【数学】2019届高考一轮复习北师大版理6-1数列的概念与简单表示法学案 17页

知识点 考纲下载 数列的概念和 简单表示法 ‎ 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎ 了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ 等差数列 ‎ 理解等差数列的概念.‎ ‎ 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎ 了解等差数列与一次函数的关系.‎ 等比数列 ‎ 理解等比数列的概念.‎ ‎ 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎ 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎ 了解等比数列与指数函数的关系.‎ 第1讲　数列的概念与简单表示法 ‎1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项与序号n之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an ‎2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法 ‎3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，‎ 则an＝ ‎4．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关 系分类 递增数列 an＋1>an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋10，所以a1＝1，‎ 当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，‎ 所以(a－a)－(an＋an－1)＝0，‎ 所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，‎ 又an＋an－1>0，n≥2，‎ 所以an－an－1＝1，n≥2，‎ 所以{an}是等差数列，其公差为1，‎ 因为a1＝1，‎ 所以an＝n(n∈N*)．‎ ‎【答案】　n 角度二　利用an与Sn的关系求Sn ‎ 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．‎ ‎【解析】　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎(1)已知Sn求an的三个步骤 ‎①先利用a1＝S1求出a1.‎ ‎②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．‎ ‎③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．‎ ‎(2)Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．‎ ‎①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．‎ ‎②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝ 答案： ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．‎ 解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，‎ 即＝(n≥2)，‎ 又a2＝，所以an＝×(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＝1≠×＝，‎ 所以an＝ 所以Sn＝2an＋1＝2××＝.‎ 法二：因为S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则Sn＝2(Sn＋1－Sn)，‎ 所以Sn＋1＝Sn，‎ 所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以Sn＝.‎ 答案： ‎3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.‎ 解：设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，‎ 当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，‎ 当n≥2时，‎ nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]‎ ‎＝6n－5，‎ 因此an＝，‎ 显然当n＝1时，不满足上式．‎ 故数列的通项公式为an＝ ‎　　　　　　由递推关系求数列的通项公式 ‎ [典例引领]‎ ‎ 分别求出满足下列条件的数列的通项公式．‎ ‎(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；‎ ‎(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．‎ ‎【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，‎ 所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.‎ ‎(2)当n≥2，n∈N*时，‎ an＝a1×××…× ‎＝1×××…×××＝n，‎ 当n＝1时，也符合上式，‎ 所以该数列的通项公式为an＝n.‎ ‎(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.‎ 若本例(3)条件an＋1＝3an＋2变为an＋1＝3an＋3n＋1，求an.‎ 解：因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以＝＋1，‎ 所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．‎ 所以＝＋(n－1)＝n－，‎ 所以an＝n·3n－2·3n－1.‎ 由数列递推式求通项公式的常用方法 ‎　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b2 017＝________．‎ 解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝‎ an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，因为b1＝0，所以bn＝，所以b2 017＝.‎ 答案： ‎2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________．‎ 解析：由于＝2n，‎ 故＝21，＝22，…，＝2n－1，‎ 将这n－1个等式叠乘，‎ 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.‎ 答案：2 ‎　　　　　　数列的性质(高频考点)‎ 数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度：‎ ‎(1)数列的单调性；‎ ‎(2)数列的周期性；‎ ‎(3)数列的最值．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　数列的单调性 ‎ 已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ 的取值范围是________．‎ ‎【解析】　{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)‎ 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.‎ ‎【答案】　(－3，＋∞)‎ 角度二　数列的周期性 ‎ 设数列{an}满足：an＋1＝，a2 018＝3，那么a1＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　　 B. C．－ D. ‎【解析】　设a1＝x，由an＋1＝，‎ 得a2＝，‎ a3＝＝＝－，‎ a4＝＝＝，‎ a5＝＝＝x＝a1，‎ 所以数列{an}是周期为4的周期数列．‎ 所以a2 018＝a504×4＋2＝a2＝＝3.‎ 解得x＝.‎ ‎【答案】　B 角度三　数列的最值 ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．‎ ‎【解】　因为Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn 取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n.‎ 当n＝1时，－1＝＝a1，所以an＝－n.‎ ‎(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想 思想1：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用an＋T＝an写出周期（n＋T）－n＝T.‎ 思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝（n＋T）－n.‎ ‎（2）判断数列的单调性的两种方法 ‎ ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为(　　)‎ A．21 B．10‎ C. D. 解析：选C.由已知条件可知，当n≥2时，‎ an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)‎ ‎＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33满足此式．