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- 2021-06-10 发布
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高一年级★试卷 第 1页 共 8页 高一年级★试卷 第 2页 共 8页
2019 级高一年级线上线下教学衔接监测(数学)
参考答案
(考试时间:120 分钟 试卷分值:150 分)
一.选择题
1.若 0 ba , Rc ,则下列不等式正确的是( )
A. 22 ba B.
ba
11 C. 22 bcac D. ba
【答案】B
2.已知 )1,2()2,1( ba
, ,若 ba
// ,则 ( )
A. 3 B. 4 C.5 D. 6
【答案】C
3.在 ABC 中, 120,3 Aba ,则角 B 的大小为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】A
4.等差数列 }{ na 满足 642 aa ,则 5S ( )
A. 12 B.15 C.18 D. 21
【答案】B
5.已知 1,,10,10 212121 aaNaaMaa ,则 M,N 的大小关系为( )
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
6.已知向量 ba
, 的夹角为 ,且 2|||| ba
,则向量 ba
在向量 a 方向上的投影为( )
A. -1 B. 1 C.2 D. 3
【答案】A
7.在 ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ,已知 4,15,60 baA ,则 Bcos ( )
A.
5
5 B.
5
52 C.
5
52
5
5 或 D.
5
5
5
5 或
【答案】D
8.设 D 为 ABC 所在平面内一点 3BC CD ,则( )
A. ACABAD 3
4
3
1 B. ACABAD 3
4
3
1
C. ACABAD 3
1
3
4 D. ACABAD 3
1
3
4
【答案】A
9.已知正实数 yx, 满足 04 xyyx ,若 myx 恒成立,则实数 m 的取值范围为( )
A. )9,0( B. ]9,0[ C. )9,( D. ]9,(
【答案】D
10.各项均为实数的的等比数列 }{ na 的前 n 项和记为 nS ,若 07,01 3010 SS ,则 20S ( )
A. 710 B.30 或-20 C.30 D. 40
【答案】C
11.已知向量 3OA
, 2OB
,OC mOA nOB ,若OA
与OB
的夹角为 60°,且 OC AB ,
则实数 m
n
的值为( )
A.
6
1 B.
4
1 C.6 D. 4
【答案】A
12.在平面内,定点 OCBA ,,, 满足 |||||| OCOBOA , 2 OAOCOCOBOBOA ,动点
QP, 满足 QCPQAP ,1|| ,则 的最大值是( )
A. 12 B. 6 C. 36 D. 32
【答案】A
高一年级★试卷 第 3页 共 8页 高一年级★试卷 第 4页 共 8页
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)
13.不等式 12
3 x
的解集为________________.(用区间表示)
【答案】 ]5,2(
14. 已知向量 ba
, 满足 1||,|| bma
, a 与b
的夹角为 150°, bba
)( ,则 m ________.
【答案】
3
32
15.设数列 }{ na 满足 11 a ,且 )(1 *
1 Nnnaa nn ,则数列
na
1 前 2020 项的和为________.
【答案】
2021
4040
16. 益古演段 是我国古代数学家李冶 的一部数学著
作.内容主要是已知平面图形的信息,求圆的半径、正方形的边长和
周长等等.其中有这样一个问题:如图,已知 ,点 B、C 分
别在 的两个边上移动,且保持 B、C 两点间的距离为 ,则点
B、C 在移动过程中,线段 BC 的中点 D 到点 A 的最大距离为________.
【答案】3
三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(10 分)已知不等式 6342 xax 的解集为 }1|{ bxxx 或
(1)求 ba, ;
(2)若 3c ,解不等式 0)(2 bcxcbaax .
【答案】(1)由题意可知方程 6342 xax 的解为 bxx 或1 且 1b ,则有
634
634
2 bab
a ……………………………………………………………………2 分
解得 (舍)或
1
1
3
1
b
a
b
a ……………………………………………………5 分
(2)∵ 3,1 ba ,则原不等式为 03)3(2 cxcx ,
即有 0))(3( cxx ………………………………………………………………7 分
∵ 3c ,∴不等式得解集为 }3|{ cxx ………………………………………10 分
18.(12 分)已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,公差为 2 ,且 1a , 2S , 4S 成等比数列.
(1)求 321 ,, aaa ;
(2)设 n
nn ab 2 ,求数列 }{ nb 的前 9 项和.
【答案】(1)由 1a , 2S , 4S 成等比数列得 2
2 1 4S a S ,化简得 2
1 1 12 4 6a d a a d ,
………………………………………………………………………………………………2 分
又 2d ,解得 1 1a ,所以 5,3 32 aa ………………………………………………6 分
(2)由(1)可知数列 na 的通项公式 1 2 1 2 1na n n ,
所以 n
n nb 212 .
