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  • 2021-06-10 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理6-1数列的概念与简单表示法学案

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知识点 考纲下载 数列的概念和 简单表示法 ‎ 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎ 了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ 等差数列 ‎ 理解等差数列的概念.‎ ‎ 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎ 了解等差数列与一次函数的关系.‎ 等比数列 ‎ 理解等比数列的概念.‎ ‎ 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎ 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎ 了解等比数列与指数函数的关系.‎ 第1讲 数列的概念与简单表示法 ‎1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项与序号n之间的关系式 前n项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an ‎2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法 ‎3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,‎ 则an= ‎4.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关 系分类 递增数列 an+1>an 其中n∈N*‎ 递减数列 an+10,所以a1=1,‎ 当n≥2时,2an=2(Sn-Sn-1)=an+a-an-1-a,‎ 所以(a-a)-(an+an-1)=0,‎ 所以(an+an-1)(an-an-1-1)=0,‎ 又an+an-1>0,n≥2,‎ 所以an-an-1=1,n≥2,‎ 所以{an}是等差数列,其公差为1,‎ 因为a1=1,‎ 所以an=n(n∈N*).‎ ‎【答案】 n 角度二 利用an与Sn的关系求Sn ‎ 设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.‎ ‎【解析】 由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.‎ ‎【答案】 - ‎(1)已知Sn求an的三个步骤 ‎①先利用a1=S1求出a1.‎ ‎②用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.‎ ‎③注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.‎ ‎(2)Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.‎ ‎①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.‎ ‎②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an=________.‎ 解析:当n=1时,a1=S1=3+1=4;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2·3n-1.‎ 当n=1时,2×31-1=2≠a1,所以an= 答案: ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=________.‎ 解析:法一:因为Sn=2an+1,所以当n≥2时,Sn-1=2an,‎ 所以an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),‎ 即=(n≥2),‎ 又a2=,所以an=×(n≥2).‎ 当n=1时,a1=1≠×=,‎ 所以an= 所以Sn=2an+1=2××=.‎ 法二:因为S1=a1,an+1=Sn+1-Sn,则Sn=2(Sn+1-Sn),‎ 所以Sn+1=Sn,‎ 所以数列{Sn}是首项为1,公比为的等比数列,‎ 所以Sn=.‎ 答案: ‎3.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=3n2-2n+1,求an.‎ 解:设a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=Tn,‎ 当n=1时,a1=T1=3×12-2×1+1=2,‎ 当n≥2时,‎ nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]‎ ‎=6n-5,‎ 因此an=,‎ 显然当n=1时,不满足上式.‎ 故数列的通项公式为an= ‎      由递推关系求数列的通项公式 ‎ [典例引领]‎ ‎ 分别求出满足下列条件的数列的通项公式.‎ ‎(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);‎ ‎(2)a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*);‎ ‎(3)a1=1,an+1=3an+2(n∈N*).‎ ‎【解】 (1)an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2,‎ 所以数列的通项公式为an=(n-1)2.‎ ‎(2)当n≥2,n∈N*时,‎ an=a1×××…× ‎=1×××…×××=n,‎ 当n=1时,也符合上式,‎ 所以该数列的通项公式为an=n.‎ ‎(3)因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以该数列的通项公式为an=2·3n-1-1.‎ 若本例(3)条件an+1=3an+2变为an+1=3an+3n+1,求an.‎ 解:因为an+1=3an+3n+1,所以=+1,‎ 所以数列{}是以为首项,1为公差的等差数列.‎ 所以=+(n-1)=n-,‎ 所以an=n·3n-2·3n-1.‎ 由数列递推式求通项公式的常用方法 ‎  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2018·兰州市诊断考试)已知数列{an},{bn},若b1=0,an=,当n≥2时,有bn=bn-1+an-1,则b2 017=________.‎ 解析:由bn=bn-1+an-1得bn-bn-1=an-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,…,bn-bn-1=‎ an-1,所以b2-b1+b3-b2+…+bn-bn-1=a1+a2+…+an-1=++…+,即bn-b1=a1+a2+…+an-1=++…+=-+-+…+-=1-=,因为b1=0,所以bn=,所以b2 017=.