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  • 2021-06-10 发布

2005年江西省高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2005年江西省高考数学试卷(理科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 设全集I={x|-31‎,解关于x的不等式f(x)<‎‎(k+1)x-k‎2-x.‎ ‎18. 已知向量a‎→‎‎=‎(‎2cosx‎2‎, tan(x‎2‎+π‎4‎)‎),b‎→‎‎=(‎2‎sin(x‎2‎+π‎4‎)‎,tan(x‎2‎-π‎4‎)‎,令f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎.是否存在实数x∈[0, π]‎,使f(x)+f‎'‎(x)=0‎(其中f‎'‎‎(x)‎是f(x)‎的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎19. A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达‎9‎次时,或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.‎ ‎(1)求ξ的取值范围;‎ ‎(2)求ξ的数学期望Eξ.‎ ‎20. 如图,在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AD=AA‎1‎=‎1‎,AB=‎2‎,点E在棱AB上移动.‎ ‎(1)证明:D‎1‎E⊥A‎1‎D;‎ ‎(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD‎1‎的距离;‎ ‎(3)AE等于何值时,二面角D‎1‎‎-EC-D的大小为π‎4‎.‎ ‎21. 已知数列‎{an}‎的各项都是正数,且满足:a‎0‎‎=1‎,an+1‎‎=‎1‎‎2‎an(4-an)‎,n∈N.‎ ‎(1)证明an‎0‎.‎ ‎①当‎10‎,解集为‎(1, 2)∪(2, +∞)‎;‎ ‎③当k>2‎时,解集为‎(1, 2)∪(k, +∞)‎.‎ ‎18.解:‎f(x)=a‎→‎⋅b‎→‎=2‎2‎cosx‎2‎sin(x‎2‎+π‎4‎)+tan(x‎2‎+π‎4‎)tan(x‎2‎-π‎4‎)‎ ‎=2‎2‎cosx‎2‎(‎2‎‎2‎sinx‎2‎+‎2‎‎2‎cosx‎2‎)+‎1+tanx‎2‎‎1-tanx‎2‎⋅‎tanx‎2‎-1‎‎1+tanx‎2‎ ‎=2sinx‎2‎cosx‎2‎+2cos‎2‎x‎2‎-1‎ ‎=sinx+cosx‎.‎ f(x)+f'(x)=0‎‎,‎ 即:f(x)+f'(x)=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx=0‎.可得x=‎π‎2‎,‎ 当x=‎π‎2‎时,tan(x‎2‎+π‎4‎)‎无意义 所以不存在实数x=π‎2‎∈[0, π]‎,使f(x)+f'(x)=0‎ ‎19.解:(1)设正面出现的次数为m,反面出现的次数为n,‎ 则‎|m-n|=5‎m+n=ξ‎1≤ξ≤9‎,‎ 可得:当m=1‎,n=0‎或m=0‎,n=5‎时,ξ=5‎;‎ 当m=6‎,n=1‎或m=1‎,n=6‎时,ξ=7‎;‎ 当m=7‎,n=2‎或m=2‎,n=7‎时,ξ=9‎;‎ ‎∴ ξ的所有可能取值为:‎5‎,‎7‎,‎9‎.‎ ‎(2)ξ表示游戏终止时掷硬币的次数,由题意知ξ的所有可能取值为:‎5‎,‎7‎,‎9‎.‎ ‎ 6 / 6‎ 根据独立重复试验的概率公式得到 P(ξ=5)=2×(‎1‎‎2‎‎)‎‎5‎=‎2‎‎32‎=‎‎1‎‎16‎‎;‎ P(ξ=7)=2C‎5‎‎1‎(‎1‎‎2‎‎)‎‎7‎=‎‎5‎‎64‎‎;‎ P(ξ=9)=1-‎1‎‎16‎-‎5‎‎64‎=‎‎55‎‎64‎‎;‎ ‎∴ Eξ=5×‎1‎‎16‎+7×‎5‎‎64‎+9×‎55‎‎64‎=‎‎275‎‎32‎.‎ ‎20.