高三数学总复习学案44 12页

学案44　空间的垂直关系 导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．‎ 自主梳理 ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)判定直线和平面垂直的方法 ‎①定义法．‎ ‎②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．‎ ‎③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．‎ ‎(2)直线和平面垂直的性质 ‎①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．‎ ‎②垂直于同一个平面的两条直线______．‎ ‎③垂直于同一直线的两个平面________．‎ ‎2．直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．‎ 一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l⊂α，则它们成________角．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的判定方法 ‎①定义法．‎ ‎②利用判定定理：一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．‎ ‎(2)平面与平面垂直的性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．‎ ‎4．二面角的平面角 以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．‎ 自我检测 ‎1．平面α⊥平面β的一个充分条件是(　　)‎ A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β ‎2．(2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎3．(2011·长沙模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：‎ ‎①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；‎ ‎②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；‎ ‎③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；‎ ‎④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.‎ 其中，可以判定α与β平行的条件有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4．(2011·十堰月考)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎5．(2011·大纲全国)已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．‎ 探究点一　线面垂直的判定与性质 例1　Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．‎ ‎(1)求证：SD⊥平面ABC；‎ ‎(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.‎ 变式迁移1　‎ 在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.证明：AB⊥VD.‎ 探究点二　面面垂直的判定与性质 例2　(2011·邯郸月考)如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B‎1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC⊥平面ABCD.‎ 变式迁移2　(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．‎ 求证：(1)直线EF∥平面PCD；‎ ‎(2)平面BEF⊥平面PAD.‎ 探究点三　直线与平面，平面与平面所成的角 例3　(2009·湖北)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝‎2a，AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤2)．‎ ‎(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有AC⊥BE；‎ ‎(2)设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tan θtan φ＝1，求λ的值．‎ 变式迁移3　(2009·北京)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.‎ ‎(1)求证：BC⊥ 平面PAC.‎ ‎(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎(3)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．‎ 转化与化归思想综合应用 例　(12分)已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的 菱形，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点. ‎ ‎(1)证明：DN∥平面PMB；‎ ‎(2)证明：平面PMB⊥平面PAD.‎ 多角度审题　(1)在平面PMB内找到(或构造)一条直线与DN平行即可；(2)要证面PMB⊥面PAD，只需证明MB⊥面PAD即可．‎ ‎【答题模板】‎ 证明　(1)‎ 取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四边形QNDM是平行四边形，‎ 于是DN∥MQ.‎ 又∵MQ⊂平面PMB，DN⊄平面PMB ‎∴DN∥平面PMB.[6分]‎ ‎(2)∵PD⊥平面ABCD，MB⊂平面ABCD，∴PD⊥MB.‎ 又因为底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M为AD中点，‎ 所以MB⊥AD.又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.‎ 又∵MB⊂平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：‎ ‎1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1：⇒l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.‎ ‎3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·滨州月考)已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：‎ ‎①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；‎ ‎③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．①② B．①④ C．②④ D．③④‎ ‎4．(2011·浙江)下列命题中错误的是(　　)‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β ‎5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是(　　)‎ A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．‎ ‎7．(2011·金华模拟)如图所示，正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，‎ 垂足为点H，有下列三个命题：‎ ‎①点H是△A1BD的中心；‎ ‎②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B‎1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是____________．‎ ‎8．正四棱锥S－ABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2010·山东)在如图所示的 几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.‎ ‎(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；‎ ‎(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．‎ ‎10．(12分)(2009·天津)如图，‎ 在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.‎ ‎(1)证明：PA∥平面BDE；‎ ‎(2)证明：AC⊥平面PBD；‎ ‎(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．‎ ‎11．(14分)(2011·杭州调研)如图所示，已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为AB的中点．‎ ‎(1)求直线B‎1C与DE所成角的余弦值；‎ ‎(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD；‎ ‎(3)求二面角E－B‎1C－D的余弦值．‎ 学案44　空间的垂直关系 自主梳理 ‎1．(1)②相交　③垂直　(2)①任意　②平行　③平行 ‎2．射影　直角　0°　3.(1)②一条垂线　(2)交线　4.垂直 自我检测 ‎1．D　2.B　3.B　4.D　5. 课堂活动区 例1　解题导引　线面垂直的判断方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．‎ 证明　‎ ‎(1)取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，‎ 故DE∥BC，且DE⊥AB，‎ ‎∵SA＝SB，‎ ‎∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.‎ ‎∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，‎ ‎∴AB⊥面SDE.