‎ 答案: ‎2.在数列{an}中,a1=1,an+1=2nan,则an=________.‎ 解析:由于=2n,‎ 故=21,=22,…,=2n-1,‎ 将这n-1个等式叠乘,‎ 得=21+2+…+(n-1)=2,故an=2.‎ 答案:2 ‎      数列的性质(高频考点)‎ 数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题,是高考的热点,多以选择题或填空题形式考查,多存在一定难度.高考对数列的性质的考查常有以下三个命题角度:‎ ‎(1)数列的单调性;‎ ‎(2)数列的周期性;‎ ‎(3)数列的最值.‎ ‎[典例引领]‎ 角度一 数列的单调性 ‎ 已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ 的取值范围是________.‎ ‎【解析】 {an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*)‎ 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.‎ ‎【答案】 (-3,+∞)‎ 角度二 数列的周期性 ‎ 设数列{an}满足:an+1=,a2 018=3,那么a1=(  )‎ A.-          B. C.- D. ‎【解析】 设a1=x,由an+1=,‎ 得a2=,‎ a3===-,‎ a4===,‎ a5===x=a1,‎ 所以数列{an}是周期为4的周期数列.‎ 所以a2 018=a504×4+2=a2==3.‎ 解得x=.‎ ‎【答案】 B 角度三 数列的最值 ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn,k∈N*,且Sn的最大值为8.试确定常数k,并求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解】 因为Sn=-n2+kn=-(n-k)2+k2,其中k是常数,且k∈N*,所以当n=k时,Sn 取最大值k2,故k2=8,k2=16,因此k=4,从而Sn=-n2+4n.‎ 当n=1时,a1=S1=-+4=;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-n.‎ 当n=1时,-1==a1,所以an=-n.‎ ‎(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想 思想1:根据递推公式,写出数列的前n项直到出现周期情况后,利用an+T=an写出周期(n+T)-n=T.‎ 思想2:利用递推公式“逐级”递推,直到出现an+T=an,即得周期T=(n+T)-n.‎ ‎(2)判断数列的单调性的两种方法 ‎ ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知数列{an}满足an+1=an+2n,且a1=33,则的最小值为(  )‎ A.21 B.10‎ C. D. 解析:选C.由已知条件可知,当n≥2时,‎ an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)‎ ‎=33+2+4+…+2(n-1)‎ ‎=n2-n+33,又n=1时,a1=33满足此式.‎ 所以=n+-1.‎ 令f(n)==n+-1,则f(n)在[1,5]上为减函数,‎ 在[6,+∞)上为增函数,又f(5)=,f(6)=,‎ 则f(5)>f(6),故f(n)=的最小值为.‎ ‎2.已知数列{an}满足a1=2,an=-(n≥2且n∈N*),若数列{an}的前n项和为Sn,则S2 018=________.‎ 解析:因为a1=2,a2=-,a3=-,a4=2,所以数列{an}是周期为3的数列,所以S2 018=672×+2-=.‎ 答案: ‎      数学文化与数列问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎【解析】 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列,记为{an},则前7项的和S7=381,公比q=2,依题意,得=381,解得a1=3.‎ ‎【答案】 B 解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题,即数列问题,利用数列的通项公式及求和公式求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为(  )‎ A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 解析:选D.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意有解得 ‎2.(2018·新疆第二次适应性检测)《九章算术》之后,‎ 人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月,日织九匹三丈”(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布,则第30天比第一天多织布的尺数是(  )‎ A.19 B.18‎ C.17 D.16‎ 解析:选D.依题意,织女每天所织布的尺数依次排列形成等差数列,记为{an},其中a1=5,S30==390,a1+a30=26,a30=26-a1=21,a30-a1=16.‎ ‎ 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.‎ ‎ 数列的单调性的判断 ‎(1)作差比较法.an+1-an>0⇔数列{an}是递增数列;an+1-an<0⇔数列{an}是递减数列;an+1-an=0⇔数列{an}是常数列.‎ ‎(2)作商比较法.当an>0时,则>1⇔数列{an}是递增数列;<1⇔数列{an}是递减数列;=‎ ‎1⇔数列{an}是常数列.当an<0时,则>1⇔数列{an}是递减数列;<1⇔数列{an}是递增数列;=1⇔数列{an}是常数列.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.‎ ‎(2)易混项与项数两个不同的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.                                         ‎ ‎1.已知数列1,2,,,,…,则2在这个数列中的项数是(  )‎ A.16   B.24   C.26   D.28‎ 解析:选C.因为a1=1=,a2=2=,a3=,a4=,a5=,…,所以an=.令an==2=,解得n=26.‎ ‎2.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是(  )‎ A.           B. C. D. 解析:选C.由已知得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,a3=,所以a4=+(-1)4,a4=3,所以3a5=3+(-1)5,所以a5=,所以=×=.‎ ‎3.