【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第二章第二讲　函数的基本性质学案 11页

第二讲　函数的基本性质 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1.下列说法中正确的个数是(　　)‎ ‎(1)若函数y=f (x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).‎ ‎(2)对于函数f (x),x∈D,若对任意x1,x2∈D(x1≠x2),有(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0,则函数f (x)在区间D上是增函数.‎ ‎(3)若函数y=f (x+a)是偶函数,则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(4)若函数y=f (x+b)是奇函数,则函数y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.‎ ‎(5)已知函数y=f (x)是定义在R上的偶函数,若f (x)在( - ∞,0)上是减函数,则f (x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎(6)若T为函数y=f (x)的一个周期,那么nT(n∈Z)也是函数f (x)的周期.　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎2.[多选题]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)‎ A.y=x‎1‎‎2‎ B.y=2 - x C.y=log‎1‎‎2‎x D.y=‎‎1‎x ‎3.[2019全国卷Ⅱ]设f (x)为奇函数,且当x≥0时,f (x)=ex - 1,则当x<0时,f (x)=(　　)‎ A.e - x - 1 B.e - x+1 ‎ C. - e - x - 1 D. - e - x+1‎ ‎4.[2020河南郑州高三联考]若函数f (x)=‎2‎x‎+2,x≤1,‎log‎2‎(x-1),x>1‎在( - ∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为(　　)‎ A.[0,17] B.( - ∞,17]‎ C.[1,17] D.[1,+∞)‎ ‎5.[2020南阳模拟]已知函数f (x)=x3+ln x,则不等式f (x(x - 1))0,得x< - 2或x>4.因此,函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的定义域是( - ∞, - 2)∪(4,+∞).(先求函数f (x)的定义域)‎ 易知函数y=x2 - 2x - 8在( - ∞, - 2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,函数y=ln t为(0,+∞)上的增函数,由复合函数的单调性知,‎ f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是(4,+∞).‎ D 考法2 函数单调性的应用 命题角度1　比较大小 ‎3已知函数f (x)为偶函数,当x>0时, f (x)=x - 4 - x,设a=f (log30.2), b=f (3 - 0.2), c=f ( - 31.1),则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.c>a>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>a>c 利用函数f (x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把a,c对应的自变量的值转化到(0,+∞)内,然后比较31.1,‎ ‎ - log30.2 , 3 - 0.2的大小,再判断f (x)在(0,+∞)上的单调性,即可得a,b,c的大小.‎ 因为函数f (x)为偶函数,所以a=f (log30.2)=f ( - log30.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)‎ 因为log3‎1‎‎9‎< log30.2< log3‎1‎‎3‎,所以 - 23> - log30.2>1>3 - 0.2.‎ 因为y=x在(0,+∞)上为增函数, y= - 4 - x在(0,+∞)上为增函数,所以f (x)在(0,+∞)上为增函数,‎ 所以f (31.1)>f ( - log30.2)>f (3 - 0.2),所以c>a>b.‎ A 命题角度2　求解不等式 ‎4(1)[2017全国卷Ⅰ]函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)= - 1,则满足 - 1≤f (x - 2)≤1的x的取值范围是 A.[ - 2,2] B.[ - 1,1] C.[0,4] D.[1,3]‎ ‎(2)已知函数f (x)= - x|x|,x∈( - 1,1),则不等式f (1 - m)0),‎ ‎∵ y=log‎1‎‎2‎u为减函数,‎ ‎∴函数u在[1,2]上是减函数,‎ ‎∵ u=6 - ax+x2,其图象的对称轴为直线x=a‎2‎,‎ ‎∴a‎2‎≥2,且u>0在[1,2]上恒成立.‎ ‎∴a‎2‎‎≥2,‎‎6-2a+4>0,‎解得4≤a<5,‎ ‎∴实数a的取值范围为[4,5).‎ ‎1.