而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD.‎ 在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.‎ ‎∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，‎ ‎∴SD⊥平面ABC.‎ ‎(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，‎ 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，‎ ‎∴SD⊥BD.‎ ‎∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，‎ ‎∴BD⊥平面SAC.‎ 变式迁移1　证明　∵平面VAD⊥平面ABCD，‎ AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，‎ AD＝平面VAD∩平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥平面VAD.‎ ‎∵VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD.‎ 例2　解题导引　证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．‎ 证明　如图所示，连接AC，BD，A‎1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A‎1C1，B1D1的交点．‎ 由棱柱的性质知：‎ A1O1∥OC，且A1O1＝OC，‎ ‎∴四边形A1OCO1为平行四边形，‎ ‎∴A1O∥O‎1C，‎ 又A1O⊥平面ABCD，∴O‎1C⊥平面ABCD，‎ 又O‎1C⊂平面O1DC，‎ ‎∴平面O1DC⊥平面ABCD.‎ 变式迁移2　‎ 证明　(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，‎ 所以直线EF∥平面PCD.‎ ‎(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．‎ 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，‎ 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.‎ 又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.‎ 例3　解题导引　高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一．有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查．‎ 求这两种空间角的步骤：(几何法)．‎ 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)→认(指)→求．‎ ‎(1)证明　如图所示，连接BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.‎ ‎∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE.‎ ‎(2)解　如图所示，由SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴SD⊥CD.‎ 又底面ABCD是正方形，‎ ‎∴CD⊥AD.又SD∩AD＝D，‎ ‎∴CD⊥平面SAD.‎ 过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角，即∠CFD＝θ.‎ 在Rt△BDE中，∵BD＝‎2a，DE＝λa，‎ ‎∴tan φ＝＝.‎ 在Rt△ADE中，∵AD＝a＝CD，DE＝λa，‎ ‎∴AE＝a，‎ 从而DF＝＝.‎ 在Rt△CDF中，tan θ＝＝，‎ 由tan θ·tan φ＝1，得 ·＝1⇒＝2⇒λ2＝2.‎ 由λ∈(0,2]，解得λ＝，即为所求．‎ 变式迁移3　(1)证明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)解　∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝BC.‎ 又由(1)知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.‎ 又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形．‎ ‎∴AD＝AB.‎ 在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB.‎ ‎∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝.‎ ‎∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.‎ ‎(3)解　∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC.‎ 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，‎ ‎∴DE⊥AE，DE⊥PE.‎ ‎∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.‎ 这时，∠AEP＝90°，‎ 故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．‎ 课后练习区 ‎1．C　2.D　3.C ‎4．D　[两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．]‎ ‎5．A ‎6．5‎ 解析　面PAB⊥面PAD，‎ 面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，‎ 面PAD⊥面ABCD，面PAD⊥面PCD.‎ ‎7．①②③‎ 解析　由于ABCD—A1B‎1C1D1是正方体，所以A—A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B‎1C垂直，所成的角等于90°.‎ ‎8.＋ 解析　如图取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，GF，GE.‎ 则AC⊥平面GEF，故动点P的轨迹是△EFG的三边．‎ 又EF＝DB＝，‎ GE＝GF＝SB＝，‎ ‎∴EF＋FG＋GE＝＋.‎ ‎9．(1)证明　因为MA⊥平面ABCD，‎ PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.‎ 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.(2分)‎ 因为四边形ABCD为正方形，‎ 所以BC⊥DC.‎ 又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.(4分)‎ 在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，‎ 所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，‎ 所以平面EFG⊥平面PDC.(6分)‎ ‎(2)解　因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，‎ 则PD＝AD＝2，‎ 所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝.(8分)‎ 由题意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA，‎ 所以DA即为点P到平面MAB的距离，‎ 所以VP－MAB＝××1×2×2＝.(10分)‎ 所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.(12分)‎ ‎10．(1)证明　‎ 设AC∩BD＝H，连接EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，‎ 所以PA∥平面BDE.(4分)‎ ‎(2)证明　因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(Ⅰ)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，‎ 故AC⊥平面PBD.(8分)‎ ‎(3)解　由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．‎ 由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝.‎ 在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝.‎ 所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.‎ ‎(12分)‎ ‎11．(1)解　连接A1D，则由A1D∥B‎1C知，B‎1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．(2分)‎ 连接A1E，可设正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，‎ 则A1D＝a，‎ A1E＝DE＝a，‎ ‎∴cos∠A1DE＝‎ ＝.‎ ‎∴直线B‎1C与DE所成角的余弦值是.(6分)‎ ‎(2)证明　取B‎1C的中点F，B1D的中点G，‎ 连接BF，EG，GF.∵CD⊥平面BCC1B1，‎ 且BF⊂平面BCC1B1，∴CD⊥BF.‎ 又∵BF⊥B‎1C，CD∩B‎1C＝C，‎ ‎∴BF⊥平面B1CD.(8分)‎ 又∵GF綊CD，BE綊CD，‎ ‎∴GF綊BE，∴四边形BFGE是平行四边形，‎ ‎∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD.‎ ‎∵GE⊂平面EB1D，‎ ‎∴平面EB1D⊥B1CD.(10分)‎ ‎(3)解　连接EF.‎ ‎∵CD⊥B‎1C，GF∥CD，∴GF⊥B‎1C.‎ 又∵GE⊥平面B1CD，∴GE⊥B‎1C.‎ 又∵GE∩GF＝G，∴B‎1C⊥平面GEF，∴EF⊥B‎1C，‎ ‎∴∠EFG是二面角E－B‎1C－D的平面角．(12分)‎ 设正方体的棱长为a，则在△EFG中，‎ GF＝a，EF＝a，GE⊥GF，∴cos∠EFG＝＝，‎ ‎∴二面角E－B‎1C－D的余弦值为.(14分)‎