‎ 所以＝n＋－1.‎ 令f(n)＝＝n＋－1，则f(n)在[1，5]上为减函数，‎ 在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，‎ 则f(5)>f(6)，故f(n)＝的最小值为.‎ ‎2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝－(n≥2且n∈N*)，若数列{an}的前n项和为Sn，则S2 018＝________．‎ 解析：因为a1＝2，a2＝－，a3＝－，a4＝2，所以数列{an}是周期为3的数列，所以S2 018＝672×＋2－＝.‎ 答案： ‎　　　　　　数学文化与数列问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【解析】　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得＝381，解得a1＝3.‎ ‎【答案】　B 解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，即数列问题，利用数列的通项公式及求和公式求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)‎ A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 解析：选D.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有解得 ‎2．(2018·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后，‎ 人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈”(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布，则第30天比第一天多织布的尺数是(　　)‎ A．19 B．18‎ C．17 D．16‎ 解析：选D.依题意，织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列，记为{an}，其中a1＝5，S30＝＝390，a1＋a30＝26，a30＝26－a1＝21，a30－a1＝16.‎ ‎ 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．‎ ‎ 数列的单调性的判断 ‎(1)作差比较法．an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．‎ ‎(2)作商比较法．当an>0时，则>1⇔数列{an}是递增数列；<1⇔数列{an}是递减数列；＝‎ ‎1⇔数列{an}是常数列．当an<0时，则>1⇔数列{an}是递减数列；<1⇔数列{an}是递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．‎ ‎ 易错防范 ‎(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．‎ ‎(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　)‎ A．16　　　B．24　　　C．26　　　D．28‎ 解析：选C.因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.‎ ‎2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.‎ ‎3．(2018·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　)‎ A.升 B.升 C.升 D.升 解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.‎ ‎4．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为(　　)‎ A．0 B．4‎ C. D. 解析：选A.因为an＝－3＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.‎ ‎5．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2 ‎＝2＝，选A.‎ ‎6．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．‎ 解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.‎ 答案：an＝(－1)n· ‎7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．‎ 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，‎ 当n＝1时，a1＝6；‎ 当n≥2时， 故当n≥2时，an＝，‎ 所以an＝ 答案：an＝ ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝________．‎ 解析：因为a1＝1，‎ 所以a2＝(a1－1)2＝0，‎ a3＝(a2－1)2＝1，‎ a4＝(a3－1)2＝0，…，‎ 可知数列{an}是以2为周期的周期数列，‎ 所以a2 018＝a2＝0.‎ 答案：0‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.‎ 因为a1也适合此等式，‎ 所以an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，‎ 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.‎ ‎10．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)判断数列{cn}的增减性．‎ 解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．‎ 所以bn＝ ‎(2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1‎ ‎＝＋＋…＋，‎ 所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0，所以cn＋1＜cn，‎ 所以数列{cn}为递减数列．‎ ‎1．(2018·湖南岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 017＝(　　)‎ A．2 016 B．2 017‎ C．4 032 D．4 034‎ 解析：选B.由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n.则a2 017＝2 017.故选B.‎ ‎2．(2018·湖北六校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．λ< B．λ<1‎ C．λ< D．λ< 解析：选A.因为数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，‎ 所以an>0，＝＋1，则＋1＝2，‎ 所以数列是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，‎ 所以＋1＝2n.‎ 所以bn＋1＝(n－2λ)＝(n－2λ)·2n(n∈N*)，‎ 所以bn＝(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，‎ 因为数列{bn}是单调递增数列，‎ 所以bn＋1>bn，‎ 所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，‎ 可得λ<(n≥2)，所以λ<，‎ 又当n＝1时，b2>b1，‎ 所以(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，‎ 综上，λ的取值范围是λ<，故选A.‎ ‎3．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．‎ 解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.‎ 答案：an＝ ‎4．(2018·成都市第二次诊断性检测)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列的前n项和Tn＝________．‎ 解析：由题意知＝＝，所以an＝a1×××…×＝1× ‎××…×＝‎ ＝‎ ＝，所以＝＝2，所以数列的前n项和Tn＝2(－＋－＋…＋－＋－)＝2＝.‎ 答案： ‎5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求n为何值时，an最小．‎ 解：(1)由得bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.‎ 当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]‎ ‎＝－14＋2×－6(n－1)‎ ‎＝n2－7n－8，‎ 当n＝1时，上式也成立．‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.‎ ‎(2)由(1)可知 an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)，‎ 当n<8时，an＋1a2>a3>…>a8，‎ 当n＝8时，a9＝a8，‎ 当n>8时，an＋1>an，即a9