2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3 36页

第 1 课时　函数的概念 必备知识 · 自主学习 函数 (1) 概念： ①定义：设 A ， B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的 _________ 数 x ，按照某 种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有 _________ 的数 y 和它对应，那么 f ： A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 . 导思 初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系，那么函数还有没有其他的定义方法？ 任意一个 唯一确定 ② 记法： y=f(x) ， x∈A. ③ 定义域： x 的取值范围 A ；值域：与 x 的值对应的 y 值叫做函数值，即集合 ____________. (2) 本质：函数的集合定义 . (3) 应用：给出了函数的一般性定义 . {f(x)|x∈A} 【 思考 】 1. 对于函数 f ： A→B ，值域一定是集合 B 吗？为什么？ 提示： 不一定 . 值域是集合 B 的子集，即 {f(x)|x∈A}⊆B. 2. 对应关系 f 必须是一个解析式的形式吗？为什么？ 提示： 不一定 . 可以是数表，也可以是图象 . 3.f(x) 的含义是什么？ 提示： 集合 A 中的数 x 在对应关系 f 的作用下对应的数 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1)“y=f(x)” 表示的是“ y 等于 f 与 x 的乘积” . ( 　　 ) (2) 根据函数的定义，定义域中的任何一个 x 可以对应着值域中不同的 y. ( 　　 ) (3) 在研究函数时，除用符号 f(x) 外，还可用 g(x) ， F(x) ， G(x) 等来表示函 数 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 符号 y=f(x) 是 “ y 是 x 的函数 ” 的数学表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所施加的对象 . (2)×. 根据函数的定义，对于定义域中的任何一个 x ，在值域中都有唯一的 y 与之对应 . (3)√. 同一个题中，为了区别不同的函数，常采用 g(x) ， F(x) ， G(x) 等来表示函数 . 2. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ( 　　 ) A. 出租车车费与出租车行驶的里程 B. 商品房销售总价与商品房建筑面积 C. 铁块的体积与铁块的质量 D. 人的身高与体重 【 解析 】 选 D.A. 出租车车费与行程是函数关系； B. 商品房销售总价与建筑面积是函数关系； C. 铁块的体积与质量是函数关系； D. 人的身高与体重不是函数关系 . 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 如图能表示函数关系的是 _______.  【 解析 】 由于③中的 2 与 1 和 3 同时对应，故③不是函数关系 . 答案： ①②④ 关键能力 · 合作学习 类型一　函数的概念 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 临沂高一检测 ) 图中所给图象是函数图象的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. 设集合 P={x|0≤x≤2} ， Q={y|0≤y≤2} ，则图中能表示 P 到 Q 的函数的 是 ( 　　 ) A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4) C.(4) D.(3) 3. 以下从 M 到 N 的对应关系表示函数的是 ( 　　 ) A.M=R ， N={y|y>0} ， f ： x→y=|x| B.M={x|x≥2 ， x∈N * } ， N={y|y≥0 ， y∈N * } ， f ： x→y=x 2 -2x+2 C.M={x|x>0} ， N=R ， f ： x→y=± D.M=R ， N=R ， f ： x→y= 【 解析 】 1. 选 B.① 的图象中，当 x>0 时，每一个 x 值都有两个 y 值与之相对应，故①中的图象不是函数图象；②的图象中，当 x=x 0 或 x<0 时，有两个 y 值与之相对应，故②中的图象不是函数图象； ③④的图象中，对于每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应，符合函数的定义，故③④中的图象是函数的图象，所以是函数图象的有 2 个 . 2. 选 C. 对于 (1) ，根据函数的定义，在定义域内的任何一个 x 值，都唯一对应一个 y 值，而当 x=1 时，有 2 个 y 值与之对应，故 (1) 不正确；对于 (2) ，定义域 {x|00} ， f ： x→y=|x| ， M 中元素 0 ，在 N 中无对应的元素，不满足函数的定义； B 中， M={x|x≥2 ， x∈N * } ， N={y|y≥0 ， y∈N * } ， f ： x→y=x 2 -2x+2 ， M 中任一元素，在 N 中都有唯 一的元素与之对应，满足函数的定义； C 中， M={x|x>0} ， N=R ， f ： x→y= ± ， M 中任一元素，在 N 中都有两个对应的元素，不满足函数的定义； D 中 M=R ， N=R ， f ： x→y= ， M 中元素 0 ，在 N 中无对应的元素，不满足函数的定义 . 【 解题策略 】 1. 判断一个对应是否是函数的方法 2. 根据图象判断对应是否为函数的步骤 (1) 任取一条垂直于 x 轴的直线 l . (2) 在定义域内平行移动直线 l . (3) 若 l 与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数 . 如图所示： 【 补偿训练 】 　　 (2020· 朝阳高一检测 ) 图中，能表示函数 y=f(x) 的图象的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 根据题意，对于 A ， B 两图，可以找到一个 x 与两个 y 对应的情形；对于 C 图，当 x=0 时，有两个 y 值对应；对于 D 图，每个 x 都有唯一的 y 值对应 . 因此， D 图可以表示函数 y=f(x). 类型二　函数的三要素 ( 数学运算 ) 　角度 1 　定义域和值域  【 典例 】 (2020· 丰台高一检测 ) 已知函数 y=f(x) 的图象如图所示，则该函数的定义域为 _____ ，值域为 _____.  