高中数学必修4教案：2_4_1平面向量数量积的物理背景及其含义 4页

‎2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 教学目的：‎ ‎1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；‎ ‎2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ ‎3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；‎ ‎4.掌握向量垂直的条件.‎ 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎（1）两个非零向量夹角的概念：‎ 已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.‎ 说明：（1）当θ＝０时，与同向；‎ ‎（2）当θ＝π时，与反向；‎ ‎（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；‎ ‎（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0°≤q≤180° ‎（2）两向量共线的判定定理 ‎（3）练习 ‎ ‎1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（ ）‎ A.6 B‎.5 C.7 D.8‎ ‎2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ） A.-3 B.‎-1 C.1 D.3‎ ‎（4）力做的功：W = ||||cosq，q是与的夹角.‎ 功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，‎ 则数量││││cosq 叫与的数量积，记作，即有= ││││cosq，‎ ‎（其中０≤θ≤π）.‎ 并规定：向量与任何向量的数量积为0.‎ ×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？‎ ‎2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？‎ ‎【平面向量数量积的几点说明】‎ ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.‎ ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.‎ ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹，且=0，不能推出=因为其中cosq有可能为0.‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是== ‎ ‎ 如右图：= ││││cosb = │││OA│，‎ ‎= │ │││cosa = │││OA│‎ Þ = 但 ¹ ‎ ‎ (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是() ¹ ()‎ ‎ 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.‎ ‎2．“投影”的概念：作图 ‎ ‎ 定义：││cosq叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；‎ 当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；‎ 当q = 0°时投影为││； 当q = 180°时投影为 -││.‎ ‎3．向量的数量积的几何意义：‎ 数量积等于的长度与在方向上投影││cosq的乘积.‎ 探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，‎ ‎1、^ Û = 0‎ ‎2、当与同向时， = ||||； 当与反向时， = -||||. ‎ 特别的×= ||2或 │ │ ≤|||| cosq = ‎ 探究2、：平面向量数量积的运算律 ‎（1）．交换律： = ‎ ‎（2）．数乘结合律：()× =(×) = ×()‎ ‎（3）．分配律：(+)×=×+× 说明：（1）一般地，(·)≠（·）‎ ‎（2）·＝·，≠＝‎ ‎（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，‎ ‎（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·‎ 三、讲解范例：‎ 例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)(-)=２-２‎ 例2．已知││=12，││=9，，求与的夹角θ。‎ 例3．已知││=6，││=4，与的夹角为60o求：（1）(+2)·(-3). ‎ ‎（2）│+│与│-│.‎ ‎ （ 利用 ） ‎ 例4．已知││=3，││=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直. ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．课后练习1、2、3、题 ‎ ‎ ‎ 2．已知││=8，││=10，│+│=16，与的夹角θ的余弦.‎ 五、课堂小结：‎ ‎1．平面向量的数量积及其几何意义；‎ ‎2．平面向量数量积的重要性质及运算律；‎ ‎3．向量垂直的条件.‎ 六、作业布置：习题2.4 A组1、2、3、题