证明:∵ AE⊥‎平面AA‎1‎DD‎1‎,A‎1‎D⊥AD‎1‎,∴ ‎A‎1‎D⊥D‎1‎E 设点E到面ACD‎1‎的距离为h,在‎△ACD‎1‎中,AC=CD‎1‎=‎‎5‎,AD‎1‎=‎‎2‎,‎ 故S‎△AD‎1‎C‎=‎1‎‎2‎⋅‎2‎⋅‎5-‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎,而S‎△ACE‎=‎1‎‎2‎⋅AE⋅BC=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎∴ VD‎1‎‎-AEC‎=‎1‎‎3‎S‎△AEC⋅DD‎1‎=‎1‎‎3‎S‎△AD‎1‎C⋅h,‎ ‎∴ ‎1‎‎2‎‎×1=‎3‎‎2‎×h,∴ h=‎‎1‎‎3‎.‎ 过D作DH⊥CE于H,连D‎1‎H、DE,则D‎1‎H⊥CE,∴ ‎∠DHD‎1‎为二面角D‎1‎‎-EC-D的平面角.‎ 设AE=x,则BE=‎2-x在Rt△D‎1‎DH中,∵ ‎∠DHD‎1‎=‎π‎4‎,∴ DH=‎1‎.‎ ‎∵ 在Rt△ADE中,DE=‎‎1+‎x‎2‎,‎ ‎∴ 在Rt△DHE中,EH=x,在Rt△DHC中CH=‎‎3‎,在Rt△CBE中CE=‎x‎2‎‎-4x+5‎.‎ ‎∴ x+‎3‎=x‎2‎‎-4x+5‎⇒x=2-‎‎3‎.‎ ‎∴ AE=2-‎‎3‎时,二面角D‎1‎‎-EC-D的大小为π‎4‎.‎ 解法(二):‎ 以D为坐标原点,直线DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A‎1‎‎(1, 0, 1)‎,D‎1‎‎(0, 0, 1)‎,E(1, x, 0)‎,A(1, 0, 0)C(0, 2, 0)(1)‎因为DA‎1‎‎→‎‎⋅D‎1‎E‎→‎=(1, 0, 1)⋅(1, x, -1)‎=‎0‎,所以DA‎1‎‎→‎‎⊥‎D‎1‎E‎→‎.(2)因为E为AB的中点,则E(1, 1, 0)‎,从而D‎1‎E‎→‎‎=(1,1,-1),AC‎→‎=(-1,2,0)‎,AD‎1‎‎→‎‎=(-1,0,1)‎,设平面ACD‎1‎的法向量为n‎→‎‎=(a,b,c)‎,‎ 则n‎→‎‎⋅AC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅AD‎1‎‎→‎=0‎‎ ‎也即‎-a+2b=0‎‎-a+c=0‎‎ ‎,得a=2ba=c‎ ‎,从而n‎→‎‎=(2,1,2)‎,所以点E到平面AD‎1‎C的距离为h=‎|D‎1‎E‎→‎⋅n‎→‎|‎‎|n‎→‎|‎=‎2+1-2‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎.(3)设平面D‎1‎EC的法向量n‎→‎‎=(a,b,c)‎,‎ ‎∴ CE‎→‎‎=(1,x-2,0),D‎1‎C‎→‎=(0,2,-1),DD‎1‎‎→‎=(0,0,1)‎,‎ 由n‎→‎‎⋅D‎1‎C‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅CE‎→‎=0‎‎ ⇒‎2b-c=0‎a+b(x-2)=0.‎ ‎令b=‎1‎,∴ c=‎2‎,a=‎2-x,‎ ‎∴ n‎→‎‎=(2-x,1,2)‎.‎ 依题意cosπ‎4‎=‎|n‎→‎⋅DD‎1‎‎→‎|‎‎|n‎→‎|⋅|DD‎1‎‎→‎|‎=‎2‎‎2‎⇒‎2‎‎(x-2)‎‎2‎‎+5‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∴ x‎1‎‎=2+‎‎3‎(不合,舍去),x‎2‎‎=2-‎‎3‎.‎ ‎∴ AE=2-‎‎3‎时,二面角D‎1‎‎-EC-D的大小为π‎4‎.‎ ‎21.解:(1)‎1‎‎∘‎当n=1‎时,a‎0‎‎=1‎,a‎1‎‎=‎1‎‎2‎a‎0‎(4-a‎0‎)=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ a‎0‎‎0‎,∴ ak‎-ak+1‎<0‎.‎ 又ak+1‎‎=‎1‎‎2‎ak(4-ak)=‎1‎‎2‎[4-(ak-2‎)‎‎2‎]<2‎ ‎∴ n=k+1‎时命题正确.‎ 由‎1‎‎∘‎、‎2‎‎∘‎知,对一切n∈N时有an‎