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- 2021-06-10 发布
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2011年《直线与圆锥曲线的位置关系》专题训练一
一、选择题
1、已知直线与抛物线相切,则等于
A.
B.
C.
D.4
2、设直线与椭圆的交点为、,点是椭圆上的动点,则使得的面积为的点的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
3、已知双曲线,过点 (,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点A,B.若△是锐角三角形(0为坐标原点),则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
4、设抛物线的焦点为,过点作盲线交抛物线于A、B两点,则△的最小面积等于
A. B.2 C.4 D.1
5、以椭圆内的点 (l,1)为中点的弦所在直线的方程为
A.
B.
C.
D.
6、过抛物线的焦点作直线交抛物线于点A(),B(),若| |=7,则的中点到抛物线准线的距离为
A. B. C.2 D.3
7、斜率为1的直线与椭圆交于不同两点A、B,则| |的最大值为
A.2
B.
C.
D.
8、若直线和圆没有公共点,则过点()的直线与椭圆的交点为
A.至多1个 B.2个 C.1个 D.O个
9、已知双曲线的离心率等于,是经过其焦点F的一条斜率为 (0)的弦,是的中点,D是坐标原点,直线的斜率为,则后的值等于
A. B. C.-4 D.4
二、填空题
10、已知是抛物线的焦点,且 (O,)(>1),若在抛物线上存在点,使△为正三角形,则=____
11、若与椭圆相切,则实数的值等于__________
12、已知椭圆与直线有公共点,则实数的取值范围是______.
13、已知椭圆的两个焦点分别是,若直线经过原点且与该椭圆的两个交点是,则当的最大面积等于2时,的值等于________
三、解答题
14、如图18 -4 -4,抛物线M: 交轴于两点,交直线: 于两点,经过三点作圆C.
(1)求证:当变化时,圆的圆心在一条定直线上;
(2)求证:圆经过除原点外的一个定点;
(3)是否存在这样的抛物线,使它的顶点与圆圆心的距离不大于圆的半径?
15、设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,分别是椭圆的左、右焦点,且离心率.又过椭圆右焦点兄的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程:
(2)若直线使得,求直线的方程;
(3)若点P在椭圆上,且,求证:为定值.
16、已知抛物线与椭圆有一个公共点 (2,3),椭圆的左、右焦点分别为,且离心率等于
(1)求抛物线和椭圆的标准方程;
(2)试判断在椭圆上是否存在点A,使得为钝角.
(3)若P是抛物线上任意一点,求的取值范围.
17、已知椭圆的焦点在轴上,离心率等于.且经过点 (2,1),为坐标原点,若直线与平行且与椭圆交于不同的两点、.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:直线的斜率之和是一个定值.
18、如图18 -4 -3,椭圆长轴端点为为椭圆中心,为椭圆的右焦点,且=1.
(1)求椭圆的方程;
(2)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问:是否存在直线,使点恰为△的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
19、已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,直线与椭圆在第一象限内的交点是,在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,另一个焦点是.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,直线经过左焦点,且与椭圆相交于两点,求△面积的最大值.
20、已知椭圆的离心率为且.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线: 与椭圆交于、两点,且线段的中点在圆上,求的值.
以下是答案
一、选择题
1、C 解析:由消去y得所以,解得
2、D 解析:由题知直线恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故,要使△的面积为,即,所以联立与椭圆方程得.令得,即平移直线到时与椭圆相切,它们与直线的距离都大于,所以一共有4个点符合要求.
3、D 解析:依题意可得
是锐角三角形,必有是锐角,即和的夹角为锐角.由>0,得.但根据双曲线的范围知,应有或,故的取值范围是
4、B 解析:设直线的倾斜角为,由弦长公式可得,又因为原点0到直线的距离d=,所以.故当 =1时△的最小面积等于2.
5、D 解析:设弦的两个端点坐标分别为,则有.两式相减得,
整理得,所以直线方程为,整理得
.
