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- 2021-06-10 发布
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2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|﹣1≤x≤3},B={x∈Z|x2<5},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}
2.(5分)已知复数z=1﹣i,则下列命题中正确的个数为:( )
①|z|=;②=1+i;③z的虚部为﹣i.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(5分)向量=(1,x+1),=(1﹣x,2),⊥,则(+)(﹣)=( )
A.﹣15 B.15 C.﹣20 D.20
4.(5分)△ABC中,tanA=,AC=2,BC=4,则AB=( )
A.2﹣ B.﹣ C.+ D.2+
5.(5分)将一根长为6m的绳子剪为二段,则其中一段大于另一段2倍的概率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值是( )
A. B.﹣1 C.0 D.1
7.(5分)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )
A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.12立方丈
8.(5分)已知a=log52,b=log73,c=log3,则a,b,c的大小关系( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a
9.(5分)已知P(x,y)为平面区域内的任意一点,当该区域的面积为3时,z=2x﹣y的最大值是( )
A.6 B.3 C.2 D.1
10.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,且SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=,则球的表面积为( )
A.4π B.3π C.8π D.12π
11.(5分)若圆(x﹣)2+(y﹣1)2=9与双曲线﹣=1(a>0,b>0)经过二、四象限的渐近线,交于A,B两点且|AB|=2,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
12.(5分)对于实数a、b,定义运算“⊗”:a⊗b=,设f(x)=(2x﹣3)⊗(x﹣3),且关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3,则x1•x2•x3取值范围为( )
A.(0,3) B.(﹣1,0) C.(﹣∞,0) D.(﹣3,0)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.(5分)若sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=,则cos2β= .
14.(5分)4名同学去参加3 个不同的社团组织,每名同学只能参加其中一个社团组织,且甲乙两位同学不参加同一个社会团体,则共有 种结果.
15.(5分)已知f(x)=f(4﹣x),当x≤2时,f(x)=ex,f′(3)+f(3)= .
16.(5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过焦点的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D,若|AF|=2|BF|,则三角形CDF的面积为 .
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an>0且满足an=2Sn﹣﹣(n∈
N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}的前n项和Tn.
18.(12分)如图,在三棱锥D﹣ABC中,DA=DB=DC,E为AC上的一点,DE⊥平面ABC,F为AB的中点.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面DEF;
(Ⅱ)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=45°,求二面角A﹣BD﹣C的余弦值.
19.(12分)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列,
(Ⅰ)求a,b,c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数;
(Ⅱ)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应定为多少立方米?(精确到小数掉后2位)
(Ⅲ)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及其均值.
20.(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若圆O:x2+y2=r2与椭圆C交于A,B,C,D四点,当半径r为多少时,四边形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
21.(12分)设函数f(x)=xlnx﹣ax+1,g(x)=﹣2x3+3x2﹣x+.
(Ⅰ)求函数f(x)在[,e]上有两个零点,求a的取值范围;
(Ⅱ)求证:f(x)+ax>g(x).
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的极坐标方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x+5|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集;
(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M,若不等式x2+2x+m≥M恒成立,求m的取值范围.
2018年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|﹣1≤x≤3},B={x∈Z|x2<5},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0,1,2}
【解答】解:∵A={x|﹣1≤x≤3},B={x∈Z|x2<5}={x∈Z|﹣<x<}={﹣2,﹣1,0,1,2},
∴A∩B={﹣1,0,1,2},
故选:B.
2.(5分)已知复数z=1﹣i,则下列命题中正确的个数为:( )
①|z|=;②=1+i;③z的虚部为﹣i.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:∵z=1﹣i,
∴|z|=,故①正确;
,故②正确;
z的虚部为﹣1,故③错误.
∴正确命题的个数为2个.
故选:C.
3.(5分)向量=(1,x+1),=(1﹣x,2),⊥,则(+)(﹣)=( )
A.﹣15 B.15 C.﹣20 D.20
【解答】解:向量=(1,x+1),=(1﹣x,2),
若⊥,则•=(1﹣x)+2(x+1)=x+3=0,
解可得x=﹣3,
则=(1,﹣2),=(4,2),
(+)=(5,0),(﹣)=(﹣3,﹣4);
则(+)(﹣)=﹣15;
故选:A.