(1)函数f (x)=‎-x‎2‎-ax-5,x≤1,‎ax‎,x>1‎是R上的增函数,则a的取值范围为　　　　. ‎ ‎(2)[2016天津高考]已知f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ∞,0)上单调递增.若实数a满足f (2|a - 1|)>f ( - ‎2‎),则a的取值范围是　　　　. ‎ 考法3 求函数的最值(值域)‎ ‎6已知函数f (x)=x‎2‎‎,x≤1,‎x+‎6‎x-6,x>1,‎则f (x)的最小值是　　　　. ‎ ‎ 结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.‎ ‎(利用单调性和基本不等式求解)因为y=x2在(‎-‎∞,0)上单调递减,在[0,‎+‎∞)上单调递增,所以当x≤1时, f (x)min=f (0)=0. (用单调性法求最值)‎ 当x>1时,y=x+‎6‎x≥2‎6‎,当且仅当x=‎6‎时,等号成立,此时f (x)min=2‎6‎ - 6.(用基本不等式法求最值)‎ 又2‎6‎ - 6<0,(比较每段上的最值)‎ 所以f (x)min=2‎6‎ - 6.‎ ‎ 求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.‎ ‎7若x∈[ - π‎6‎,‎2π‎3‎],则函数y=4sin2x - 12sin x - 1的最大值为　　　　,最小值为　　　　. ‎ 令t=sin x,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值 ‎(换元法)令t=sin x,因为x∈[ - π‎6‎,‎2π‎3‎],‎ 所以t∈[ - ‎1‎‎2‎,1],(注意新元的取值范围)‎ 所以y=f (t)=4t2 - 12t - 1.‎ 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=‎3‎‎2‎,所以当t∈[ - ‎1‎‎2‎,1]时,函数f (t)单调递减,‎ 所以当t= - ‎1‎‎2‎时,ymax=6;当t=1时,ymin= - 9.‎ ‎8求下列函数的值域:‎ ‎(1)y=‎1-sinx‎2-cosx; 　　(2)y=‎-x‎2‎-6x-5‎; ‎ ‎(3)y=x+‎1-‎x‎2‎; (4)y=‎3x-5‎‎2x+1‎;‎ ‎(5)y=x‎2‎‎+4x+1‎x‎2‎‎+1‎; (6)y=x‎2‎‎-1‎x‎2‎‎+1‎.‎ 根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.‎ ‎(1)(图象法)设动点M(cos x,sin x),定点P(2,1),则y=‎1-sinx‎2-cosx的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1上.如图2 - 2 - 1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,kM‎1‎P=0,kM‎2‎P‎=‎‎4‎‎3‎.所以函数的值域为[0,‎4‎‎3‎]. ‎ 图2 - 2 - 1‎ ‎ (2)(配方法)因为y=‎-x‎2‎-6x-5‎‎=‎‎-(x+3‎)‎‎2‎+4‎≤‎4‎=2,y≥0, 所以y=‎-x‎2‎-6x-5‎的值域为[0,2].‎ ‎(3)(三角换元法)因为1 - x2≥0,所以 - 1≤x≤1,所以可设x=cos α,α∈[0,π],‎ 则y=cos α‎+‎sin α=‎2‎sin (α+π‎4‎).‎ 因为α∈[0,π],‎ 所以α+π‎4‎∈[π‎4‎,‎5π‎4‎],‎ 所以sin(α+π‎4‎)∈[ - ‎2‎‎2‎,1],‎ 所以‎2‎sin(α+π‎4‎)∈[ - 1,‎2‎],‎ 所以原函数的值域为[ - 1,‎2‎].‎ ‎(4)(分离常数法)y=‎3x-5‎‎2x+1‎‎=‎3‎‎2‎‎(2x+1)-‎‎13‎‎2‎‎2x+1‎=‎3‎‎2‎-‎‎13‎‎2‎‎2x+1‎≠‎3‎‎2‎,‎ 所以所求函数的值域为{y|　y∈R且y≠‎3‎‎2‎}.‎ ‎(5)(判别式法)由原函数整理得(1 - y)x2+4x+1 - y=0.‎ 当1 - y=0,即y=1时,x=0;‎ 当1 - y≠0,即y≠1时,Δ=16 - 4(1 - y)2≥0,即(1 - y)2≤4,‎ 解得 - 1≤y≤3,所以 - 1≤y≤3且y≠1.(要注意对二次项系数1 - y进行讨论)‎ 综上,所求函数的值域为[ - 1,3].‎ ‎(6)(有界性法)由y=x‎2‎‎-1‎x‎2‎‎+1‎,可得x2=‎1+y‎1-y,且y<1. (结合完全平方式非负的性质来转化)‎ 由x2≥0,知‎1+y‎1-y≥0,解得 - 1≤y<1,故所求函数y=x‎2‎‎-1‎x‎2‎‎+1‎的值域为[ - 1,1).‎ ‎2.(1)[2019郑州市第二次质量预测]高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[ - 2.1]= - 3,[3.1]=3.已知函数f (x)=‎ ‎2‎x‎+3‎‎1+‎‎2‎x+1‎‎,则函数y=[f (x)]的值域为(　　)‎ A.(‎1‎‎2‎,3) B.(0,2] C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}‎ ‎(2)已知函数f (x)=sin ‎πx‎2‎‎2‎x-1‎‎+‎‎2‎‎-x+1‎(x>0),则函数f (x)的最大值是　　　　. ‎ 考法4 判断函数的奇偶性 ‎9判断下列各函数的奇偶性:‎ ‎(1)f (x)=(x - 1)‎1+x‎1-x; (2)f (x)=lg(1-x‎2‎)‎‎|x‎2‎-2|-2‎;‎ ‎(3)f (x)=x‎2‎‎+x(x<0),‎‎0(x=0),‎‎-x‎2‎+x(x>0).