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- 2021-06-10 发布
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第36讲 等差数列的概念及基本运算
1.(2016·福州市毕业班质量检查)已知数列{an}是等差数列,且a7-2a4=6,a3=2,则公差d= (B)
A.2 B.4
C.8 D.16
因为a7-2a4=a7-(a1+a7)=-a1=6,所以a1=-6.
又a3=2,所以公差d===4.
2.已知正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2a=a+a(n≥2),则a6等于(D)
A.16 B.8
C.2 D.4
由2a=a+a可知数列{a}是等差数列,且首项为a=1,公差d=a-a=4-1=3.
所以{a}的通项a=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=.所以a6==4.
3.(2017·湖南长沙高三模拟一)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面3节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节、第3节和第8节竹子的容积之和为(A)
A.升 B.升
C.升 D.升
设自上至下各节的容积依次为a1,a2,…,an.
依题意有
故由①得a2+a3=,由②得a8=.
故a2+a3+a8=+=+=(升).
4.(2015·北京卷)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是(C)
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
因为{an}是等差数列,所以2a2=a1+a3,
当a2>a1>0时,得公差d>0,所以a3>0,
所以a1+a3>2,所以2a2>2,
即a2>.
5.(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设等差数列{an}的前n项和Sn满足S2016-S1=1,则S2017= .
因为S2016-S1=a2+a3+…+a2016=2015()=2015a1009=1,所以a1009=,
从而S2017=2017()=2017a1009=.
6.(2015·新课标卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=
- .
由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn,
两边同除以Sn+1·Sn,得-=-1,
故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,
所以=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.
7.(2013·新课标卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
(1)设{an}的公差为d,由题意得a=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0,
又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2,
由(1)知a3n-2=-6n+31,
故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)
=-3n2+28n.
8.(2016·郑州市二模)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是(D)
A.4 B.4
C.4 D.4
由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,
得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,
又因为1×a1=1,2×a2-1×a1=5,
所以数列{nan}为首项为1,公差为5的等差数列,
则20a20=1+19×5=96,解得a20=.
9.数列{an}是等差数列,且a1+a2+…+a10=10,a11+a12+…+a20=20,则a41+a42+…+a50= 50 .
因为A1=S10,A2=S20-S10,A3=S30-S20,…,数列{An}构成等差数列,其中A1=S10=10,公差d=10,
所以a41+a42+…+a50=A5=A1+(5-1)×d
=10+4×10=50.
10.已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)求证数列为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)(方法一:构造法)
因为a1=5且an=2an-1+2n-1,
所以当n≥2时,an-1=2(an-1-1)+2n,
所以=+1,所以-=1,
所以是以=2为首项,以1为公差的等差数列.
(方法二:代入法)
因为a1=5,n≥2时,
所以-=-=1,
所以是以=2为首项,以1为公差的等差数列.
(2)由(1)知=2+(n-1)×1=n+1,
所以an=(n+1)2n+1.