4.(5分)△ABC中,tanA=,AC=2,BC=4,则AB=( )
A.2﹣ B.﹣ C.+ D.2+
【解答】解:已知tanA=,
由于:0<A<π,
解得:A=,
利用余弦定理:BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA,
解得:AB=(负值舍去).
故选:C.
5.(5分)将一根长为6m的绳子剪为二段,则其中一段大于另一段2倍的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:绳子的长度为6m,折成两段后,设其中一段长度为x,则另一段长度6﹣x,
记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A,
则A={x|}={x|0<x<2或4<x≤6},
∴P(A)=,
故选:B.
6.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值是( )
A. B.﹣1 C.0 D.1
【解答】解:本题为直到型循环结构的程序框图,由框图的流程知:
算法的功能是求S=cos+cosπ+…+cos的值,
∵y=cos的周期为4,2017=504×4+1
∴输出S=504×(cos+cosπ+cos+cos2π)+cos=0
故选:C
7.(5分)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为( )
A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.12立方丈
【解答】解:三棱柱的底面是边长为3,高为1的等腰三角形.三棱柱的高为2.
∴三棱柱的体积V=.
两个相同的四棱锥合拼,可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥,其高为1.
∴体积V==2.
该刍甍的体积为:3+2=5.
故选:B.
8.(5分)已知a=log52,b=log73,c=log3,则a,b,c的大小关系( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a
【解答】解:∵c=log3=log53>log73,
b=log73>=,a=log52<=,
则a,b,c的大小关系为:a<b<c.
故选:A.
9.(5分)已知P(x,y)为平面区域
内的任意一点,当该区域的面积为3时,z=2x﹣y的最大值是( )
A.6 B.3 C.2 D.1
【解答】解:由作出可行域如图,
由图可得A(a,a),D(a,a),B(a+1,a+1),C(a+1,﹣a﹣1)
由该区域的面积为3时,×1=3,得a=1.
∴A(1,1),C(2,﹣2)
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,
∴当y=2x﹣z过C点时,z最大,等于2×2﹣(﹣2)=6.
故选:A.
10.(5分)已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,且SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=,则球的表面积为( )
A.4π B.3π C.8π D.12π
【解答】解:三棱锥S﹣ABC中,SA=SB=SC=1,AB=BC=AC=,
∴共顶点S的三条棱两两相互垂直,且其长均为1,
三棱锥的四个顶点同在一个球面上,三棱锥是正方体的一个角,扩展为正方体,
三棱锥的外接球与正方体的外接球相同,正方体的对角线就是球的直径,
所以球的直径为:,半径为,
外接球的表面积为:4π×()2=3π.
故选:B.
11.(5分)若圆(x﹣)2+(y﹣1)2=9与双曲线﹣=1(a>0,b>0)经过二、四象限的渐近线,交于A,B两点且|AB|=2,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
【解答】解:依题意可知双曲线的经过二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0,
∵|AB|=2,圆的圆心为(,1),半径为3,
∴圆心到渐近线的距离为=,
即=,
解得b=a,
∴c==a,
∴双曲线的离心率为e==.
故选:A.
12.(5分)对于实数a、b,定义运算“⊗”:a⊗b=,设f(x)=(2x﹣3)⊗(x﹣3),且关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3,则x1•x2•x3取值范围为( )
A.(0,3) B.(﹣1,0) C.(﹣∞,0) D.(﹣3,0)
【解答】解:∵a⊗b=,
∴f(x)=(2x﹣3)⊗(x﹣3)=,
其图象如下图所示:
由图可得:x1=﹣k,x2•x3=k,
故x1•x2•x3=﹣k2,k∈(0,3),
∴x1•x2•x3∈(﹣3,0),
故选:D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.(5分)若sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=,则cos2β= ﹣ .
【解答】解:∵sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα=sin[(α+β)﹣α]=sinβ=,
则cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2•=﹣,
故答案为:﹣.