‎ ‎ 求函数的定义域判断定义域是否关于原点对称判断f ( - x)与f (x)的关系 下结论 ‎(1)由‎1+x‎1-x≥0得函数的定义域为[ - 1,1),不关于原点对称,所以f (x)为非奇非偶函数.‎ ‎(2)由‎1-x‎2‎>0,‎‎|x‎2‎-2|-2≠0‎ 得函数的定义域为( - 1,0)∪(0,1),‎ f (x)=lg(1-x‎2‎)‎‎-(x‎2‎-2)-2‎= - lg(1-x‎2‎)‎x‎2‎.‎ 所以f ( - x)= - lg[1-(-x‎)‎‎2‎]‎‎(-x‎)‎‎2‎= - lg(1-x‎2‎)‎x‎2‎=f (x),‎ 所以f (x)为偶函数.‎ ‎(3)当x<0时, - x>0,则f ( - x)= - ( - x)2 - x= - (x2+x)= - f (x);‎ 当x>0时, - x<0,则f ( - x)=( - x)2 - x= - ( - x2+x)= - f (x).‎ 又f (0)=0,故对任意的x∈( - ∞,+∞),都有f ( - x)= - f (x), (只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)‎ 所以f (x)为奇函数.‎ ‎3.设函数f (x),g(x)的定义域都为R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的(　　)‎ A. f (x)g(x)是偶函数 B. f (x)|g(x)|是奇函数 C.|f (x)|g(x)是奇函数 D.|f (x)g(x)|是奇函数 考法5 函数奇偶性的应用 ‎10(1)[2020湖北部分重点中学高三测试]已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,f (‎1‎‎2‎)=‎2‎,则实数m=　　　‎ A.‎2‎‎2‎ B. - ‎2‎‎2‎ C.‎2‎+1 D. - ‎2‎+1‎ ‎(2)已知函数f (x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f (x)=x+1,则f (x)的解析式为　　　　. ‎ ‎(1)解法一　令x>0,则 - x<0,所以f ( - x)=log2x+m,因为f (x)是R上的奇函数,所以f ( - x)= - f (x),‎ 所以x>0时,f (x)= - f ( - x)= - log2x - m,因为f (‎1‎‎2‎)=‎2‎,所以‎2‎= - log2‎1‎‎2‎ - m,解得m= - ‎2‎+1,故选D.‎ 解法二　因为f (x)是R上的奇函数,f (‎1‎‎2‎)=‎2‎,所以f ( - ‎1‎‎2‎)= - ‎2‎,因为当x<0时,f (x)=log2( - x)+m,‎ 所以 - ‎2‎=log2[ - ( - ‎1‎‎2‎)]+m,所以m= - ‎2‎+1,故选D.‎ ‎(2)因为f (x)为奇函数,所以f ( - x)= - f (x).‎ 当x=0时,有f ( - 0)= - f (0),所以f (0)=0.‎ 当x<0时, - x>0.f (x)= - f ( - x)= - ( - x+1)=x - 1.‎ 所以f (x)=‎x+1,x>0,‎‎0,x=0,‎x-1,x<0.‎ ‎4.[2020陕西省部分学校摸底测试]若函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex,则(　　)‎ A.f ( - 2)‎1‎‎2‎时,‎ f (x+‎1‎‎2‎)=f (x - ‎ ‎‎1‎‎2‎).则f (6)=(　　)‎ A. - 2 B. - 1 C.0 D.2‎ 考法7 函数性质的综合应用 ‎12 (1)[2019全国卷Ⅲ]设f (x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 A.f (log3‎1‎‎4‎)>f (‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎)>f (‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎) B.f (log3‎1‎‎4‎)>f (‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎)>f (‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎)‎ C.f (‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎)>f (‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎)>f (log3‎1‎‎4‎) D.f (‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎)>f (‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎)>f (log3‎1‎‎4‎)‎ ‎(2)[2018全国卷Ⅱ]已知f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,满足f (1 - x)=f (1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=‎ A. - 50 B.0 C.2 D.50‎ ‎(1)根据函数f (x)为偶函数可知,f (log3‎1‎‎4‎)=f ( - log34)=f (log34),∵ 0<‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎‎<‎‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎< 20f (‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎)>f (log3‎1‎‎4‎).