2006年辽宁省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2006年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设集合A={1, 2}‎，则满足A∪B={1, 2, 3}‎的集合B的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎8‎ ‎2. 设f(x)‎是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）‎ A.f(x)f(-x)‎是奇函数 B.f(x)|f(-x)|‎是奇函数 C.f(x)-f(-x)‎是偶函数 D.f(x)+f(-x)‎是偶函数 ‎3. 给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行．‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面互相平行．‎ ‎③若直线l‎1‎，l‎2‎与同一平面所成的角相等，则l‎1‎，l‎2‎互相平行．‎ ‎④若直线l‎1‎，l‎2‎是异面直线，则与l‎1‎，l‎2‎都相交的两条直线是异面直线．‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎4. 双曲线x‎2‎‎-y‎2‎=4‎的两条渐近线与直线x=3‎围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）‎ A.x-y≥0‎x+y≥0‎‎0≤x≤3‎ B.‎x-y≥0‎x+y≤0‎‎0≤x≤3‎ C.x-y≤0‎x+y≤0‎‎0≤x≤3‎ D.‎x-y≤0‎x+y≥0‎‎0≤x≤3‎ ‎5. 设‎⊕‎是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算‎⊕‎封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）‎ A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 ‎6. ‎△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p‎→‎‎=(a+c,b)‎，q‎→‎‎=(b-a,c-a)‎，若p‎→‎‎ // ‎q‎→‎，则角C的大小为(        )‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.π‎2‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎7. 与函数y=e‎2x-2ex+1(x≥0)‎的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为（ ）‎ A.y=ln(1+x)‎ B.y=ln(1-x)‎ C.y=-ln(1+x)‎ D.‎y=-ln(1-x)‎ ‎8. 曲线x‎2‎‎10-m‎+y‎2‎‎6-m=1(m<6)‎与曲线x‎2‎‎5-m‎+y‎2‎‎9-m=1(50‎，则g(g(‎1‎‎2‎))=‎________．‎ ‎14. limn→∞‎‎(‎4‎‎5‎-‎6‎‎7‎)+(‎4‎‎5‎‎2‎-‎6‎‎7‎‎2‎)+…+(‎4‎‎5‎n-‎6‎‎7‎n)‎‎(‎5‎‎6‎-‎4‎‎5‎)+(‎5‎‎6‎‎2‎-‎4‎‎5‎‎2‎)+…+(‎5‎‎6‎n-‎4‎‎5‎n)‎‎=‎________．‎ ‎15. ‎5‎名乒乓球队员中，有‎2‎名老队员和‎3‎名新队员．现从中选出‎3‎名队员排成‎1‎，‎2‎，‎3‎号参加团体比赛，则入选的‎3‎名队员中至少有‎1‎名老队员，且‎1‎，‎2‎号中至少有‎1‎名新队员的排法有________种．（以数作答）‎ ‎ 7 / 7‎ ‎16. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα=‎________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 已知函数f(x)=sin‎2‎x+2sinxcosx+3cos‎2‎x，x∈R，求：‎ ‎（1）函数f(x)‎的最大值及取得最大值的自变量x的集合；‎ ‎（2）函数f(x)‎的单调增区间．‎ ‎18. 已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将‎△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)‎．‎ ‎(1)‎证明：BF // ‎平面ADE；‎ ‎(2)‎若‎△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的正弦值．