹣sinθ．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时注意根据θ的范围判断所求式子的正负，开方得到满足题意的解．‎ ‎15.函数的图象如右图所示，试写出该函数的两条性质：_________________________________________________．‎ ‎【答案】函数具有偶函数性质，同时函数的最小值为2，最大值为5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于结合图像可知，函数在y轴左侧随着x的增大而增大，故是递增；在y轴右侧则恰好相反，递减的．因此可知函数的最大值为5，最小值为2，同时关于y轴对称，因此是偶函数，故答案为函数是偶函数，同时函数的最小值为2，最大值为5.‎ 考点：本试题主要是考查了函数图像与性质的关系．‎ 点评：结合图像的特点来分析函数的性质，主要是理解奇偶性和函数的单调性的图形特点，进而得到结论．属于基础题．‎ ‎16.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.‎ ‎【详解】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，‎ 所以，‎ 因为，所以当时，取最小值为.‎ ‎【点睛】函数的性质 ‎（1）.‎ ‎（2）周期 ‎（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，‎ ‎（4）由求增区间；由求减区间.‎ 三、解答题 ‎17.（1）求值：.‎ ‎（2）已知，求：的值.‎ ‎【答案】（1）2（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用对数的运算性质即可得到答案；（2）根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入即可求解.‎ ‎【详解】（1）解：原式=‎ ‎=‎ ‎=2‎ ‎（2）原式＝‎ ‎＝=‎ ‎【点睛】本题考查对数运算性质，考查三角函数的化简、求值问题，其中解答中合理利用同角三角函数的基本关系式，化简得到“齐次式”，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.‎ 某种产品投放市场以来，通过市场调查，销量t（单位：吨）与利润Q（单位：万元）的变化关系如右表，现给出三种函数，，且，请你根据表中的数据，选取一个恰当的函数，使它能合理描述产品利润Q与销量t的变化，求所选取的函数的解析式，并求利润最大时的销量.‎ 销量t ‎ ‎1 ‎ ‎4 ‎ ‎6 ‎ 利润Q ‎ ‎2 ‎ ‎5 ‎ ‎4.5 ‎ ‎【答案】，利润最大时的销量为4.5吨 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由单调性或代入验证可得，应选函数， ‎ 由条件得 ‎∴．·‎ 又．‎ ‎∴当时，的最大值是．‎ ‎∴利润最大时的销量为4.5吨·‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；‎ ‎（2）写出的值域、最小正周期、对称轴，单调区间.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 值域为，最小正周期为，对称轴为，单调增区间为，单调区间为 ‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意知，利用五点法画出一个周期的图像，需找出在一个周期上的五个关键点，即，令，得出相应的的值，进而得出以及的值，最后列表、描点、连线、画出图像。‎ ‎(2)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间可根据图像写出。‎ ‎【详解】解：（1）列表如下：‎ x ‎0‎ π ‎2π ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ 描点画图如图所示 ‎（2）由图可知，值域为，最小正周期为，‎ 对称轴，‎ 单调增区间为，‎ 单调区间为.‎ ‎【点睛】本题主要考查五点作图法，利用，令得出相应的的值，然后列表、描点、连线、画出图像；同时考查了正弦函数的性质，在写函数单调区间与对称轴时应注意函数的周期性。‎ ‎20.已知二次函数（且），当时，有；当时，有，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据题意可知：为函数的两个零点，即二次方程两根，可设，将代入函数求得的解析式。‎ ‎（2）由题意可知，方程有实数解，即有实数解，可利用根的判别式求得的取值范围；或者利用分离参数法，将原方程写成，等式右侧二次函数的值域即的取值范围。‎ ‎【详解】解：（1）由题意知：是二次方程两根.‎ 可设，‎ ‎∵，∴.‎ 即，∴.‎ ‎（2）∵关于x的方程有实数解.‎ 即有实数解 ‎∴.‎ 即.‎ 方法二：∵关于x的方程有实数解.‎ 即有实数解.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解函数的解析式，以及利用二次函数的性质或分离参数法求参数范围。‎ ‎21.‎ 已知函数的图象过点，且图象上与点P最近的一个最低点是．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，且为第三象限的角，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若在区间上有零点，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）由已知：, 得，∴·····‎ 又且过点∴·············‎ ‎∴····························‎ ‎（Ⅱ）由得·················‎ 为第三象限的角，∴··········· ‎ ‎（Ⅲ）∵，∴．········ ‎ ‎∴①当时，函数在上只有一个零点；‎ ‎②当时，函数在上有两个零点；‎ 综合①、②知的取值范围是 ‎22.已知函数在区间上有最大值4 和最小值1，设.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得二次函数在[2,3]上为增函数，据此可得：，求解方程组可得：.‎ ‎(2)由题意知 ，分离参数有，结合二次函数的性质换元可得.‎ ‎(3)原方程可化为： ‎ 令，换元后讨论可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎∴ ∴在[2,3]上为增函数 ∴ ∴.‎ ‎(2)由题意知 ∴不等式可化为 可化为 令,‎ ‎∴，故，令,‎ 由题意可得 在上有解等价于 ‎,.‎ ‎(3)原方程可化为： ‎ 令，则方程可化为： ‎ ‎∵原方程有三个不同的实数解．由的图象知 ‎ 有两个根 且或 令，则或 ‎∴.‎ ‎ ‎