黑龙江省绥化市安达市第七中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 15页

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题 ‎1.设均为正数，且，，．则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，‎ 与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．‎ 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．‎ ‎【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．‎ ‎2.函数f（x）=‎ A. （-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，所以零点在区间（0，1）上 考点：零点存在性定理 ‎3.已知函数是偶函数,则在上(    )‎ A. 是增函数 B. 是减函数 C. 不具有单调性 D. 单调性由m确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ f（x）＝（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），解得m＝0，进而判断出二次函数的增减区间，进而求解．‎ ‎【详解】f（x）＝（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+2mx+3＝（m﹣1）（﹣x）2+2m（﹣x）+3，解得m＝0，‎ ‎∴f（x）＝﹣x2+3 开口向下，对称轴为y轴，在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，‎ ‎∴f（x）在（﹣5，﹣2）上单调递增函数，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查奇偶函数的性质，二次函数的增减区间，是基础题 ‎4.函数的定义域是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由解得或，故选D.‎ 考点：函数的定义域与二次不等式.‎ ‎5.函数满足条件：‎ ‎①定义域为R，且对任意，;‎ ‎②对任意小于1的正实数，存在，使则可能是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对选项中的四个函数进行判断，得出符合条件的函数即可．‎ ‎【详解】对于A，y＝f（x）（x≠±1）不满足定义域为R，∴是不可能的函数；‎ 对于B，y＝f（x）（x∈R），对任意x∈R，f（x）＜1；‎ 且对任意小于1的正实数a，存在x0，使f（x0）＝f（﹣x0）＞a，∴是可能的函数；‎ 对于C，y＝f（x），不满足f（x）＝f（﹣x），∴是不可能的函数；‎ 对于D，y＝f（x），当x＝0时，f（0）＝1，不满足x∈R时f（x）＜1，∴是不可能的函数．‎ 故选：B．‎ 点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，属于新定义的函数的应用问题，是易错题目．‎ ‎6.设函数若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为函数若,所以或，解得或，即实数的取值范围是故选C.‎ ‎7.某学校先举办次田径运动会，某班有8人参赛,后又举办了一次球类运动会.这个班有12人参赛，两次运动会都参赛的有3人.若两次运动会中，这个班共有m人参赛，则m的值为（ ）‎ A. 17 B. 20 C. 23 D. 26‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card（A），card（B），card（A∩B）是已知的，于是可以根据上面的公式求出card（A∪B）．‎ ‎【详解】设A＝{x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B＝{x|x是参加球类运动会比赛的学生}，‎ A∩B＝{x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，‎ A∪B＝{x|x是参加所有比赛的学生}．‎ 因此card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）＝8+12﹣3＝17．‎ 故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛，即 ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式card ‎（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的合理运用．‎ ‎8.若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上 （ ）‎ A. 是减函数，有最小值0‎ B. 是增函数，有最小值0‎ C. 是减函数，有最大值0‎ D. 是增函数，有最大值0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为为奇函数，且在上为增函数，且有最小值0，‎ 所以在上为增函数，且有最大值0，选D.‎ ‎9.函数的图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中函数知，当x＝0时，y＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．‎ ‎【详解】观察四个图的不同发现，A、C、D图中的图象过原点，‎ 而当x＝0时，y＝0，故排除B；又由定义域可知x<1,排除D．‎ 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.‎ ‎10.设集合，，且，则实数a的值为(    )‎ A. 1或-1 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A与B的交集，得到元素3属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值．‎ ‎【详解】∵A∩B＝{3}，‎ ‎∴3∈A且3∈B，‎ ‎∴a+2＝3或a2+2＝3，‎ 解得：a＝1或a＝﹣1，‎ 当a＝1时，a+2＝3，a2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去；‎ 则a＝﹣1．‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎11.已知，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得，再代入求解即可 ‎【详解】令，则，故 故选：C ‎【点睛】本题考查函数值求解，考查整体思想，是基础题 ‎12.定义域为的函数是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求每个函数的定义域逐项判断即可 ‎【详解】对A, 的定义域为，不合题意；‎ 对B, 定义域为 ，不合题意；‎ 对C, 定义域为 ，不合题意；‎ 对D, 定义域，符号题意；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，是基础题 二、填空题 ‎13.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.‎ 考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.‎ ‎14.若，且，则___________。‎ ‎【答案】0或2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】若或，则必有.从而，.‎ 若且，对取以6为底的对数，得.‎ 则，‎ 故.‎ 综上或2.‎ ‎15.