宁夏六盘山高级中学2020届高三第四次模拟测试数学（文）试题 Word版含解析 21页

宁夏六盘山高级中学2019届高三年级第四次模拟考试 文科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置，并将核对后的条形码贴在答题卡条形码区域内．‎ ‎2．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．‎ ‎3．做答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试题上、超出答题区域或非题号对应区域的答案一律无效．‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B，再进行交集运算即可.‎ ‎【详解】集合，所以 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属基础题.‎ ‎2.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定.‎ ‎【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题.‎ 命题“”的否定是:“”‎ 所以B选项符合.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.已知，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的值，根据，即得答案.‎ ‎【详解】，又，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.‎ ‎4.等比数列中，已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列知识可知，进而求出的值，再由进行计算即可得解.‎ ‎【详解】设等比数列的首项为，公比为，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎5. 由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是 A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 以上都不是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：从推理形式上看，由特殊到特殊的推理是类比推理，由部分到整体，个别到一般的推理是归纳推理，由一般到特殊的推理是演绎推理．‎ 考点：逻辑推理.‎ ‎6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为和.在此图内任取一点，此点取自区域的概率记为，取自区域的概率记为，则（）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系与半径长度有关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分的面积＝阴影部分的面积，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，‎ 阴影部分的面积为，空白部分的面积为，‎ 阴影部分M的面积为：，‎ 阴影部分的面积＝阴影部分的面积，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.‎ ‎【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得，‎ 所以，圆锥的底面圆周长为，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥底面半径的计算，考查了圆锥侧面积的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．‎ ‎【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确 y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；‎ y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；‎ y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；‎ 故选A．‎ 考点：三角函数的性质.‎ ‎9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值.‎ ‎【详解】由题意可知，所以根据等面积转化可知，解得： ‎ ‎，.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.‎ ‎10.在中，设分别是角所对的边长，且直线与垂直，则一定是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以结合角是的内角排除两条直线一条平行于轴、一条平行于轴的情况，然后根据两直线垂直得出，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.‎ ‎【详解】当，时，两直线方程为、，相互垂直，‎ 因为角是的内角，所以与不可能同时为，故排除这种情况，‎ 因为直线与垂直，‎ 所以，‎ 即，，，‎ 故一定等腰三角形，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查两直线垂直的相关性质，若两直线与垂直，则满足一条直线平行于轴、一条直线平行于轴或，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.‎ ‎11.已知是双曲线的左右焦点，点在双曲线上，，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设为的中点，由，可得为等腰三角形，由双曲线的定义可得，在直角三角中，可求出答案.‎ ‎【详解】如图，设为的中点，则,‎ 由，即,所以 所以为等腰三角形，‎ 由双曲线的定义有：，所以 则 直角三角中，，所以 所以，则 故选：D ‎【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题.‎ ‎12.已知函数且则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.‎ ‎【详解】由题意可知， ‎ 是偶函数，‎ 且当时，，‎ 在区间上，函数单调递增，‎ ‎， ‎ 原不等式等价于，‎ 即，即，‎ 解得：，即不等式的解集是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.若复数是纯虚数，则实数____________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数为纯虚数得出复数的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数的值.‎ ‎【详解】由于复数为纯虚数，则，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.等差数列中，已知，，则其前9项和____________．‎ ‎【答案】81‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质：若，则可得，即可求出的值，同理可求得，根据求和公式及等差的性质可得，，代入数据即可求解.‎ ‎【详解】在等差数列中，所以，同理，所以，所以.‎ 故答案为81.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n项和的计算，注意灵活应用此性质，可大大降低计算难度，属基础题.‎ ‎15.曲线在点处的切线方程为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．‎ ‎【详解】由，则 由题意，则 所以曲线在点处的切线的斜率为 所以所求切线方程为：，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．属于基础题.‎ ‎16.正三棱柱的所有棱长都相等，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则为异面直线与所成角，解三角形即可．‎ ‎【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，其中，，‎ 连接，，‎ 因为，所以为异面直线与所成角（或其补角），‎ 设，则，，‎ ‎∵为正三角形，∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题：（每道题12分，共60分）‎ ‎17.已知的内角，，所对的边长分别为，，，的面积为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，即可求出的值；‎ ‎（2）由和，易得和的值，再由可得出的值，进一步可得，进而得出，最后得出.‎ ‎【详解】（1）由得，即，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，∴，即，①‎ 又∵，②‎ 又，‎ 由①②可得，，‎ 又已知，，，‎ ‎，‎ ‎∴或（舍去），故为等腰三角形，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系，考查简单三角恒等变换，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.‎ ‎18.