‎ ‎19. 现有甲，乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是‎1.2‎万元，‎1.18‎万元，‎1.17‎万元的概率分别为‎1‎‎6‎，‎1‎‎2‎，‎1‎‎3‎；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(00)‎上的两个动点，O是坐标原点，向量OA‎→‎，OB‎→‎满足‎|OA‎→‎+OB‎→‎|=|OA‎→‎-OB‎→‎|‎，设圆C的方程为x‎2‎‎+y‎2‎-(x‎1‎+x‎2‎)x-(y‎1‎+y‎2‎)y=0‎．‎ ‎（1）证明线段AB是圆C的直径；‎ ‎（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0‎的距离的最小值为‎2‎‎5‎‎5‎时，求p的值．‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎3‎ax‎3‎+bx‎2‎+cx+d，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，且a>0‎，d>0‎．设x‎0‎为f(x)‎的极小值点，在‎[1-‎2ba,0]‎上，f'(x)‎在x‎1‎处取得最大值，在x‎2‎处取得最小值，将点（x‎0‎‎, f(x‎0‎)‎），（x‎1‎‎, f'(x‎1‎)‎），‎(x‎2‎, f'‎（x‎2‎‎, f(x‎2‎)‎）依次记为A，B，C．‎ ‎（1）求x‎0‎的值；‎ ‎（2）若‎△ABC有一边平行于x轴，且面积为‎2+‎‎3‎，求a，d的值．‎ ‎22. 已知f‎0‎‎(x)=xnfk(x)=‎f‎'‎k-1‎(x)‎fk-1‎‎(1)‎，其中k≤n(n, k∈N‎+‎)‎，设F(x)=Cn‎0‎f‎0‎(x‎2‎)+Cn‎1‎f‎1‎(x‎2‎)+...+Cnnfn(x‎2‎)‎，x∈[-1, 1]‎．‎ ‎（1）写出fk‎(1)‎；‎ ‎（2）证明：对任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[-1, 1]‎，恒有‎|F(x‎1‎)-F(x‎2‎)|≤‎2‎n-1‎(n+2)-n-1‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年辽宁省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.D ‎4.A ‎5.C ‎6.B ‎7.A ‎8.A ‎9.C ‎10.D ‎11.C ‎12.B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎1‎‎2‎ ‎14.‎‎-1‎ ‎15.‎‎48‎ ‎16.‎‎6‎‎3‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：（1）解法一：∵ ‎f(x)=‎1-cos2x‎2‎+sin2x+‎3(1+cos2x)‎‎2‎=2+sin2x+cos2x=2+‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎ ‎∴ 当‎2x+π‎4‎=2kπ+‎π‎2‎，即x=kπ+π‎8‎(k∈Z)‎时，f(x)‎取得最大值‎2+‎‎2‎．‎ 因此，f(x)‎取得最大值的自变量x的集合是‎{x|x=kπ+π‎8‎，k∈Z}‎．‎ 解法二：∵ ‎f(x)=(sin‎2‎x+cos‎2‎x)+sin2x+2cos‎2‎x=1+sin2x+1+cos2x=2+‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎ ‎∴ 当‎2x+π‎4‎=2kπ+‎π‎2‎，即x=kπ+π‎8‎(k∈Z)‎时，f(x)‎取得最大值‎2+‎‎2‎．‎ 因此，f(x)‎取得最大值的自变量x的集合是‎{x|x=kπ+π‎8‎，k∈Z}‎ ‎（2）解：‎f(x)=2+‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎ 由题意得‎2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z)‎，即kπ-‎3‎‎8‎π≤x≤kπ+π‎8‎(k∈Z)‎．‎ 因此，f(x)‎的单调增区间是‎[kπ-‎3π‎8‎，kπ+π‎8‎](k∈Z)‎．‎ ‎18.‎(1)‎证明：E，F分别为正方形ABCD的边AB，CD的中点，‎ ‎∵ EB // FD，且EB=FD，‎ ‎∴ 四边形EBFD为平行四边形．‎ ‎∴ ‎BF // ED ‎∵ ED⊂‎平面AED，而BF⊄‎平面AED ‎∴ BF // ‎平面ADE．