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- 2021-06-10 发布
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§3.1.3 概率的基本性质
学习目标
(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立
事件的概念;
(2)概率的几个基本性质:
1)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,因此0≤P(A)≤1;
2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+
P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).
(3)正确理解和事件与交事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系.
重点难点
重点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的概念,以及互斥事件的加法公式.
难点: 并事件、交事件、互斥事件和对立事件的区别与联系.
学法指导
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养类比与归纳的数学思想。
知识链接
1. 集合之间包含与相等关系、集合的交、并、补运算
问题探究
【提出问题】
1.两个集合之间存在着包含与相等的关系,集合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗?
2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必然事件对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应空集,从而可以类比集合的关系与运算,分析事件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的理解和认识.
【探究新知】(一):事件的关系与运算
在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件:
C1={出现1点},C2={出现2点},
C3={出现3点},C4={出现4点},
C5={出现5点},C6={出现6点},
D1={出现的点数不大于1},
D2={出现的点数大于4},
D3={出现的点数小于6},
E={出现的点数小于7},
F={出现的点数大于6},
G={出现的点数为偶数},
H={出现的点数为奇数},等等.
思考1:上述事件中,是必然事件的有 ,是随机事件的有 , 是不可能事件的有 .
思考2:如果事件C1发生,则一定有 发生。
在集合中,集合C1与这些集合之间的关系怎样描述?
思考3:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称 。
(或称 ),记作
(或___ _ ).与集合类比,不可能事件记作___ .可知, ___ 都包含不可能事件.
思考4:分析事件C1与事件D1之间的包含关系,按集合观点,这两个事件之间的关系应怎样描述?
思考5:一般地,当两个事件A、B满足___
___ ___ ___ ___ ,称事件A与事件B相等?
思考6:如果事件C5发生或C6发生,就意味着哪个事件发生?反之成立吗?
思考7:若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或 ),记作
(或 ).
思考8:类似地,当且仅当事件A发生且事件B发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作C=A∩B(或AB).
如: 在上述掷骰子试验中, ___=___.
思考9:两个集合的交可能为空集,两个事件的交事件也可能为不可能事件,即A∩B=Ф,此时,称事件A与事件B互斥,那么在一次试验中,事件A与事件B互斥的含义怎样理解?在上述事件中能找出这样的例子吗?
思考10:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件,那么在一次试验中,事件A与事件B互为对立事件的含义怎样理解?
例如: 在掷骰子试验中, GH为不可能事件, 为必然事件,所以G与H互为对立事件.
思考11:若事件A与事件B相互对立,那么事件A与事件B互斥吗?反之,若事件A与事件B互斥,那么事件A与事件B相互对立吗?
【探究新知】(二):概率的几个基本性质
性质一:概率的取值范围是___ ,必然事件、不可能事件的概率分别是 .
思考1: 如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系?与、有什么关系?进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系?由此可得
性质二:概率的加法公式
性质三:如果事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为___ 事件, 那么P(A∪B)= ___ 则=1.
; .
例1:
在掷骰子试验中,G和H互为对立事件,因此
思考2: 如果事件A与事件B互斥,
那么 ___ 1.(填大小关系)
思考3: 对于任意两个事件A、B, P(A∪B)一定比P(A)或P(B)大吗? P(A∩B)一定比P(A)或P(B)小吗?
【例题讲评】
例1 某射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环;
事件B:命中环数为10环;
事件C:命中环数小于6环;
事件D:命中环数为6、7、8、9、10环.
例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是,取到方片(事件B)的概率是,问:
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
例3 经统计,在某高中食堂某些窗口等候打饭的人数及相应概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1) 至少2人排队等候的概率是多少?
(2) 至少3人排队等候的概率是多少?
例4一箱新产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件产品,给出事件:
(1)恰有一件次品与恰有两件次品
(2)至少有一件次品与全是次品
(3)至少有一件正品与至少有一件
次品
(4)至少有一件次品与全是正品.
判断以上各事件哪些是互斥事件,哪些是对立事件,哪些既不是互斥事件也不是对立事件 .
目标检测
1、 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任两个数,分别有下列事件:
①恰有一个是奇数或恰有一个是偶数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
其中为互斥事件的是( ) A. ① B.②④ C.③ D.①③
2、甲、乙两人下棋,两个人下成和棋的概率为,乙获胜的概率为,则乙输的概率为
( )
A. B. C. D.
3、从装有2个红球和2个白球的中袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有1个白球, 都是白球.
B.至少有1个白球, 至少有1个红球.
C. 恰有1个白球, 恰有2个白球.
D.至少有1个白球,都是红球.
4、抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P(A)=,P(B)=,则出现奇数点或2点的概率是__ .
5、某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,则该射手在一次射击中,射中10环或9环的概率是__ ;少于7环的概率是__ .
6、一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,现给以下四个事件:A.恰有1件次品;B.至少有2件次品;C.至少有1件次品;D.至多有1件次品;并给出以下结论:①A+B=C;②B+D是必然事件;③A+C=B;④A+D=C;其中正确的结论为 (写出序号即可).
7、某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4,求:
⑴他乘火车或乘飞机去的概 率;
⑵他不乘轮船去的概率;
⑶如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?
纠错矫正
总结反思
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