设 }2{ n 的前 n 项和为 nT ,则 2221
)21(2 1
n
n
nT ………………………………8 分
又 2
2
)121( nnnSn …………………………………………………………………10 分
所以 }{ nb 的前 9 项和为 1103210248199 TS ………………………………12 分
高一年级★试卷 第 5页 共 8页 高一年级★试卷 第 6页 共 8页
19.(12 分)在 ABC 中,角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ,已知
b
ac
B
CA 2
cos
cos2cos
(1)求
A
C
sin
sin 的值;
(2)若 2,3
bB ,求 ABC 的面积.
【答案】(1)由正弦定理可得
B
AC
B
CA
sin
sinsin2
cos
cos2cos
…………………………………………………………………………………………………2 分
则有
AC
CBBA
CBCBBABA
ABCBCBAB
sin2sin
)sin(2)sin(
)sincoscos(sin2sincoscossin
sincossincos2cossin2cossin
所以 2sin
sin
A
C ………………………………………………………………………………6 分
(2)由余弦定理得即
ac
bcaB 2cos
222 ,即
2
1
4
24
2
22
a
aa ∴
3
6a
…………………………………………………………………………………………………9 分
所以
3
3sinsin2
1 2 BaBacS ABC
…………………………………………………12 分
20.(12 分)数列 }{ na 的前 n 项和为 nS 且满足 132 nn aS ,数列 }{ nb 满足
1
31 log
n
n
nn a
abb
)2( n ,且 23 ab ,则:
(1)求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式;
(2)记 nnn bac ,求 }{ nc 的前 n 项和 nT .
21.(12 分)如图,在 ABC 中,
4B ,角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D ,设 5,sin 5BAD .
(1)求 sinC ;
(2)若 · 28BA BC ,求 AC 的长.
【答案】(1)∵ 0, 2
, 5 1sin 5 5
,
∴ 2 2cos 1 sin
5
,
则 1 2 4sin sin2 2sin cos 2 55 5
BAC ,
∴ 2 4 3cos 2cos 1 2 15 5BAC ,………………………………………………3 分
∴ 2 2 2 3 2 4 7 2sin sin 2 sin 2 cos2 sin24 4 2 2 2 5 2 5 10C
.
………………………………………………………………………………………………5 分
(2)由正弦定理,得
sin sin
AB BC
C BAC
,即
47 2
510
AB BC ,∴ 7 2
8AB BC
.………………………………………………………………………………………………7 分
又 · 28BA BC ,∴ 2 282AB BC ,由上两式解得 4 2BC
.………………………………………………………………………………………………10 分
又由
sin sin
AC BC
B BAC
得
42
52
AC BC ,∴ 5AC .
.………………………………………………………………………………………………12 分
高一年级★试卷 第 7页 共 8页 高一年级★试卷 第 8页 共 8页
22. (12 分)6.定义两类新函数:函数 )(xfy 对定义域内的每一个值 1x ,在其定义域内都存在唯的 2x ,
使得 1)()( 21 xfxf 成立,则称该函数为“LZ 函数”;若函数 )(xfy 对定义域内的每一个值 1x ,
在其定义域内都存在唯一的 2x ,使得 0)()( 21 xfxf 成立,则称该函数为“LZplus 函数”。
(1)设函数 13)( xxg 的定义域为 ],[ nm ,已知 )(xg 是某一类新函数,试判断 )(xg 是“LZ 函数”还
是“LZplus 函数”(不需说明理由),并求此时 22 nm 的范围;
(2)已知函数 4)12()( 22 bxbxxh 在定义域 ]1,2[ 上为“LZplus 函数”,若存在实数 ]1,2[x ,
使得对任意的 Rt ,不等式 4)5()( 2 xtptxh 都成立,求实数 p 的取值范围.
【答案】(1)函数 13)( xxg 在定义域 ],[ nm 上是“LZ 函数”
…………………………………………………………………………………………………1 分
因为 13)( xxg 在 ],[ nm 内单调递增,由定义需满足 133 11 nm
即 2 nm ,因为 nm ,所以 1,1 nm ……………………………………………3 分
所以
22)1(2
)2(
2
2222
m
mmnm
所以 22 nm 的范围为 ),2( ……………………………………………………………5 分
(2)若 图象对称轴 )1,2(2
12 bx ,设 )1,2(, 21 xx ,且 , 关于
2
12 bx 对称,
此时, ,由条件知存在 ,使 ,这与“LZplus 函数”定义矛盾.
所以 在 ]1,2[ 上单调,且 0)1()2( hh
由 ,得 ,解得 或 .
检验: 在 上单调,所以 .………………………………………………7 分
不等式即 4)5(5 22 xtptxx ,
整理得 ,由题意知,上式对任意 恒成立.
得 ,………………………………………………………………9 分
整理得 01643 2 pxx ,由题意知,存在 ]1,2[x 使得该不等式成立,
所以 016812 p 或 01643 p ,解得
2
1p 或
4
31p .
所以实数 p 的取值范围是 ),2
1[]4
13,( …………………………………………12 分
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