在贯彻精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各户贫困户，工作组对这户村民的年收入、劳动能力、子女受教育等情况等进行调查，并把调查结果转换为贫困指标，再将指标分成、、、、五组，得到如下图所示的频率分布直方图．若规定，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当时，认定该户为“低收入户”，当时，认定该户为“亟待帮助户”．已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的．‎ ‎（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；‎ ‎（2）某干部决定在这两村贫困指标在、内的贫困户中，利用分层抽样抽取户，现从这户中再随机选取户进行帮扶，求所选户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率．‎ 甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 附：，其中．‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为绝对贫困户数与村落有关；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出甲村中“绝对贫困户”的户数，计算出甲、乙两村的“绝对贫困户”户数之和，可得出列联表，可计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；‎ ‎（2）计算出所抽取的户中，抽到的“亟待帮助户”户数为，分别记为、，抽到不是“亟待帮助户”户数为，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户””所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有（户），‎ 甲、乙两村的“绝对贫困户”有（户），‎ 可得出下表：‎ 甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计 所以的观测值，‎ 查表可知，没有的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；‎ ‎（2）贫困指标在内的贫困户共有（户），‎ 亟待帮助户共有（户），‎ 所以利用分层抽样抽取户，抽到的“亟待帮助户”户数为（户），分别记为、，‎ 抽到不是“亟待帮助户”户数为（户），分别记为、、、，‎ 所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，‎ 其中，事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户””所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共个.‎ 因此，事件“所选户中至少有一户是“亟待帮助户””的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎19.如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面互相垂直，已知，，‎ ‎（1）求证：平面平面 ‎（2）若几何体和几何体的体积分别为和，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面面垂直可得平面ABEF，从而得到，由圆的直径的性质得，故得出平面ADF，从而得出平面DAF平面CBF；‎ ‎（2），设，则可用a表示出，，从而得出体积比．‎ ‎【详解】（1）∵平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF，‎ ‎，平面ABCD，‎ ‎∴平面ABEF，∵平面ABE，∴，‎ ‎∵AB是圆O的直径，‎ ‎∴，又平面ADF，平面ADF，，‎ ‎∴平面ADF，∵平面BCF，‎ ‎∴平面DAF平面CBF；‎ ‎（2）如图，连结、，则，‎ ‎∴，，是等边三角形，‎ 过作于，则，平面，设，‎ 则，‎ ‎ ．‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直判定，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎20.已知双曲线的左右焦点分别为，的周长为12．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程．‎ ‎（2）已知点，是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意根据椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆，（除去与x轴的交点），‎ 设方程为，由，，求出即可得到椭圆方程；‎ ‎（2显然直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线的斜率存在时，设方程为，联立直线与椭圆方程，消元，由求出的取值范围，设点，的中点，列出韦达定理，表示出，由又，得到，得到方程判断方程的解即可；‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，，‎ ‎∴，‎ 又∵的周长为12，‎ ‎∴，‎ ‎∴点P的轨迹是椭圆（除去与x轴的交点），‎ 设方程为，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴点的轨迹C的方程为．‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，‎ 则，‎ 联立，‎ 得，‎ 由，‎ 解得，且．‎ 设点，的中点 ‎∵，∴‎ 又∵，∴，‎ ‎∵‎ ‎∴，此方程无解．‎ 综上所述，不存在直线使得．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若且时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求得该函数的导数，求出该函数的极值点，并分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；‎ ‎（2）由题意得出不等式对任意的恒成立，构造函数，可得出，利用导数分析函数在区间 上的单调性，求得函数的最小值，由此可解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，．‎ 令，得．‎ 当时，；当时，．‎ 函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2）等价于，即.‎ 令，则,‎ 函数在上单调递增，，解得，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎（二）选考题：（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是曲线上任意一点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1），；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用消去曲线参数方程中的参数得到的普通方程，利用两角和的余弦公式和将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P的坐标为，可求出点P到直线的距离，易得，进而求出面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）由（为参数）消去参数，得，‎ 所以曲线C的普通方程为：，‎ 由，得，‎ 可得直线的直角坐标方程为：；‎ ‎（2）设点P的坐标为，‎ 则点P到直线的距离为：‎ ‎，‎ 又直线与x轴，y轴的交点分别为，，所以，‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数法解决三角形面积的最值问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化能力，属于常考题.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x－1|(a∈R).‎ ‎(1)当a＝－1时，求f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）代入，由，根据绝对值的几何意义，求出满足条件的的值即可；‎ ‎（2）根据题意，把，转化为在上恒成立，求解，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1)当a＝－1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒＋≤1，‎ 上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点－，距离之和小于或等于1，则－≤x≤，‎ 即原不等式的解集为.‎ ‎(2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含，‎ ‎∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，‎ ‎∴当x∈时，|2x－a|＋2x－1≤2x＋1恒成立，‎ ‎∴2x－2≤a≤2x＋2在x∈上恒成立，‎ ‎∴(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min，∴0≤a≤3.‎