‎ ‎(2)‎解：如图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，‎ 过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD．‎ ‎∵ ‎△ACD为正三角形，‎ ‎∴ AC=AD.‎ ‎∴ CG=GD.‎ ‎∵ G在CD的垂直平分线上，‎ ‎∴ 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，‎ ‎ 7 / 7‎ 过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，‎ 所以‎∠AHG为二面角A-DE-C的平面角．‎ 即‎∠AHG=θ.‎ 设原正方体的边长为‎2a，连接AF.‎ 在折后图的‎△AEF中，AF=‎3‎a，EF=2AE=2a，‎ 即‎△AEF为直角三角形，AG⋅EF=AE⋅AF.‎ ‎∴ AG=‎3‎‎2‎a.‎ 在Rt△ADE中，AH⋅DE=AE⋅AD.‎ ‎∴ AH=‎2‎‎5‎a.‎ ‎∴ GH=‎a‎2‎‎5‎.‎ cosθ=GHAH=‎‎1‎‎4‎‎．‎ 即sinθ=‎‎15‎‎4‎.‎ ‎19.解：‎(1)‎由题意知ξ‎1‎概率分布为 ‎ ‎ξ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.18‎ ‎1.17‎ P ‎1‎‎6‎ ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎3‎ Eξ‎1‎=1.2×‎1‎‎6‎+1.18×‎1‎‎2‎+1.17×‎1‎‎3‎=1.18‎‎．‎ 由题设得ξ‎2‎‎∼B(2, p)‎，则ξ‎2‎的概率分布为 ‎ ‎ξ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(1-p‎)‎‎2‎ ‎2p(1-p)‎ p‎2‎ ‎∴ ξ‎2‎的数学期望为 Eξ‎2‎=1.3×(1-p‎)‎‎2‎+1.25×2p(1-p)+0.2×p‎2‎=-p‎2‎-0.1p+1.3‎‎.‎ ‎(2)‎由Eξ‎1‎1.18‎ ‎∴ ‎(p+0.4)(p-0.3)<0‎，‎ ‎∴ ‎‎-0.40)‎，‎ ‎∴ ‎x‎1‎x‎2‎‎=‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎‎4‎p‎2‎ 又∵ ‎x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎ ‎∴ ‎x‎1‎x‎2‎‎=-‎y‎1‎y‎2‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ ‎‎-y‎1‎y‎2‎=‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎‎4‎p‎2‎ ‎∴ ‎y‎1‎y‎2‎‎=-4‎p‎2‎ ‎∴ ‎x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎1‎‎4p(y‎1‎‎2‎+y‎2‎‎2‎)‎ ‎=‎1‎‎4p(y‎1‎‎2‎+y‎2‎‎2‎+2y‎1‎y‎2‎)-‎y‎1‎y‎2‎‎2p ‎=‎1‎p(y‎2‎+2p‎2‎)‎ ‎∴ 圆心的轨迹方程为：‎y‎2‎‎=px-2‎p‎2‎ 设圆心C到直线x-2y=0‎的距离为d，则 d=‎‎|x-2y|‎‎5‎ ‎=‎‎|‎1‎p(y‎2‎+2p‎2‎)-2y|‎‎5‎ ‎=‎‎|(y-p‎)‎‎2‎+p‎2‎|‎‎5‎p 当y=p时，d有最小值p‎5‎，‎ 由题设得p‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎∴ ‎p=2‎ ‎21.解：（1）解：∵ ‎‎2b=a+c ‎∴ ‎f‎'‎‎(x)=ax‎2‎+2bx+x=ax‎2‎+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c)‎ 令f‎'‎‎(x)=0‎，得x=-1‎或x=-‎ca ‎∵ a>0‎，‎d>0‎ ‎∴ ‎‎01‎，‎‎-ca<-1‎ 当‎-ca-1‎时，时，f‘‎(x)>0‎，‎ 所以f(x)‎在x=-1‎处取得最小值即x‎0‎‎=-1‎ ‎（2）∵ ‎f‎'‎‎(x)=ax‎2‎+2bx+x(a>0)‎ ‎∴ 函数f‎'‎‎(x)‎的图象的开口向上，对称轴方程为x=-‎ba 由‎-ba>1‎知‎|(1-‎2ba)-(-ba)|<|0-(-ba)|‎ ‎∴ f‎'‎‎(x)‎在‎[1-‎2ba, 0]‎上的最大值为f‎'‎‎(0)=c，即x‎1‎‎=0‎．