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  • 2021-06-10 发布

高中数学第5章函数概念与性质课时分层作业22函数的最大值最小值含解析苏教版必修第一册

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课时分层作业(二十二) 函数的最大值、最小值 ‎(建议用时:40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则关于f(x)的最值的说法正确的是(  )‎ A.只有最大值 B.只有最小值 C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值,又无最小值 D [f(x)=画出图象(略)可知,既无最大值又无最小值.]‎ ‎2.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值为(  )‎ A.0 B.±2 ‎ C.2 D.-2‎ B [由题意知a≠0,当a>0时,有(‎2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(‎2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.]‎ ‎3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是(  )‎ A.y=+2 B.y=3x-2‎ C.y=x2 D.y=1-x A [B、C在[1,4]上均为增函数,A、D在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值.]‎ ‎4.函数f(x)=|1-x|-|x-3|,x∈R的值域为(  )‎ A.[-2,2] B.(-2,2]‎ C.(-2,2) D.[-2,2)‎ A [f(x)=|1-x|-|x-3|=|x-1|-|x-3|,利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差,结合数轴(略)可知值域为[-2,2].]‎ ‎5.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a>0 B.a≥0‎ C.a<0 D.a≤0‎ C [令f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)=-(x2-2x+1)+1=-(x-1)2+1,图象如图: ‎ - 5 -‎ ‎∴f(x)的最小值为f(0)=f(2)=0.‎ 而a<-x2+2x恒成立,∴a<0.]‎ 二、填空题 ‎6.(一题两空)函数f(x)=|x-2|-2在区间[0,3]上的最小值为    ,最大值为    .‎ ‎-2 0 [f(x)=图象如图.‎ 由图可知,x=2时,f(x)min=-2;‎ x=0时,f(x)max=f(0)=0.]‎ ‎7.已知函数f(x)的值域为,则函数g(x)=f(x)+的值域为    .‎  [∵≤f(x)≤,∴≤≤.‎ 令t=,‎ 则f(x)=(1-t2),‎ 令y=g(x),则y=(1-t2)+t,‎ 即y=-(t-1)2+1.‎ ‎∴当t=时,y有最小值;当t=时,y有最大值.‎ ‎∴g(x)的值域为.]‎ ‎8.函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则m的取值范围是    .‎ ‎2≤m≤4 [f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,x∈[0,m].‎ 由最小值为1知m≥2.‎ 由最大值为5知f(0)=5,f(4)=5.所以2≤m≤4.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=2ax+(a∈R).‎ ‎(1)当a=时,试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论;‎ ‎(2)对于任意的x∈(0,1],使得f(x)≥6恒成立,求实数a的取值范围.‎ - 5 -‎ ‎[证明] (1)取任意的x1,x2,且00‎ 所以f(x)在(0,1]上的单调递减.‎ ‎(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立,得2ax+≥6 恒成立,‎ 即‎2a≥6-,∈[1,+∞)⇒max=9⇒‎2a≥9,即a≥.‎ ‎10.已知二次函数y=f(x)=x2-2x+2.‎ ‎(1)当x∈[0,4]时,求f(x)的最值;‎ ‎(2)当x∈[2,3]时,求f(x)的最值;‎ ‎(3)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).‎ ‎[解] y=f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1.‎ ‎(1)∵对称轴x=1∈[0,4],∴当x=1时,y有最小值,‎ ymin=f(1)=1.‎ ‎∵f(0)=21时,f(x)<0.‎ ‎(1)求f(1)的值;‎ ‎(2)证明:f(x)为单调递减函数;‎ ‎(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.‎ ‎[解] (1)令x1=x2>0,‎ - 5 -‎ 代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.‎ ‎(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,‎ 当x>1时,f(x)<0,∴f<0,‎ 即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)