6、B 解析:由题知抛物线的焦点为(1,0),准线方程为.由抛物线定义知:
,即,得
,于是弦的中点的横坐标为.因此到抛物线准线的距离为
7、C 解析:设直线的方程为消去得,由题意得,即<5.弦长
8、B 解析:依题意知,可得,所以点()在以原点为圆心,以2为半径的圆的内部,而椭圆中,短半轴长,结合图形可知过点()的直线与椭圆必有2个公共点.
9、D 解析:设,则。
两式相减得,所以,而,所以得
二、填空题
10、5 解析:由于M(O,),抛物线的焦点F(O,1),所以的中点D(O.,由于△为正三角形,所以,于是PDMF,从而得.又正三角形的边长为m-l,于是得解得舍去).
11、±5 解析:由得,
所以.解得=±5.
12、 解析:由,因为直线与椭圆有公共点,所以,即,解得
13、2或或 解析:当椭圆的焦点在轴上时,连接、,由椭圆的对称性知:,而当点A与椭圆的短轴的一个端点重合时取到最大值,这时bc,所以有,解得=2或;同理当椭圆的焦点在轴上时,有解得.综上可知的值等于2或或
三、解答题
14、解析:(1)易得设圆C的方程为
则解得
故经过0,A,B三点的圆C的方程为(b-2)y=O.设圆C的圆心坐标为(),则这说明当变化时,圆C的圆心在定直线上.
(2)设圆C过定点(),则整理得
它对任意b0恒成立,解得’或
故圆经过除原点外的一个定点坐标为(-1,1).
(3)抛物线的顶点坐标为,若存在这样的抛物线,使它的顶点与它对应的圆的圆心之间的距离不大于圆的半径,则
整理得,因为b≠0,所以.以上过程均可逆,故存在抛物线:,使它的顶点与圆圆心的距离不大于圆的半径.
15、解析:(1)依题意可知椭圆的一个顶点为(),即b=,又,所以,
故椭圆的方程为
(2)由题可知,直线与椭圆必相交,当直线的斜率不存在时,Z与椭圆的两个交点分别为(1,,此时,不合题意.
当的斜率存在时,设直线的方程为,且
由得
所以,故直线的方程为或
(3)设
由(2)可得:
设直线OP的方程为,,由消去,并整理得,故
为定值.
16、解析:(1)因为抛物线经过点 (2,3),所以9=2p x2,因此,故抛物线的方程为因为椭圆也经过点 (2,3),所以.又因为,所以
,解得,故椭圆的方程为
(2)由(1)知,若设,则,于是,又因为=1,所以因此
故-定为锐角,即在椭圆上不存在点A,使得为钝角.
(3)设,则于是
若,则
若,则
由于函数在(0,2)上递减,在(2,+)上递增,所以于是
综上,的取值范围是
17、解析:(1)依题意,设椭圆的标准方程为则有,
解得,则椭圆的标准方程为
(2)由于直线与平行,而,所以可设直线的方程为y联立,得
设直线的斜率分别为则
由①可得
于是
故直线的斜率之和是一个定值,且这个定值等于0.
18、(1)设椭圆的方程为则c=l,又,即
故椭圆的方程为
(2)假设存在直线交椭圆于P,Q两点,且F恰为△PQM的垂心,则没P(),Q(),M(O,1),F(1,O),故 =1,于是设直线的方程为,由
消去得
又得即:
由根与系数的关系得:
解得或=1(舍去),经检验符合条件.故直线的方程为
19、解析:(1)由已知可得椭圆的焦点在轴上,设椭圆方程为
由于M在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,所以,连接,在Rt中,=2c,所以=,由椭圆的定义得,所以e,此即为椭圆的离心率.
(2)由于,因此.所以,结合已知条件得,所以c=2,从而,故椭圆的方程为
(3)由(2)知左焦点F.(-2,0),当直线的斜率存在时,设其方程为,由
消去y得,若设则
而的面积:
.故当直线l的斜率不存在时,容易求得.所以=2在,故的面积综上可得面积的最大值等于
20、解析:(1)由题意得,解得所以,故椭圆的方程为
(2)设 (),(),线段的中点为 ().联立直线与椭圆的方程得,即,
所以,又因为M点在圆上,所以.解得.
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