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- 2021-06-10 发布
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2005年江西省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设全集I={x|-31，解关于x的不等式f(x)<(k+1)x-k2-x．
18. 已知向量a→=（2cosx2, tan(x2+π4)），b→=(2sin(x2+π4)，tan(x2-π4)，令f(x)=a→⋅b→．是否存在实数x∈[0, π]，使f(x)+f'(x)=0（其中f'(x)是f(x)的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．
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19. A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片．规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止．设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数．
（1）求ξ的取值范围；
（2）求ξ的数学期望Eξ．
20. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
21. 已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an(4-an)，n∈N．
（1）证明an0．
①当10，解集为(1, 2)∪(2, +∞)；
③当k>2时，解集为(1, 2)∪(k, +∞)．
18.解：f(x)=a→⋅b→=22cosx2sin(x2+π4)+tan(x2+π4)tan(x2-π4)
=22cosx2(22sinx2+22cosx2)+1+tanx21-tanx2⋅tanx2-11+tanx2
=2sinx2cosx2+2cos2x2-1
=sinx+cosx．
f(x)+f'(x)=0，
即：f(x)+f'(x)=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx=0．可得x=π2，
当x=π2时，tan(x2+π4)无意义
所以不存在实数x=π2∈[0, π]，使f(x)+f'(x)=0
19.解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，
则|m-n|=5m+n=ξ1≤ξ≤9，
可得：当m=1，n=0或m=0，n=5时，ξ=5；
当m=6，n=1或m=1，n=6时，ξ=7；
当m=7，n=2或m=2，n=7时，ξ=9；
∴ ξ的所有可能取值为：5，7，9．
（2）ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，由题意知ξ的所有可能取值为：5，7，9．
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根据独立重复试验的概率公式得到
P(ξ=5)=2×(12)5=232=116；
P(ξ=7)=2C51(12)7=564；
P(ξ=9)=1-116-564=5564；
∴ Eξ=5×116+7×564+9×5564=27532．
20.证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴ A1D⊥D1E
设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1=5，AD1=2，
故S△AD1C=12⋅2⋅5-12=32，而S△ACE=12⋅AE⋅BC=12．
∴ VD1-AEC=13S△AEC⋅DD1=13S△AD1C⋅h，
∴ 12×1=32×h，∴ h=13．
过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴ ∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角．
设AE＝x，则BE＝2-x在Rt△D1DH中，∵ ∠DHD1=π4，∴ DH＝1．
∵ 在Rt△ADE中，DE=1+x2，
∴ 在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中CH=3，在Rt△CBE中CE=x2-4x+5．
∴ x+3=x2-4x+5⇒x=2-3．
∴ AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
解法（二）：
以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE＝x，则A1(1, 0, 1)，D1(0, 0, 1)，E(1, x, 0)，A(1, 0, 0)C(0, 2, 0)(1)因为DA1→⋅D1E→=(1, 0, 1)⋅(1, x, -1)＝0，所以DA1→⊥D1E→．（2）因为E为AB的中点，则E(1, 1, 0)，从而D1E→=(1,1,-1),AC→=(-1,2,0)，AD1→=(-1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n→=(a,b,c)，
则n→⋅AC→=0n→⋅AD1→=0 也即-a+2b=0-a+c=0 ，得a=2ba=c ，从而n→=(2,1,2)，所以点E到平面AD1C的距离为h=|D1E→⋅n→||n→|=2+1-23=13．（3）设平面D1EC的法向量n→=(a,b,c)，
∴ CE→=(1,x-2,0),D1C→=(0,2,-1),DD1→=(0,0,1)，
由n→⋅D1C→=0n→⋅CE→=0 ⇒2b-c=0a+b(x-2)=0. 令b＝1，∴ c＝2，a＝2-x，
∴ n→=(2-x,1,2)．
依题意cosπ4=|n→⋅DD1→||n→|⋅|DD1→|=22⇒2(x-2)2+5=22．
∴ x1=2+3（不合，舍去），x2=2-3．
∴ AE=2-3时，二面角D1-EC-D的大小为π4．
21.解：（1）1∘当n=1时，a0=1，a1=12a0(4-a0)=32，
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∴ a00，∴ ak-ak+1<0．
又ak+1=12ak(4-ak)=12[4-(ak-2)2]<2
∴ n=k+1时命题正确．
由1∘、2∘知，对一切n∈N时有an
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