14.(5分)4名同学去参加3 个不同的社团组织,每名同学只能参加其中一个社团组织,且甲乙两位同学不参加同一个社会团体,则共有 54 种结果.
【解答】解:根据题意,先计算4名同学去参加3 个不同的社团组织的情况数目,
4个同学中每人可以在3 个不同的社团组织任选1个,即每人有3种不同的选法,
则4人有3×3×3×3=81种情况,
再计算甲乙参加同一个社团组织的情况数目,
若甲乙参加同一个社团组织,甲乙两人有3种情况,
剩下的2人每人有3种不同的选法,则剩下的2人有3×3=9种情况,
则甲乙参加同一个社团组织的情况有3×9=27种;
则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有81﹣27=54种;
故答案为:54.
15.(5分)已知f(x)=f(4﹣x),当x≤2时,f(x)=ex,f′(3)+f(3)= 0 .
【解答】解:由f(x)=f(4﹣x)可得,
函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
当x≤2时,f(x)=ex,f′(x)=ex,
∴f(3)=f(1)=e,
f′(3)=﹣f′(1)=﹣e,
故f′(3)+f(3)=0,
故答案为:0.
16.(5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过焦点的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D,若|AF|=2|BF|,则三角形CDF的面积为 3 .
【解答】解:如图,抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l为x=﹣1,
设l所在直线方程为y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,
∴x1x2=1,①
∵|AF|=2|BF|,
∴x1+1=2(x2+1),②
由①②解得x2=,x1=2,或x1=﹣1,x2=﹣1(舍去)
∴y1=2,y2=﹣,
∴|CD|=y1﹣y2=3,
∵|FG|=1+1=2,
∴S△CDF=×|CD|×|FG|=×3×2=3,
故答案为:3
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.
17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an>0且满足an=2Sn﹣﹣(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)当n=1时,,解得a1=1;
由an=2Sn﹣﹣,整理得,①
∴,②
②﹣①得:,
∴(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0,
∵an>0,
∴an+1﹣an﹣2=0,即an﹣1﹣an=2.
∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
则an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(Ⅱ)=,③
,④
③﹣④得:
==.
∴.
18.(12分)如图,在三棱锥D﹣ABC中,DA=DB=DC,E为AC上的一点,DE⊥平面ABC,F为AB的中点.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面DEF;
(Ⅱ)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=45°,求二面角A﹣BD﹣C的余弦值.
【解答】证明:(Ⅰ)∵DE⊥平面ABC,∴AB⊥DE,
又∵F为AB的中点,DA=DB,∴AB⊥DF,
DF∩DE=E,且DF、DE⊂平面DEF,
又∵AB⊂平面ABD,
∴平面ABD⊥平面DEF;
解:(Ⅱ)∵DE⊥平面ABC,∴AC⊥DE,
又∵DA=DC,∴E为AC中点,
∵F是AB中点,∴EF∥BC,
由(Ⅰ)知AB⊥EF,∴AB⊥BC,
又∵∠BAC=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,AC=4,
∴AB=BC=DA=DB=DC=2,
取BD中点G,连结AG、CG,则AG⊥DB,CG⊥DB,
∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角,
在△AGC中,cos∠AGC==﹣,
∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣.
19.(12分)某市市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列,
(Ⅰ)求a,b,c的值及居民用水量介于2﹣2.5的频数;
(Ⅱ)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应定为多少立方米?(精确到小数掉后2位)
(Ⅲ)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及其均值.
【解答】解:(Ⅰ)∵前四组频数成等差数列,∴所对应的频率也成等差数列,
设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,
∴0.5(a+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,
解得d=0.1,a=0.3,b=0.4,c=0.5.
居民月用水量介于2~2.5的频率为0.25.
居民月用水量介于2~2.5的频数为0.25×100=25人.
(Ⅱ)由图可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,
∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,
应定为ω=2.5+≈2.83立方米.
(Ⅲ)将频率视为概率,设A代表居民月用水量,由图知:
P(A≤2.5)=0.7,
由题意X~B(3,0.7),
P(X=0)==0.027,
P(X=1)==0.189,
P(X=2)==0.441,
P(X=3)==0.343.
