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- 2021-06-10 发布
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课时提升作业 十八
变化率问题 导数的概念
一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)
1.(2016·杭州高二检测)设函数 y=f(x)=x2-1,当自变量 x 由 1 变为 1.1 时,函数的平均变化
率为 ( )
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
【解析】选 A. = = =2.1.
2.(2016·洛阳高二检测)一质点运动的方程为 s=5-3t2,若该质点在时间段
内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在 t=1 时的瞬时速度
是 ( )
A.-3 B.3 C.6 D.-6
【解析】选 D. = =-3Δt-6,
当Δt→0 时,-3Δt-6→-6,
所以瞬时速度为-6.
3.设函数 f(x)在 x0 处可导,则 = ( )
A.f′(x0) B.-f′(x0) C.f(x0) D.-f(x0)
【解析】选 B.
= =-f′(x0).
二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
4.某质点的运动方程为 s=-2t2+1,则该质点从 t=1 到 t=2 时的平均速度为 .
【解析】 = = =-6.
5.(2016·佛山高二检测)一物体的运动方程为 s=7t2+8,则其在 t= 时的瞬时速度为
1.
【解析】 = =7Δt+14t0,
当 (7Δt+14t0)=1 时,t=t0= .
答案:
三、解答题
6.(10 分)(2016·石家庄高二检测)一辆汽车按规律 s=3t2+1 做直线运动(时间单位:s,位移单
位:m),求这辆汽车在 t=3s 时的瞬时速度.
【解析】设这辆汽车在 3s 到(3+Δt)s 这段时间内的位移的增量为Δs,则
Δs=3·(3+Δt)2+1-28=3(Δt)2+18Δt,
所以 =3Δt+18,
所以 (3Δt+18)=18.
故这辆汽车在 t=3s 时的瞬时速度为 18m/s.
【补偿训练】1.甲、乙两人走过的路程 s1(t),s2(t)与时间 t 的关系如图所示,试比较两人的
平均速度哪个大?
【解题指南】欲比较两人的平均速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率,
通过平均变化率的大小关系得出结论.
【解析】由图象可知 s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0),
所以 < ,
所以在从 0 到 t0 这段时间内乙的平均速度大.
2.(1)计算函数 f(x)=x2 从 x=1 到 x=1+Δx 的平均变化率,其中Δx 的值为:
①2;②1;③0.1;④0.01.
(2)思考:当Δx 越来越小时,函数 f(x)在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势?
【解析】(1)因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12=(Δx)2+2Δx,
所以 = =Δx+2.
①当Δx=2 时, =Δx+2=4;
②当Δx=1 时, =Δx+2=3;
③当Δx=0.1 时, =Δx+2=2.1;
④当Δx=0.01 时, =Δx+2=2.01.
(2)当Δx 越来越小时,函数 f(x)在区间上的平均变化率逐渐变小,并接近于 2.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2016·太原高二检测)物体的运动方程是 s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻
为 ( )
A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4
【解析】选 B. =-8t+16,令-8t+16=0,得 t=2.
2.(2016·菏泽高二检测)若 f′(x0)=1,则 = ( )
A. B.- C.1 D.-1
【解题指南】根据导数的定义求解.
【解析】选 B.
=-
=- f′(x0)=- ×1=- .
【误区警示】本题易对导数的概念不理解而误选成 D.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2016·烟台高二检测)汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图,在时间段,,上的
平均速度分别为 , , ,则三者的大小关系为 .
【解析】 =kOA, =kAB, =kBC,由图象知 kOA
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