2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§6-4　数列求和、数列的综合应用（讲解部分） 19页

§６.４ 数列求和、数列的综合应用 高考数学 考点一　数列求和 1.公式法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求解. (2)掌握一些常见的数列的前 n 项和公式: 1+2+3+ … + n =①             ;2+4+6+ … +2 n =②      n 2 + n      ; 1+3+5+ … +(2 n -1)= n 2 ;1 2 +2 2 +3 2 + … + n 2 =   ; 1 3 +2 3 +3 3 + … + n 3 =   . 考点清单 如果一个数列{ a n },与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常 数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求 得其和. 常见的拆项公式: (1)   =③        -        ; 2.倒序相加法 (2)   =④               ; (3)   =   -   . 5.分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可 分为几个等差、等比或常见的数列,即先分别求和,再合并,形如: (1){ a n + b n },其中   (2) a n =   考点二　数列的综合应用 1.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意; (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问 题,弄清该数列的特征以及要求什么; (3)求解——求出该问题的数学解; (4)还原——将所求结果还原到实际问题中. 2.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定值,那么该模型是等差模 型,增加(或减少)的量就是公差.其一般形式是 a n +1 - a n = d (常数). (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.其一般形式是   = q ( q 为常数,且 q ≠０）． (3)混合模型:在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型. (4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同 时又以一个固定的具体量增加(或减少),称该模型为生长模型,如分期付款 问题,树木的生长与砍伐问题等.如设贷款总额为 a ,年利率为 r ,等额还款数 为 b ,分 n 期还完,则 b =   a . (5)递推模型:如果容易推导该数列任意一项 a n 与它的前一项 a n -1 ( n ≥ 2)(或前 几项)间的递推关系式,那么我们可以用数列的知识求解. 考法一 　错位相减法求和 知能拓展 例1     (2018河南、河北两省联考,18)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =5, nS n +1 -( n +1) S n = n 2 + n . (1)求证:数列   为等差数列; (2)令 b n =2 n a n ,求数列{ b n }的前 n 项和 T n . 解题导引        解析 　(1)证明:由 nS n +1 -( n +1) S n = n 2 + n 得   -   =1, 又   =5,所以数列   是首项为5,公差为1的等差数列. (2)由(1)可知   =5+( n -1)= n +4,所以 S n = n 2 +4 n . 当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 = n 2 +4 n -( n -1) 2 -4( n -1)=2 n +3. 又 a 1 =5符合上式,所以 a n =2 n +3( n ∈N * ),所以 b n =(2 n +3)2 n ,所以 T n =5 × 2+7 × 2 2 +9 × 2 3 + … +(2 n +3)2 n ,   ① 2 T n =5 × 2 2 +7 × 2 3 +9 × 2 4 + … +(2 n +1)2 n +(2 n +3)2 n +1 ,   ② 所以②-①得 T n =(2 n +3)2 n +1 -10-(2 3 +2 4 + … +2 n +1 ) =(2 n +3)2 n +1 -10-   =(2 n +3)2 n +1 -10-(2 n +2 -8)=(2 n +1)2 n +1 -2. 方法总结 　1.如果数列{ a n }是等差数列,{ b n }是等比数列,求数列{ a n · b n }的前 n 项和时,常采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形. (2)在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以 便于下一步准确地写出“ S n - qS n ”的表达式. (3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q 是否等于1,如果 q =1,应用公式 S n = na 1 . 考法二 　裂项相消法求和 例2 　已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 2 =8, S n =   - n -1. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求数列   的前 n 项和 T n . 解题导引      解析 　(1)∵ a 2 =8, S n =   - n -1,∴ a 1 = S 1 =   -2=2. n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =   - n -1-   ,即 a n +1 =3 a n +2,∴ a n +1 +1=3( a n +1),又∵ a 2 +1= 9,3( a 1 +1)=3 × 3=9, ∴数列{ a n +1}是等比数列,且 a 1 +1=3,公比为3, ∴ a n +1=3 × 3 n -1 =3 n ,∴ a n =3 n -1. (2)   =   =   -   , ∴数列   的前 n 项和 T n =   +   + … +   =   -   . 例     (2020届河北邯郸大名一中周测,10)“垛积术”(隙积术)是由北宋科 学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰 富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛,等等. 某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以 后每一层比上一层多1件,最后一层是 n 件.已知第一层货物单价为1万元,从 第二层起,货物的单价是上一层单价的   .若这堆货物的总价是   万元,则 n 的值为   (　　)   实践探究 A.7　    B.8　    C.9　    D.10 解题导引 　由题意,第一层货物的总价为1万元,第二层货物的总价为2 ×   万元,第三层货物的总价为3 ×   万元, …… ,第 n 层货物的总价为 n ·   万元,可设这堆货物的总价为 W 万元,从而可得到 W =1+2 ×   +3 ×   + … + n ·   ,利用错位相减法可求出 W 的表达式,结合 W =100-200·   可求出答 案. 解析　 由题意,得第 n 层货物的总价为 n ·   万元,设这堆货物的总价为 W 万元,则 W =1+2 ×   +3 ×   + … + n ·   ,   W =1 ×   +2 ×   +3 ×   + … + n ·   , 两式相减得   W =- n ·   +1+   +   +   + … +   =- n ·   +   =- n ·   +10-10·   , 则 W =-10 n ·   +100-100·   =100-200   ,解得 n =10,故选D. 解析　 由题意,得第 n 层货物的总价为 n ·   万元,设这堆货物的总价为 W 万元,则 W =1+2 ×   +3 ×   + … + n ·   ,   W =1 ×   +2 ×   +3 ×   + … + n ·   , 两式相减得   W =- n ·   +1+   +   +   + … +   =- n ·   +   =- n ·   +10-10·   , 则 W =-10 n ·   +100-100·   =100-200   ,解得 n =10,故选D. 答案     D 方法总结 　(1)本题以数学文化为背景考查数列求和,考查数学建模、数学 抽象、数学运算的核心素养. (2)①认真阅读题意,理解数量关系; ②建立相应的数学模型; ③求解数学模型,得出数学结论. 例 　设函数 f ( x )= x   +   , O 为坐标原点, A n 为函数 y = f ( x )图象上横坐标为 n ( n ∈N * )的点,向量   与向量 i =(1,0)的夹角为 θ n ,则满足:tan θ 1 +tan θ 2 +tan θ 3 + … +tan θ n <   的最大整数 n 的值为 　     . 创新思维 解析 　由题意可得 A n   ,∵ O 为坐标原点,∴   =   ,∵向量   与向量 i =(1,0)的夹角为 θ n ,∴cos θ n =   . ∴sin θ n =   . ∴tan θ n =   +   =   +   -   , 因此数列{tan θ n }的前 n 项和为 tan θ 1 +tan θ 2 + … +tan θ n =   +1-   =2-   -   ,令2-   -   <   ,∴   +   >   , 令 n =1,2,3,4,分别代入验证知,最大整数 n 的值为3,故答案为3. 答案　 3