‎ 又由ba‎>1‎，知‎-ba∈[1-‎2ba, 0]‎ ‎∴ 当x=-‎ba时，‎ f‎‘‎(x)‎取得最小值为f‘‎(-ba)=-‎d‎2‎a，即x‎2‎‎=-‎ba ‎∵ ‎f(x‎0‎)=f(-1)=-‎a‎3‎ ‎∴ A(-1, -a‎3‎)‎，B(0, c)‎，‎C(-ba, -d‎2‎a)‎ 由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，‎ 所以‎-a‎3‎=-‎d‎2‎a，即a‎2‎‎=3d①‎ 又由三角形ABC的面积为‎2+‎‎3‎得‎1‎‎2‎‎(-1+ba)⋅(c+a‎3‎)=2+‎‎3‎ 利用b=a+d，c=a+2d，得‎2‎‎3‎d+d‎2‎a=2+‎‎3‎②‎ 联立①②可得d=3‎，a=3‎‎3‎．‎ ‎22.解：（1）由已知推得fk‎(x)=(n-k+1)‎xn-k，从而有fk‎(1)=n-k+1‎ ‎（2）证法‎1‎：当‎-1≤x≤1‎ 时，‎F(x)=x‎2n+ncn‎1‎x‎2（n-1）‎+(n-1)cn‎2‎x‎2（n-2）‎+...+(n-k+1)cnkx‎2（n-k）‎+...+2cnn-1‎x‎2‎+1‎ 当x>0‎时，‎F'(x)>0‎ 所以F(x)‎在‎[0, 1]‎上为增函数 因函数F(x)‎为偶函数，所以F(x)‎在‎[-1, 0]‎上为减函数 所以对任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[-1, 1]‎，‎‎|F(x‎1‎)-F(x‎2‎)|≤F(1)-F(0)‎ ‎ 7 / 7‎ F(1)-F(0)=Cn‎0‎+ncn‎1‎+(n-1)cn‎2‎+...+(n-k+1)cnk+...+2cnn-1‎=ncnn-1‎+(n-1)cnn-2‎+...+(n-k+1)cnn-k+...+2cn‎1‎+‎cn‎0‎ ‎∵ ‎(n-k+1)cnn-k=(n-k)cnn-k+cnk=ncn-1‎k+cnk(k=1, 2, 3‎,…,‎n-1)‎ F(‎‎!‎‎)-F(0)=n(cn-1‎‎1‎+cn-1‎‎2‎+...+cn-1‎k-1‎)+(cn‎1‎+cn‎2‎+...+cnn-1‎)+‎cn‎0‎ ‎=n(‎2‎n-1‎-1)+‎2‎n-1=‎2‎n-1‎(n+2)-n-1‎ 因此结论成立．‎ 证法‎2‎：当‎-1≤x≤1‎ 时，‎F(x)=x‎2n+ncn‎1‎x‎2（n-1）‎+(n-1)cn‎2‎x‎2（n-2）‎+...+(n-k+1)cnkx‎2（n-k）‎+...+2cnn-1‎x‎2‎+1‎ 当x>0‎时，‎F'(x)>0‎ 所以F(x)‎在‎[0, 1]‎上为增函数 因函数F(x)‎为偶函数 所以F(x)‎在‎[-1, 0]‎上为减函数 所以对任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[-1, 1]‎，‎|F(x‎1‎)-F(x‎2‎)|≤F(‎!‎‎)-F(0)‎ F(‎‎!‎‎)-F(0)=cn‎0‎+ncn‎1‎+(n-1)cn‎2‎+...+(n-k+1)cnk+...+2‎cnn-1‎ 又因F(1)-F(0)=2cn‎1‎+3cn‎2‎+...+kcnk-1‎+...+ncnn-1‎+‎cn‎0‎ 所以‎2[F(1)-F(0)]=(n+2)[cn‎1‎+cn‎2‎+...+cnk-1‎+...+cnn-1‎]+2‎cn‎0‎ F(1)-F(0)=n+2‎‎2‎[cn‎1‎+cn‎2‎+...+cnk-1‎+...+cnn-1‎]+cn‎0‎=n+2‎‎2‎(‎2‎n-2)+1=‎2‎n-1‎(n+2)-n-1‎ 因此结论成立．‎ 证法‎3‎：当‎-1≤x≤1‎时，‎F(x)=x‎2n+ncn‎1‎x‎2（n-1）‎+(n-1)cn‎2‎x‎2（n-2）‎+...+(n-k+1)cnkx‎2（n-k）‎+...+2cnn-1‎x‎2‎+1‎ 当x>0‎时，‎F'(x)>0‎ 所以F(x)‎在‎[0, 1]‎上为增函数 因函数F(x)‎为偶函数 所以F(x)‎在‎[-1, 0]‎上为减函数 所以对任意的x‎1‎，x‎2‎‎∈[-1, 1]‎，‎|F(x‎1‎)-F(x‎2‎)|≤F(‎!‎‎)-F(0)‎ F(‎‎!‎‎)-F(0)=cn‎0‎+ncn‎1‎+(n-1)cn‎2‎+...+(n-k+1)cnk+...+2‎cnn-1‎ 由x[(1+x‎)‎n-xn]=x[cn‎1‎xn-1‎+cn‎2‎xn-2‎+...+cnkxn-k+...+cnn-1‎+1]=cn‎1‎xn+cn‎2‎xn-1‎+...+cnkxn-k+1‎+...+cnn-1‎x‎2‎+x 对上式两边求导得‎(1+x‎)‎n-xn+nx(1+x‎)‎n-1‎-nxn=ncn‎1‎xn-1‎+(n-1)cn‎2‎xn-2‎+...+(n-k+1)cnkxn-k+...+2cnn-1‎x+1‎ F(x)=(1+x‎2‎‎)‎n+nx‎2‎(1+x‎2‎‎)‎n-1‎-nx‎2n ‎∴ F(1)-F(0)=‎2‎n+n‎2‎n-1‎-n-1=(n+2)‎2‎n-1‎-n-1‎．‎ 因此结论成立．‎ ‎ 7 / 7‎