‎ ‎(2)解法一　∵ f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,‎ ‎∴f ( - x)= - f (x),且f (0)=0.∵ f (1 - x)=f (1+x),‎ ‎∴f ( - x)=f (2+x),∴f (2+x)= - f (x),∴f (4+x)= - f (2+x)=f (x),∴f (x)是周期函数,且一个周期为4,∴f (4)=f (0)=0,f (2)=f (1+1)=f (1 - 1)=‎ f (0)=0,f (3)=f (1+2)=f (1 - 2)= - f (1)= - 2,∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (50)=12×0+f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.‎ 解法二　因为函数f (x)满足f (1 - x)=f (1+x),可知f (x)的图象关于直线x=1对称.‎ 又f (x)是定义域为( - ∞,+∞)的奇函数,所以f (0)=0,且已知f (1)=2,计算可得:‎ f (2)=f (0)=0,‎ f (3)=f ( - 1)= - f (1)= - 2,‎ f (4)=f ( - 2)= - f (2)=0,‎ f (5)=f ( - 3)= - f (3)=2,‎ f (6)=f ( - 4)= - f (4)=0,‎ f (7)=f ( - 5)= - f (5)= - 2,‎ f (8)=f ( - 6)= - f (6)=0,……‎ 所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (49)+f (50)=(2+0 - 2+0)×12+2+0=2.‎ ‎(1)C　(2)C ‎6.已知定义在R上的函数f (x),对任意实数x有f (x+4)= - f (x)+2‎2‎,若函数f (x - 1)的图象关于直线x=1对称,f (5)=2,则f (2 021)=　　　. ‎ ‎1.B　对于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2∈D(x1≠x2),(x1 - x2)[f (x1) - f (x2)]>0⇔x‎1‎‎>x‎2‎,‎f(x‎1‎)>f(x‎2‎)‎或x‎1‎‎0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A不符合题意,选项D符合;对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),当01时,y=ax在( - ∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2 - x可转化为y=(‎1‎‎2‎)x,因此函数y=2 - x在(0,+∞)上单调递减,故选项B符合题意;对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当01时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=log‎1‎‎2‎x在(0,+∞)上单调递减,故选项C符合题意.故选BCD.‎ ‎3.D　解法一　依题意得,当x<0时,f (x)= - f ( - x)= - (e - x - 1)= - e - x+1,选D.‎ 解法二　依题意得,f ( - 1)= - f (1)= - (e1 - 1)=1 - e,结合选项知,选D.‎ ‎4.C　易知f (x)在( - ∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递增,因为f (1)=4,f (17)=4,所以a的取值范围为[1,17].‎ ‎5.( - 1,0)∪(1,2)　函数f (x)的定义域为(0,+∞),且y=x3与y=ln x在(0,+∞)上都是增函数,故f (x)=x3+ln x在定义域内为增函数,则0f ( - ‎2‎),且f ( - ‎2‎)=f (‎2‎),所以 - ‎2‎<2|a - 1|<‎2‎,则|a - 1|<‎1‎‎2‎,所以‎1‎‎2‎0,所以0<‎1‎‎1+‎‎2‎x+1‎<1,所以‎1‎‎2‎‎<‎1‎‎2‎+‎‎5‎‎2(1+‎2‎x+1‎)‎<3,即‎1‎‎2‎0,f ( - 3)=e‎-3‎‎+‎e‎3‎‎2‎>0,g( - 1)=e‎-1‎‎-e‎4‎<0.因为f ( - 3) - f ( - 2)=e‎-3‎‎+‎e‎3‎‎2‎‎ - e‎-2‎‎+‎e‎2‎‎2‎=‎‎(e-1)(e‎2‎-e‎-3‎)‎‎2‎>0,所以g( - 1)<‎ f ( - 2)‎1‎‎2‎时,f (x+1)=f (x),所以f (6)=f (5×1+1)=f (1).因为当 - 1≤x≤1时,f ( - x)= - f (x),所以f (1)= - f ( - 1)= - [( - 1)3 - 1]=2,所以 f (6)=2,故选D.‎ ‎6.2　由函数y=f (x - 1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f (x)的图象关于y轴对称,故f (x)为偶函数.‎ 由f (x+4)= - f (x)+2‎2‎,得f (x+4+4)= - f (x+4)+2‎2‎=f (x),所以f (x)是最小正周期为8的偶函数,‎ 所以f (2 021)=f (5+252×8)=f (5)=2.‎