函数在区间上为减函数，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先讨论时的情况，再考虑，此时，函数是二次函数，利用二次函数的对称轴公式求出的对称轴，据对称轴与单调区间的关系，令，求出a的范围即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，在区间上为减函数，符合题意；‎ ‎（2）当时，由函数在区间上为减函数，故，‎ 函数的对称轴为：，‎ 函数在区间上为减函数，， 解得，即.‎ 综上所述，. 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性和分类讨论思想的运用，属中档题.解决二次函数的有关问题：单调性、最值，首先要解决二次函数的对称轴与所给区间的位置关系.‎ ‎16.已知函数是定义在R上的奇函数,若当时,有,则当时,函数的解析式为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设则﹣x≥0，代入已知的解析式求出f（﹣x），由奇函数的性质求出当时f（x）的解析式．‎ ‎【详解】设则﹣x≥0，‎ 因为当时,有 所以 因为f（x）是R上的奇函数，‎ 所以f（x）＝﹣f（﹣x）=，‎ 即当时,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求函数的解析式，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17. 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次， 如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．‎ ‎（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数。‎ ‎【答案】（1）（2）这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多。每天最多运营人数为7920.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先设出一次函数的解析式，再代入，利用待定系数法进行求解；（2）先设出有关未知量，结合（1）结论，得到每天运营总人数关于车厢节数的函数，再利用二次函数求其最值．‎ 试题解析：（1）设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b,当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,‎ 得到16=4k+b,10=7k+b．解得:k=-2,b=24,∴y=-2x+24 ‎ 设每天往返y次,每次挂x节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运营人数最多,设每天运营 S节车 厢,则S=xy=x（-2x+24）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72,‎ 所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数110×72=7 920（人）．‎ 答:这列火车每天往返12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920人．‎ 考点：1．函数模型及其应用；2．待定系数法；3．二次函数的最值．‎ ‎【思路点睛】本题考查函数模型及其应用，属于中档题．解决函数应用题的基本步骤：‎ 审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；‎ 建模：利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；‎ 求解：求解数学问题，得出数学结论；‎ 还原：将利用数学知识和方法得到的结论，还原为实际问题的答案．‎ ‎18.函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断在区间上单调性并加以证明；‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数是奇函数，定义域要关于原点对称，根据，可求得的值，或是根据，解出，然后再根据定义域验证；（2）,根据定义，设，计算，利用条件，判定真数和1的大小关系，并讨论底数和两种情况，判定单调性．‎ 试题解析：（1）由 ‎①时，，舍去 ‎②时，解得或 ‎（2）‎ 任意设 ‎1‎ 时，为增函数 时，为减函数 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的单调性．‎ ‎19.已知指数函数（，且）．‎ ‎（1）求的反函数的解析式；‎ ‎（2）解不等式：．‎ ‎【答案】（1）（，且）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将函数反解即可；（2）分与利用对数函数的性质求解．‎ 试题解析：（1）由题意知（，且）．‎ ‎（2）当时，，得，所以不等式的解集为．‎ 同理，当时，不等式的解集为．‎ 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．‎ 考点：1、反函数；2、对数函数性质．‎ ‎【易错点睛】解决与对数函数有关的问题时需注意：①在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数的定义域应为；②对数函数的单调性和的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按和进行分类讨论．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时,求最大值和最小值;‎ ‎(2)求实数a的取值范围,使在区间上是单调函数.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知在对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；‎ ‎（2）要使y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，只需当区间[﹣5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．‎ ‎【详解】(1)当时，.‎ 因为在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以.‎ ‎(2),‎ 所以在上单调递减，‎ 在上单调递增.‎ 所以或.‎ 即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，同时考查分析问题的能力．‎ ‎21.已知函数 的零点是-3和2‎ ‎(1)求函数的解析式.‎ ‎(2)当函数的定义域是时求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1） , ‎ ‎ （2）因为对称轴 ,所以 点睛：本题将函数的零点、解析式、‎ 最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用。求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)证明:函数是R上的增函数.‎ ‎(2)求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用定义法，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数；当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．‎ ‎（2）利用函数的单调性求函数的值域；‎ ‎【详解】（1）设是R内任意两个值,且,‎ 则.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎∴是R上的增函数.‎ ‎（2）‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，一般用定义；还考查了证明函数的单调性，一般用定义和导数，用定义时，要注意变形到位，用导数时，要注意端点．‎ ‎ ‎