(2018·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为(  )‎ A.升 B.升 C.升 D.升 解析:选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1,a2,…,a9,依题意有,因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=.选A.‎ ‎4.数列{an}中,如果存在ak,使得ak>ak-1且ak>ak+1成立(其中k≥2,k∈N*),则称ak为数列{an}的峰值.若an=-3n2+15n-18,则{an}的峰值为(  )‎ A.0 B.4‎ C. D. 解析:选A.因为an=-3+,且n∈N*,所以当n=2或n=3时,an取最大值,最大值为a2=a3=0.故选A.‎ ‎5.(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1=1,且an+1=a1+an+n(n∈N*),则++…+等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.由a1=1,an+1=a1+an+n可得an+1-an=n+1,利用累加法可得an-a1=,所以an=,所以==2,故++…+=2 ‎=2=,选A.‎ ‎6.已知数列{an}为,,-,,-,,…,则数列{an}的一个通项公式是________.‎ 解析:各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出从第2项起,每一项的分子都比分母少3,且第1项可变为-,故原数列可变为-,,-,,…,故其通项公式可以为an=(-1)n·.‎ 答案:an=(-1)n· ‎7.若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为________.‎ 解析:a1·a2·a3·…·an=(n+1)(n+2),‎ 当n=1时,a1=6;‎ 当n≥2时, 故当n≥2时,an=,‎ 所以an= 答案:an= ‎8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=a-2an+1(n∈N*),则a2 018=________.‎ 解析:因为a1=1,‎ 所以a2=(a1-1)2=0,‎ a3=(a2-1)2=1,‎ a4=(a3-1)2=0,…,‎ 可知数列{an}是以2为周期的周期数列,‎ 所以a2 018=a2=0.‎ 答案:0‎ ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式.‎ 解:(1)当n=1时,a1=S1=22-2=2;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2n.‎ 因为a1也适合此等式,‎ 所以an=2n(n∈N*).‎ ‎(2)因为bn=an+an+1,且an=2n,an+1=2n+1,‎ 所以bn=2n+2n+1=3·2n.‎ ‎10.已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足bn=且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)判断数列{cn}的增减性.‎ 解:(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).‎ 所以bn= ‎(2)因为cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1‎ ‎=++…+,‎ 所以cn+1-cn=+-=-=<0,所以cn+1<cn,‎ 所以数列{cn}为递减数列.‎ ‎1.(2018·湖南岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 017=(  )‎ A.2 016 B.2 017‎ C.4 032 D.4 034‎ 解析:选B.由题意知n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,化为=,所以==…==1,所以an=n.则a2 017=2 017.故选B.‎ ‎2.(2018·湖北六校模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*).若bn+1=(n-2λ)·(n∈N*),b1=-λ,且数列{bn}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是(  )‎ A.λ< B.λ<1‎ C.λ< D.λ< 解析:选A.因为数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*),‎ 所以an>0,=+1,则+1=2,‎ 所以数列是等比数列,且首项为+1=2,公比为2,‎ 所以+1=2n.‎ 所以bn+1=(n-2λ)=(n-2λ)·2n(n∈N*),‎ 所以bn=(n-1-2λ)·2n-1(n≥2),‎ 因为数列{bn}是单调递增数列,‎ 所以bn+1>bn,‎ 所以(n-2λ)·2n>(n-1-2λ)·2n-1(n≥2),‎ 可得λ<(n≥2),所以λ<,‎ 又当n=1时,b2>b1,‎ 所以(1-2λ)·2>-λ,解得λ<,‎ 综上,λ的取值范围是λ<,故选A.‎ ‎3.下列关于星星的图案构成一个数列,则该数列的一个通项公式是________.‎ 解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个,n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…,所以an=1+2+3+4+…+n=.‎ 答案:an= ‎4.(2018·成都市第二次诊断性检测)在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*),则数列的前n项和Tn=________.‎ 解析:由题意知==,所以an=a1×××…×=1× ‎××…×=‎ =‎ =,所以==2,所以数列的前n项和Tn=2(-+-+…+-+-)=2=.‎ 答案: ‎5.已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6.‎ ‎(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求n为何值时,an最小.‎ 解:(1)由得bn+1-bn=2n-6,b1=a2-a1=-14.‎ 当n≥2时,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn-bn-1)‎ ‎=-14+(2×1-6)+(2×2-6)+(2×3-6)+…+[2(n-1)-6]‎ ‎=-14+2×-6(n-1)‎ ‎=n2-7n-8,‎ 当n=1时,上式也成立.‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn=n2-7n-8.‎ ‎(2)由(1)可知 an+1-an=n2-7n-8=(n+1)(n-8),‎ 当n<8时,an+1a2>a3>…>a8,‎ 当n=8时,a9=a8,‎ 当n>8时,an+1>an,即a9