【 思路导引 】 观察横坐标的取值确定定义域，观察纵坐标的取值确定值域 . 【 解析 】 根据 y=f(x) 的函数图象可看出， f(x) 的定义域为 {x|-2≤x≤4 或 5≤x≤8} ，值域为 {y|-4≤y≤3}. 答案： {x|-2≤x≤4 或 5≤x≤8} 　 {y|-4≤y≤3} 【 变式探究 】 若已知函数 f(x)=x 2 ， x∈{-1 ， 0 ， 1} ，试求函数的值域 . 【 解析 】 由 x∈{-1 ， 0 ， 1} ，代入 f(x)=x 2 ， 解得 f(-1)=1 ， f(0)=0 ， f(1)=1 ， 根据集合的互异性，函数的值域为 {0 ， 1}. 　角度 2 　对应关系  【 典例 】 (2020· 哈尔滨高一检测 ) 德国数学家狄利克雷在 1837 年时提出： “如果对于 x 的每一个值， y 总有一个完全确定的值与之对应，则 y 是 x 的函 数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵 . 只要有一个法则，使得 x 在取值 范围中的每一个值，都有一个确定的 y 和它对应就行了，不管这个对应的法则 是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数 f(x) 由表给出，则 的值为 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 x x≤1 10} 时， 函数值为 1 ，在 x=0 时， 函数值为 0 ，在 x∈{x|x<0} 时，函数值为 -1. 故函数的值域为 {-1 ， 0 ， 1}. 2. 已知函数 f(x) ， g(x) 分别由表给出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 则方程 g(f(x))=3 的解集为 _______.  【 解析 】 根据题意，若方程 g(f(x))=3 ，必有 f(x)=1 ，则有 x=1 或 3 ，即方程 g(f(x))=3 的解集为 {1 ， 3}. 答案： {1 ， 3} x 1 2 3 g(x) 3 2 1 【 补偿训练 】 已知函数 f(x) 与 g(x) 分别由表给出，那么 f(g(3))=_______.  x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 4 1 2 【 解析 】 由题意得 g(3)=1 ， f(g(3))=f(1)=2. 答案： 2 类型三　构建问题情境 ( 数学建模 ) 【 典例 】 已知矩形的面积为 10 ，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系， 【 思路导引 】 观察解析式求出的值对应图形中的线段，构建问题情境 . 【 解析 】 (1) 设长为 x ，宽为 y ，那么 y= . 其中 x 的取值范围 A={x|x>0} ， y 的取值范围 B={y|y>0} ，对应关系 f 把每一个长 方形的长 x ，对应到唯一确定的宽 . (2) 设长为 x ，周长为 y ，那么 y=2x+ . 其中 x 的取值范围 A={x|x>0} ， y 的取值范围 B={y|y>0} ，对应关系 f 把每一个长 方形的长 x ，对应到唯一确定的周长 2x+ . (3) 设长为 x ，对角线为 y ，那么 y= . 其中 x 的取值范围 A={x|x>0} ， y 的取值范围 B={y|y≥ } ，对应关系 f 把每一 个长方形的长 x ，对应到唯一确定的对角线 . 【 解题策略 】 构建问题情境的步骤 (1) 综合考虑构建具体的实际问题 . (2) 赋予每个变量具体的实际意义 . (3) 根据变量关系，设计出所求的实际问题 . 【 跟踪训练 】 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 y=2 来描 述 . 【 解析 】 某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的 2 倍，设投资为 x ，利润为 y ，那么 y=2 . 其中 x 的取值范围 A={x|x≥0} ， y 的取值范围 B={y|y≥0} ，对应关系 f 把每一笔投资对应到唯一确定的利润 2 . 课堂检测 · 素养达标 1. 对于函数 f ： A→B ，若 a∈A ， b∈A ，则下列说法错误的是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(a)∈B B.f(a) 有且只有一个 C. 若 f(a)=f(b) ，则 a=b D. 若 a=b ，则 f(a)=f(b) 【 解析 】 选 C. 对于函数 f ： A→B ， a∈A ， b∈A ，则根据函数的定义， f(a)∈B ，且 f(a) 唯一，故若 a=b ，则 a ， b 代表集合 A 中同一个元素，这时，有 f(a)=f(b) ，故 B ， D 都对 . 但若 f(a)=f(b) ，则不一定有 a=b ，如 f(x)=x 2 ，显然 f(-1)=f(1)=1 ，但 -1≠1 ，故 C 错误 . 2. 函数 y=f(x) 的图象与直线 x=2 020 的公共点有 ( 　　 ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D. 以上答案都不对 【 解析 】 选 C. 由函数的概念： “ 对集合 A 中的任意一个自变量的值，在集合 B 中有唯一确定的值与之对应 ” 可知，直线 x=2 020 与函数 y=f(x) 的图象有且只有一个公共点或没有公共点 . 3. 若函数 y=x 2 -3x 的定义域为 {-1 ， 0 ， 2 ， 3} ，则其值域为 _______.  【 解析 】 依题意，当 x=-1 时， y=4 ；当 x=0 时， y=0 ；当 x=2 时， y=-2 ；当 x=3 时， y=0 ，所以函数 y=x 2 -3x 的值域为 {-2 ， 0 ， 4}. 答案： {-2 ， 0 ， 4} 4. 下列对应关系是集合 P 上的函数的是 _______.  ①P=Z ， Q=N * ，对应关系 f ：对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应； ② P={-1 ， 1 ， -2 ， 2} ， Q={1 ， 4} ，对应关系 f ： x→y=x 2 ， x∈P ， y∈Q ； ③ P={ 三角形 } ， Q={x|x>0} ，对应关系 f ：对 P 中的三角形求面积与集合 Q 中的元素对应 . 【 解析 】 ② 显然正确，由于①中的集合 P 中的元素 0 在集合 Q 中没有对应元素，并且③中的集合 P 不是数集，从而①③不正确 . 答案： ②