∴X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
∵X~B(3,0.7),∴E(X)=np=2.1.
20.(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若圆O:x2+y2=r2与椭圆C交于A,B,C,D四点,当半径r为多少时,四边形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,
它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点,离心率等于,
∴设椭圆方程为,
根据题意得:,
解得:
所以椭圆C的方程为;
(Ⅱ)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|
由,得,
∴==﹣(﹣2)2+1,
∴时,()max=1,
∴Smax=4×1=4,
此时r2==.
即r=.
21.(12分)设函数f(x)=xlnx﹣ax+1,g(x)=﹣2x3+3x2﹣x+.
(Ⅰ)求函数f(x)在[,e]上有两个零点,求a的取值范围;
(Ⅱ)求证:f(x)+ax>g(x).
【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=xlnx﹣ax+1=0,得:a=lnx+,
问题转化为a=lnx+在[,e]上有2个不同的解,
令h(x)=lnx+,x∈[,e],则h′(x)=,
令h′(x)>0,解得:x>1,令h′(x)<0,解得:0<x<1,
故h(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
而h(1)=1,h()=e﹣1,h(e)=1+<e﹣1,
故a的范围是(1,1+);
(Ⅱ)要证f(x)+ax≥g(x),只要证明xlnx+1≥g(x),
先证xlnx+1≥x,构造函数F(x)=xlnx+1﹣x,
∵F′(x)=1+lnx﹣1=lnx,
x=1时,F′(x)=0,当0<x<1时,F′(x)<0,x>1时,F′(x)>0,
故F(x)在[0,1]递减,在[1,+∞)递增,
故F(x)≥F(1)=0,即证xlnx+1≥x,等号成立当且仅当x=1,
再证明x∈[,+∞)时,g(x)≤x,
构造函数G(x)=x﹣g(x)=2,
∵G′(x)=6≥0,
∴G(x)在[,+∞)递增,
∴G(x)≥G()=0,即证明g(x)≤x,等号成立当且仅当x=,
故x∈(0,)时,构造函数φ(x)=f(x)+ax=xlnx+1,
∵φ′(x)=1+lnx,∴x=时,φ′(x)=0,当0<x<时,φ′(x)<0,
当<x<时,φ′(x)>0,
即φ(x)在(0,)递减,在(,)递增,
∴x∈(0,)时,φ(x)≥φ()=1﹣,
∵g′(x)=﹣6+1,
x∈(0,)时,﹣<g′(x)<1,
又g′(0)=﹣<0,g′()=1>0,
存在x0∈(0,),使得g′(x0)=0,且g(x)在(0,x0)递减,在(x0,)递增,
故x∈(0,)时,g(x)<max{g(0),g()}=,
∴g(x)<<1﹣≤φ(x),
综上,对任意x>0,f(x)+ax>g(x).
[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的极坐标方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程为(α为参数),
转化为直角坐标方程为:x2+y2=1,
曲线C1经过坐标变换后得到的轨迹为曲线C2.
即:,
故C2的直角坐标方程为:.
转化为极坐标方程为:.
(Ⅱ)曲线C1的参数方程为(α为参数),转化为极坐标方程为ρ1=1,
由题意得到:A(1,),
将B(ρ,)代入坐标方程:.
得到,
则:|AB|=.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣3|﹣|x+5|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集;
(Ⅱ)设函数f(x)的最大值为M,若不等式x2+2x+m≥M恒成立,求m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)x≥3时,f(x)=﹣8,此时f(x)≤2恒成立,
﹣5<x<3时,f(x)=﹣2x﹣2,
由f(x)≤2,解得:﹣2≤x<3,
x≤﹣5时,f(x)=8,此时f(x)≤2,无解,
综上,f(x)≤2的解集是{x|x≥﹣2};
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,
易知函数的最大值是8,
若x2+2x+m≥8恒成立,
得m≥﹣x2﹣2x+8恒成立,
即m≥﹣(x+1)2+9,
故m≥9.